--- comments: true --- # 14.4 0-1 背包问题背包问题是一个非常好的动态规划入门题目，是动态规划中最常见的问题形式。其具有很多变种，例如 0-1 背包问题、完全背包问题、多重背包问题等。在本节中，我们先来求解最常见的 0-1 背包问题。 !!! question 给定 $n$ 个物品，第 $i$ 个物品的重量为 $wgt[i-1]$、价值为 $val[i-1]$ ，和一个容量为 $cap$ 的背包。每个物品只能选择一次，问在限定背包容量下能放入物品的最大价值。观察图 14-17 ，由于物品编号 $i$ 从 $1$ 开始计数，数组索引从 $0$ 开始计数，因此物品 $i$ 对应重量 $wgt[i-1]$ 和价值 $val[i-1]$ 。 ![0-1 背包的示例数据](knapsack_problem.assets/knapsack_example.png){ class="animation-figure" }

图 14-17 0-1 背包的示例数据

我们可以将 0-1 背包问题看作一个由 $n$ 轮决策组成的过程，对于每个物体都有不放入和放入两种决策，因此该问题满足决策树模型。该问题的目标是求解“在限定背包容量下能放入物品的最大价值”，因此较大概率是一个动态规划问题。 **第一步：思考每轮的决策，定义状态，从而得到 $dp$ 表** 对于每个物品来说，不放入背包，背包容量不变；放入背包，背包容量减小。由此可得状态定义：当前物品编号 $i$ 和剩余背包容量 $c$ ，记为 $[i, c]$ 。状态 $[i, c]$ 对应的子问题为：**前 $i$ 个物品在剩余容量为 $c$ 的背包中的最大价值**，记为 $dp[i, c]$ 。待求解的是 $dp[n, cap]$ ，因此需要一个尺寸为 $(n+1) \times (cap+1)$ 的二维 $dp$ 表。 **第二步：找出最优子结构，进而推导出状态转移方程** 当我们做出物品 $i$ 的决策后，剩余的是前 $i-1$ 个物品的决策，可分为以下两种情况。 - **不放入物品 $i$** ：背包容量不变，状态变化为 $[i-1, c]$ 。 - **放入物品 $i$** ：背包容量减少 $wgt[i-1]$ ，价值增加 $val[i-1]$ ，状态变化为 $[i-1, c-wgt[i-1]]$ 。上述分析向我们揭示了本题的最优子结构：**最大价值 $dp[i, c]$ 等于不放入物品 $i$ 和放入物品 $i$ 两种方案中价值更大的那一个**。由此可推导出状态转移方程： $$ dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i-1, c - wgt[i-1]] + val[i-1]) $$ 需要注意的是，若当前物品重量 $wgt[i - 1]$ 超出剩余背包容量 $c$ ，则只能选择不放入背包。 **第三步：确定边界条件和状态转移顺序** 当无物品或无剩余背包容量时最大价值为 $0$ ，即首列 $dp[i, 0]$ 和首行 $dp[0, c]$ 都等于 $0$ 。当前状态 $[i, c]$ 从上方的状态 $[i-1, c]$ 和左上方的状态 $[i-1, c-wgt[i-1]]$ 转移而来，因此通过两层循环正序遍历整个 $dp$ 表即可。根据以上分析，我们接下来按顺序实现暴力搜索、记忆化搜索、动态规划解法。 ### 1. 方法一：暴力搜索搜索代码包含以下要素。 - **递归参数**：状态 $[i, c]$ 。 - **返回值**：子问题的解 $dp[i, c]$ 。 - **终止条件**：当物品编号越界 $i = 0$ 或背包剩余容量为 $0$ 时，终止递归并返回价值 $0$ 。 - **剪枝**：若当前物品重量超出背包剩余容量，则只能选择不放入背包。 === "Python" ```python title="knapsack.py" def knapsack_dfs(wgt: list[int], val: list[int], i: int, c: int) -> int: """0-1 背包：暴力搜索""" # 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0 if i == 0 or c == 0: return 0 # 若超过背包容量，则只能选择不放入背包 if wgt[i - 1] > c: return knapsack_dfs(wgt, val, i - 1, c) # 计算不放入和放入物品 i 的最大价值 no = knapsack_dfs(wgt, val, i - 1, c) yes = knapsack_dfs(wgt, val, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1] # 返回两种方案中价值更大的那一个 return max(no, yes) ``` === "C++" ```cpp title="knapsack.cpp" /* 0-1 背包：暴力搜索 */ int knapsackDFS(vector &wgt, vector &val, int i, int c) { // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0 if (i == 0 || c == 0) { return 0; } // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包 if (wgt[i - 1] > c) { return knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c); } // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值 int no = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c); int yes = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1]; // 返回两种方案中价值更大的那一个 return max(no, yes); } ``` === "Java" ```java title="knapsack.java" /* 0-1 背包：暴力搜索 */ int knapsackDFS(int[] wgt, int[] val, int i, int c) { // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0 if (i == 0 || c == 0) { return 0; } // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包 if (wgt[i - 1] > c) { return knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c); } // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值 int no = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c); int yes = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1]; // 返回两种方案中价值更大的那一个 return Math.max(no, yes); } ``` === "C#" ```csharp title="knapsack.cs" /* 0-1 背包：暴力搜索 */ int KnapsackDFS(int[] weight, int[] val, int i, int c) { // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0 if (i == 0 || c == 0) { return 0; } // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包 if (weight[i - 1] > c) { return KnapsackDFS(weight, val, i - 1, c); } // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值 int no = KnapsackDFS(weight, val, i - 1, c); int yes = KnapsackDFS(weight, val, i - 1, c - weight[i - 1]) + val[i - 1]; // 返回两种方案中价值更大的那一个 return Math.Max(no, yes); } ``` === "Go" ```go title="knapsack.go" /* 0-1 背包：暴力搜索 */ func knapsackDFS(wgt, val []int, i, c int) int { // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0 if i == 0 || c == 0 { return 0 } // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包 if wgt[i-1] > c { return knapsackDFS(wgt, val, i-1, c) } // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值 no := knapsackDFS(wgt, val, i-1, c) yes := knapsackDFS(wgt, val, i-1, c-wgt[i-1]) + val[i-1] // 返回两种方案中价值更大的那一个 return int(math.Max(float64(no), float64(yes))) } ``` === "Swift" ```swift title="knapsack.swift" /* 0-1 背包：暴力搜索 */ func knapsackDFS(wgt: [Int], val: [Int], i: Int, c: Int) -> Int { // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0 if i == 0 || c == 0 { return 0 } // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包 if wgt[i - 1] > c { return knapsackDFS(wgt: wgt, val: val, i: i - 1, c: c) } // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值 let no = knapsackDFS(wgt: wgt, val: val, i: i - 1, c: c) let yes = knapsackDFS(wgt: wgt, val: val, i: i - 1, c: c - wgt[i - 1]) + val[i - 1] // 返回两种方案中价值更大的那一个 return max(no, yes) } ``` === "JS" ```javascript title="knapsack.js" /* 0-1 背包：暴力搜索 */ function knapsackDFS(wgt, val, i, c) { // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0 if (i === 0 || c === 0) { return 0; } // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包 if (wgt[i - 1] > c) { return knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c); } // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值 const no = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c); const yes = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1]; // 返回两种方案中价值更大的那一个 return Math.max(no, yes); } ``` === "TS" ```typescript title="knapsack.ts" /* 0-1 背包：暴力搜索 */ function knapsackDFS( wgt: Array, val: Array, i: number, c: number ): number { // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0 if (i === 0 || c === 0) { return 0; } // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包 if (wgt[i - 1] > c) { return knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c); } // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值 const no = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c); const yes = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1]; // 返回两种方案中价值更大的那一个 return Math.max(no, yes); } ``` === "Dart" ```dart title="knapsack.dart" /* 0-1 背包：暴力搜索 */ int knapsackDFS(List wgt, List val, int i, int c) { // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0 if (i == 0 || c == 0) { return 0; } // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包 if (wgt[i - 1] > c) { return knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c); } // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值 int no = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c); int yes = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1]; // 返回两种方案中价值更大的那一个 return max(no, yes); } ``` === "Rust" ```rust title="knapsack.rs" /* 0-1 背包：暴力搜索 */ fn knapsack_dfs(wgt: &[i32], val: &[i32], i: usize, c: usize) -> i32 { // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0 if i == 0 || c == 0 { return 0; } // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包 if wgt[i - 1] > c as i32 { return knapsack_dfs(wgt, val, i - 1, c); } // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值 let no = knapsack_dfs(wgt, val, i - 1, c); let yes = knapsack_dfs(wgt, val, i - 1, c - wgt[i - 1] as usize) + val[i - 1]; // 返回两种方案中价值更大的那一个 std::cmp::max(no, yes) } ``` === "C" ```c title="knapsack.c" /* 0-1 背包：暴力搜索 */ int knapsackDFS(int wgt[], int val[], int i, int c) { // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0 if (i == 0 || c == 0) { return 0; } // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包 if (wgt[i - 1] > c) { return knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c); } // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值 int no = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c); int yes = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1]; // 返回两种方案中价值更大的那一个 return myMax(no, yes); } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="knapsack.kt" /* 0-1 背包：暴力搜索 */ fun knapsackDFS( wgt: IntArray, _val: IntArray, i: Int, c: Int ): Int { // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0 if (i == 0 || c == 0) { return 0 } // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包 if (wgt[i - 1] > c) { return knapsackDFS(wgt, _val, i - 1, c) } // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值 val no = knapsackDFS(wgt, _val, i - 1, c) val yes = knapsackDFS(wgt, _val, i - 1, c - wgt[i - 1]) + _val[i - 1] // 返回两种方案中价值更大的那一个 return max(no, yes) } ``` === "Ruby" ```ruby title="knapsack.rb" [class]{}-[func]{knapsack_dfs} ``` === "Zig" ```zig title="knapsack.zig" // 0-1 背包：暴力搜索 fn knapsackDFS(wgt: []i32, val: []i32, i: usize, c: usize) i32 { // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0 if (i == 0 or c == 0) { return 0; } // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包 if (wgt[i - 1] > c) { return knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c); } // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值 var no = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c); var yes = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c - @as(usize, @intCast(wgt[i - 1]))) + val[i - 1]; // 返回两种方案中价值更大的那一个 return @max(no, yes); } ``` ??? pythontutor "可视化运行"

如图 14-18 所示，由于每个物品都会产生不选和选两条搜索分支，因此时间复杂度为 $O(2^n)$ 。观察递归树，容易发现其中存在重叠子问题，例如 $dp[1, 10]$ 等。而当物品较多、背包容量较大，尤其是相同重量的物品较多时，重叠子问题的数量将会大幅增多。 ![0-1 背包问题的暴力搜索递归树](knapsack_problem.assets/knapsack_dfs.png){ class="animation-figure" }

图 14-18 0-1 背包问题的暴力搜索递归树

### 2. 方法二：记忆化搜索为了保证重叠子问题只被计算一次，我们借助记忆列表 `mem` 来记录子问题的解，其中 `mem[i][c]` 对应 $dp[i, c]$ 。引入记忆化之后，**时间复杂度取决于子问题数量**，也就是 $O(n \times cap)$ 。实现代码如下： === "Python" ```python title="knapsack.py" def knapsack_dfs_mem( wgt: list[int], val: list[int], mem: list[list[int]], i: int, c: int ) -> int: """0-1 背包：记忆化搜索""" # 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0 if i == 0 or c == 0: return 0 # 若已有记录，则直接返回 if mem[i][c] != -1: return mem[i][c] # 若超过背包容量，则只能选择不放入背包 if wgt[i - 1] > c: return knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i - 1, c) # 计算不放入和放入物品 i 的最大价值 no = knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i - 1, c) yes = knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1] # 记录并返回两种方案中价值更大的那一个 mem[i][c] = max(no, yes) return mem[i][c] ``` === "C++" ```cpp title="knapsack.cpp" /* 0-1 背包：记忆化搜索 */ int knapsackDFSMem(vector &wgt, vector &val, vector> &mem, int i, int c) { // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0 if (i == 0 || c == 0) { return 0; } // 若已有记录，则直接返回 if (mem[i][c] != -1) { return mem[i][c]; } // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包 if (wgt[i - 1] > c) { return knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c); } // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值 int no = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c); int yes = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1]; // 记录并返回两种方案中价值更大的那一个 mem[i][c] = max(no, yes); return mem[i][c]; } ``` === "Java" ```java title="knapsack.java" /* 0-1 背包：记忆化搜索 */ int knapsackDFSMem(int[] wgt, int[] val, int[][] mem, int i, int c) { // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0 if (i == 0 || c == 0) { return 0; } // 若已有记录，则直接返回 if (mem[i][c] != -1) { return mem[i][c]; } // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包 if (wgt[i - 1] > c) { return knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c); } // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值 int no = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c); int yes = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1]; // 记录并返回两种方案中价值更大的那一个 mem[i][c] = Math.max(no, yes); return mem[i][c]; } ``` === "C#" ```csharp title="knapsack.cs" /* 0-1 背包：记忆化搜索 */ int KnapsackDFSMem(int[] weight, int[] val, int[][] mem, int i, int c) { // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0 if (i == 0 || c == 0) { return 0; } // 若已有记录，则直接返回 if (mem[i][c] != -1) { return mem[i][c]; } // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包 if (weight[i - 1] > c) { return KnapsackDFSMem(weight, val, mem, i - 1, c); } // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值 int no = KnapsackDFSMem(weight, val, mem, i - 1, c); int yes = KnapsackDFSMem(weight, val, mem, i - 1, c - weight[i - 1]) + val[i - 1]; // 记录并返回两种方案中价值更大的那一个 mem[i][c] = Math.Max(no, yes); return mem[i][c]; } ``` === "Go" ```go title="knapsack.go" /* 0-1 背包：记忆化搜索 */ func knapsackDFSMem(wgt, val []int, mem [][]int, i, c int) int { // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0 if i == 0 || c == 0 { return 0 } // 若已有记录，则直接返回 if mem[i][c] != -1 { return mem[i][c] } // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包 if wgt[i-1] > c { return knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i-1, c) } // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值 no := knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i-1, c) yes := knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i-1, c-wgt[i-1]) + val[i-1] // 返回两种方案中价值更大的那一个 mem[i][c] = int(math.Max(float64(no), float64(yes))) return mem[i][c] } ``` === "Swift" ```swift title="knapsack.swift" /* 0-1 背包：记忆化搜索 */ func knapsackDFSMem(wgt: [Int], val: [Int], mem: inout [[Int]], i: Int, c: Int) -> Int { // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0 if i == 0 || c == 0 { return 0 } // 若已有记录，则直接返回 if mem[i][c] != -1 { return mem[i][c] } // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包 if wgt[i - 1] > c { return knapsackDFSMem(wgt: wgt, val: val, mem: &mem, i: i - 1, c: c) } // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值 let no = knapsackDFSMem(wgt: wgt, val: val, mem: &mem, i: i - 1, c: c) let yes = knapsackDFSMem(wgt: wgt, val: val, mem: &mem, i: i - 1, c: c - wgt[i - 1]) + val[i - 1] // 记录并返回两种方案中价值更大的那一个 mem[i][c] = max(no, yes) return mem[i][c] } ``` === "JS" ```javascript title="knapsack.js" /* 0-1 背包：记忆化搜索 */ function knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i, c) { // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0 if (i === 0 || c === 0) { return 0; } // 若已有记录，则直接返回 if (mem[i][c] !== -1) { return mem[i][c]; } // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包 if (wgt[i - 1] > c) { return knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c); } // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值 const no = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c); const yes = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1]; // 记录并返回两种方案中价值更大的那一个 mem[i][c] = Math.max(no, yes); return mem[i][c]; } ``` === "TS" ```typescript title="knapsack.ts" /* 0-1 背包：记忆化搜索 */ function knapsackDFSMem( wgt: Array, val: Array, mem: Array>, i: number, c: number ): number { // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0 if (i === 0 || c === 0) { return 0; } // 若已有记录，则直接返回 if (mem[i][c] !== -1) { return mem[i][c]; } // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包 if (wgt[i - 1] > c) { return knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c); } // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值 const no = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c); const yes = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1]; // 记录并返回两种方案中价值更大的那一个 mem[i][c] = Math.max(no, yes); return mem[i][c]; } ``` === "Dart" ```dart title="knapsack.dart" /* 0-1 背包：记忆化搜索 */ int knapsackDFSMem( List wgt, List val, List> mem, int i, int c, ) { // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0 if (i == 0 || c == 0) { return 0; } // 若已有记录，则直接返回 if (mem[i][c] != -1) { return mem[i][c]; } // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包 if (wgt[i - 1] > c) { return knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c); } // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值 int no = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c); int yes = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1]; // 记录并返回两种方案中价值更大的那一个 mem[i][c] = max(no, yes); return mem[i][c]; } ``` === "Rust" ```rust title="knapsack.rs" /* 0-1 背包：记忆化搜索 */ fn knapsack_dfs_mem(wgt: &[i32], val: &[i32], mem: &mut Vec>, i: usize, c: usize) -> i32 { // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0 if i == 0 || c == 0 { return 0; } // 若已有记录，则直接返回 if mem[i][c] != -1 { return mem[i][c]; } // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包 if wgt[i - 1] > c as i32 { return knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i - 1, c); } // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值 let no = knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i - 1, c); let yes = knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i - 1, c - wgt[i - 1] as usize) + val[i - 1]; // 记录并返回两种方案中价值更大的那一个 mem[i][c] = std::cmp::max(no, yes); mem[i][c] } ``` === "C" ```c title="knapsack.c" /* 0-1 背包：记忆化搜索 */ int knapsackDFSMem(int wgt[], int val[], int memCols, int **mem, int i, int c) { // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0 if (i == 0 || c == 0) { return 0; } // 若已有记录，则直接返回 if (mem[i][c] != -1) { return mem[i][c]; } // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包 if (wgt[i - 1] > c) { return knapsackDFSMem(wgt, val, memCols, mem, i - 1, c); } // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值 int no = knapsackDFSMem(wgt, val, memCols, mem, i - 1, c); int yes = knapsackDFSMem(wgt, val, memCols, mem, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1]; // 记录并返回两种方案中价值更大的那一个 mem[i][c] = myMax(no, yes); return mem[i][c]; } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="knapsack.kt" /* 0-1 背包：记忆化搜索 */ fun knapsackDFSMem( wgt: IntArray, _val: IntArray, mem: Array, i: Int, c: Int ): Int { // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0 if (i == 0 || c == 0) { return 0 } // 若已有记录，则直接返回 if (mem[i][c] != -1) { return mem[i][c] } // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包 if (wgt[i - 1] > c) { return knapsackDFSMem(wgt, _val, mem, i - 1, c) } // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值 val no = knapsackDFSMem(wgt, _val, mem, i - 1, c) val yes = knapsackDFSMem(wgt, _val, mem, i - 1, c - wgt[i - 1]) + _val[i - 1] // 记录并返回两种方案中价值更大的那一个 mem[i][c] = max(no, yes) return mem[i][c] } ``` === "Ruby" ```ruby title="knapsack.rb" [class]{}-[func]{knapsack_dfs_mem} ``` === "Zig" ```zig title="knapsack.zig" // 0-1 背包：记忆化搜索 fn knapsackDFSMem(wgt: []i32, val: []i32, mem: anytype, i: usize, c: usize) i32 { // 若已选完所有物品或背包无剩余容量，则返回价值 0 if (i == 0 or c == 0) { return 0; } // 若已有记录，则直接返回 if (mem[i][c] != -1) { return mem[i][c]; } // 若超过背包容量，则只能选择不放入背包 if (wgt[i - 1] > c) { return knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c); } // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值 var no = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c); var yes = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c - @as(usize, @intCast(wgt[i - 1]))) + val[i - 1]; // 记录并返回两种方案中价值更大的那一个 mem[i][c] = @max(no, yes); return mem[i][c]; } ``` ??? pythontutor "可视化运行"

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图 14-19 展示了在记忆化搜索中被剪掉的搜索分支。 ![0-1 背包问题的记忆化搜索递归树](knapsack_problem.assets/knapsack_dfs_mem.png){ class="animation-figure" }

图 14-19 0-1 背包问题的记忆化搜索递归树

### 3. 方法三：动态规划动态规划实质上就是在状态转移中填充 $dp$ 表的过程，代码如下所示： === "Python" ```python title="knapsack.py" def knapsack_dp(wgt: list[int], val: list[int], cap: int) -> int: """0-1 背包：动态规划""" n = len(wgt) # 初始化 dp 表 dp = [[0] * (cap + 1) for _ in range(n + 1)] # 状态转移 for i in range(1, n + 1): for c in range(1, cap + 1): if wgt[i - 1] > c: # 若超过背包容量，则不选物品 i dp[i][c] = dp[i - 1][c] else: # 不选和选物品 i 这两种方案的较大值 dp[i][c] = max(dp[i - 1][c], dp[i - 1][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]) return dp[n][cap] ``` === "C++" ```cpp title="knapsack.cpp" /* 0-1 背包：动态规划 */ int knapsackDP(vector &wgt, vector &val, int cap) { int n = wgt.size(); // 初始化 dp 表 vector> dp(n + 1, vector(cap + 1, 0)); // 状态转移 for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int c = 1; c <= cap; c++) { if (wgt[i - 1] > c) { // 若超过背包容量，则不选物品 i dp[i][c] = dp[i - 1][c]; } else { // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值 dp[i][c] = max(dp[i - 1][c], dp[i - 1][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]); } } } return dp[n][cap]; } ``` === "Java" ```java title="knapsack.java" /* 0-1 背包：动态规划 */ int knapsackDP(int[] wgt, int[] val, int cap) { int n = wgt.length; // 初始化 dp 表 int[][] dp = new int[n + 1][cap + 1]; // 状态转移 for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int c = 1; c <= cap; c++) { if (wgt[i - 1] > c) { // 若超过背包容量，则不选物品 i dp[i][c] = dp[i - 1][c]; } else { // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值 dp[i][c] = Math.max(dp[i - 1][c], dp[i - 1][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]); } } } return dp[n][cap]; } ``` === "C#" ```csharp title="knapsack.cs" /* 0-1 背包：动态规划 */ int KnapsackDP(int[] weight, int[] val, int cap) { int n = weight.Length; // 初始化 dp 表 int[,] dp = new int[n + 1, cap + 1]; // 状态转移 for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int c = 1; c <= cap; c++) { if (weight[i - 1] > c) { // 若超过背包容量，则不选物品 i dp[i, c] = dp[i - 1, c]; } else { // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值 dp[i, c] = Math.Max(dp[i - 1, c - weight[i - 1]] + val[i - 1], dp[i - 1, c]); } } } return dp[n, cap]; } ``` === "Go" ```go title="knapsack.go" /* 0-1 背包：动态规划 */ func knapsackDP(wgt, val []int, cap int) int { n := len(wgt) // 初始化 dp 表 dp := make([][]int, n+1) for i := 0; i <= n; i++ { dp[i] = make([]int, cap+1) } // 状态转移 for i := 1; i <= n; i++ { for c := 1; c <= cap; c++ { if wgt[i-1] > c { // 若超过背包容量，则不选物品 i dp[i][c] = dp[i-1][c] } else { // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值 dp[i][c] = int(math.Max(float64(dp[i-1][c]), float64(dp[i-1][c-wgt[i-1]]+val[i-1]))) } } } return dp[n][cap] } ``` === "Swift" ```swift title="knapsack.swift" /* 0-1 背包：动态规划 */ func knapsackDP(wgt: [Int], val: [Int], cap: Int) -> Int { let n = wgt.count // 初始化 dp 表 var dp = Array(repeating: Array(repeating: 0, count: cap + 1), count: n + 1) // 状态转移 for i in 1 ... n { for c in 1 ... cap { if wgt[i - 1] > c { // 若超过背包容量，则不选物品 i dp[i][c] = dp[i - 1][c] } else { // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值 dp[i][c] = max(dp[i - 1][c], dp[i - 1][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]) } } } return dp[n][cap] } ``` === "JS" ```javascript title="knapsack.js" /* 0-1 背包：动态规划 */ function knapsackDP(wgt, val, cap) { const n = wgt.length; // 初始化 dp 表 const dp = Array(n + 1) .fill(0) .map(() => Array(cap + 1).fill(0)); // 状态转移 for (let i = 1; i <= n; i++) { for (let c = 1; c <= cap; c++) { if (wgt[i - 1] > c) { // 若超过背包容量，则不选物品 i dp[i][c] = dp[i - 1][c]; } else { // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值 dp[i][c] = Math.max( dp[i - 1][c], dp[i - 1][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1] ); } } } return dp[n][cap]; } ``` === "TS" ```typescript title="knapsack.ts" /* 0-1 背包：动态规划 */ function knapsackDP( wgt: Array, val: Array, cap: number ): number { const n = wgt.length; // 初始化 dp 表 const dp = Array.from({ length: n + 1 }, () => Array.from({ length: cap + 1 }, () => 0) ); // 状态转移 for (let i = 1; i <= n; i++) { for (let c = 1; c <= cap; c++) { if (wgt[i - 1] > c) { // 若超过背包容量，则不选物品 i dp[i][c] = dp[i - 1][c]; } else { // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值 dp[i][c] = Math.max( dp[i - 1][c], dp[i - 1][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1] ); } } } return dp[n][cap]; } ``` === "Dart" ```dart title="knapsack.dart" /* 0-1 背包：动态规划 */ int knapsackDP(List wgt, List val, int cap) { int n = wgt.length; // 初始化 dp 表 List> dp = List.generate(n + 1, (index) => List.filled(cap + 1, 0)); // 状态转移 for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int c = 1; c <= cap; c++) { if (wgt[i - 1] > c) { // 若超过背包容量，则不选物品 i dp[i][c] = dp[i - 1][c]; } else { // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值 dp[i][c] = max(dp[i - 1][c], dp[i - 1][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]); } } } return dp[n][cap]; } ``` === "Rust" ```rust title="knapsack.rs" /* 0-1 背包：动态规划 */ fn knapsack_dp(wgt: &[i32], val: &[i32], cap: usize) -> i32 { let n = wgt.len(); // 初始化 dp 表 let mut dp = vec![vec![0; cap + 1]; n + 1]; // 状态转移 for i in 1..=n { for c in 1..=cap { if wgt[i - 1] > c as i32 { // 若超过背包容量，则不选物品 i dp[i][c] = dp[i - 1][c]; } else { // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值 dp[i][c] = std::cmp::max( dp[i - 1][c], dp[i - 1][c - wgt[i - 1] as usize] + val[i - 1], ); } } } dp[n][cap] } ``` === "C" ```c title="knapsack.c" /* 0-1 背包：动态规划 */ int knapsackDP(int wgt[], int val[], int cap, int wgtSize) { int n = wgtSize; // 初始化 dp 表 int **dp = malloc((n + 1) * sizeof(int *)); for (int i = 0; i <= n; i++) { dp[i] = calloc(cap + 1, sizeof(int)); } // 状态转移 for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int c = 1; c <= cap; c++) { if (wgt[i - 1] > c) { // 若超过背包容量，则不选物品 i dp[i][c] = dp[i - 1][c]; } else { // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值 dp[i][c] = myMax(dp[i - 1][c], dp[i - 1][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]); } } } int res = dp[n][cap]; // 释放内存 for (int i = 0; i <= n; i++) { free(dp[i]); } return res; } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="knapsack.kt" /* 0-1 背包：动态规划 */ fun knapsackDP(wgt: IntArray, _val: IntArray, cap: Int): Int { val n = wgt.size // 初始化 dp 表 val dp = Array(n + 1) { IntArray(cap + 1) } // 状态转移 for (i in 1..n) { for (c in 1..cap) { if (wgt[i - 1] > c) { // 若超过背包容量，则不选物品 i dp[i][c] = dp[i - 1][c] } else { // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值 dp[i][c] = max(dp[i - 1][c], dp[i - 1][c - wgt[i - 1]] + _val[i - 1]) } } } return dp[n][cap] } ``` === "Ruby" ```ruby title="knapsack.rb" [class]{}-[func]{knapsack_dp} ``` === "Zig" ```zig title="knapsack.zig" // 0-1 背包：动态规划 fn knapsackDP(comptime wgt: []i32, val: []i32, comptime cap: usize) i32 { comptime var n = wgt.len; // 初始化 dp 表 var dp = [_][cap + 1]i32{[_]i32{0} ** (cap + 1)} ** (n + 1); // 状态转移 for (1..n + 1) |i| { for (1..cap + 1) |c| { if (wgt[i - 1] > c) { // 若超过背包容量，则不选物品 i dp[i][c] = dp[i - 1][c]; } else { // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值 dp[i][c] = @max(dp[i - 1][c], dp[i - 1][c - @as(usize, @intCast(wgt[i - 1]))] + val[i - 1]); } } } return dp[n][cap]; } ``` ??? pythontutor "可视化运行"

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如图 14-20 所示，时间复杂度和空间复杂度都由数组 `dp` 大小决定，即 $O(n \times cap)$ 。 === "<1>" ![0-1 背包问题的动态规划过程](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step1.png){ class="animation-figure" } === "<2>" ![knapsack_dp_step2](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step2.png){ class="animation-figure" } === "<3>" ![knapsack_dp_step3](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step3.png){ class="animation-figure" } === "<4>" ![knapsack_dp_step4](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step4.png){ class="animation-figure" } === "<5>" ![knapsack_dp_step5](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step5.png){ class="animation-figure" } === "<6>" ![knapsack_dp_step6](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step6.png){ class="animation-figure" } === "<7>" ![knapsack_dp_step7](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step7.png){ class="animation-figure" } === "<8>" ![knapsack_dp_step8](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step8.png){ class="animation-figure" } === "<9>" ![knapsack_dp_step9](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step9.png){ class="animation-figure" } === "<10>" ![knapsack_dp_step10](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step10.png){ class="animation-figure" } === "<11>" ![knapsack_dp_step11](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step11.png){ class="animation-figure" } === "<12>" ![knapsack_dp_step12](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step12.png){ class="animation-figure" } === "<13>" ![knapsack_dp_step13](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step13.png){ class="animation-figure" } === "<14>" ![knapsack_dp_step14](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step14.png){ class="animation-figure" }

图 14-20 0-1 背包问题的动态规划过程

### 4. 空间优化由于每个状态都只与其上一行的状态有关，因此我们可以使用两个数组滚动前进，将空间复杂度从 $O(n^2)$ 降至 $O(n)$ 。进一步思考，我们能否仅用一个数组实现空间优化呢？观察可知，每个状态都是由正上方或左上方的格子转移过来的。假设只有一个数组，当开始遍历第 $i$ 行时，该数组存储的仍然是第 $i-1$ 行的状态。 - 如果采取正序遍历，那么遍历到 $dp[i, j]$ 时，左上方 $dp[i-1, 1]$ ~ $dp[i-1, j-1]$ 值可能已经被覆盖，此时就无法得到正确的状态转移结果。 - 如果采取倒序遍历，则不会发生覆盖问题，状态转移可以正确进行。图 14-21 展示了在单个数组下从第 $i = 1$ 行转换至第 $i = 2$ 行的过程。请思考正序遍历和倒序遍历的区别。 === "<1>" ![0-1 背包的空间优化后的动态规划过程](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_comp_step1.png){ class="animation-figure" } === "<2>" ![knapsack_dp_comp_step2](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_comp_step2.png){ class="animation-figure" } === "<3>" ![knapsack_dp_comp_step3](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_comp_step3.png){ class="animation-figure" } === "<4>" ![knapsack_dp_comp_step4](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_comp_step4.png){ class="animation-figure" } === "<5>" ![knapsack_dp_comp_step5](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_comp_step5.png){ class="animation-figure" } === "<6>" ![knapsack_dp_comp_step6](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_comp_step6.png){ class="animation-figure" }

图 14-21 0-1 背包的空间优化后的动态规划过程

在代码实现中，我们仅需将数组 `dp` 的第一维 $i$ 直接删除，并且把内循环更改为倒序遍历即可： === "Python" ```python title="knapsack.py" def knapsack_dp_comp(wgt: list[int], val: list[int], cap: int) -> int: """0-1 背包：空间优化后的动态规划""" n = len(wgt) # 初始化 dp 表 dp = [0] * (cap + 1) # 状态转移 for i in range(1, n + 1): # 倒序遍历 for c in range(cap, 0, -1): if wgt[i - 1] > c: # 若超过背包容量，则不选物品 i dp[c] = dp[c] else: # 不选和选物品 i 这两种方案的较大值 dp[c] = max(dp[c], dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]) return dp[cap] ``` === "C++" ```cpp title="knapsack.cpp" /* 0-1 背包：空间优化后的动态规划 */ int knapsackDPComp(vector &wgt, vector &val, int cap) { int n = wgt.size(); // 初始化 dp 表 vector dp(cap + 1, 0); // 状态转移 for (int i = 1; i <= n; i++) { // 倒序遍历 for (int c = cap; c >= 1; c--) { if (wgt[i - 1] <= c) { // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值 dp[c] = max(dp[c], dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]); } } } return dp[cap]; } ``` === "Java" ```java title="knapsack.java" /* 0-1 背包：空间优化后的动态规划 */ int knapsackDPComp(int[] wgt, int[] val, int cap) { int n = wgt.length; // 初始化 dp 表 int[] dp = new int[cap + 1]; // 状态转移 for (int i = 1; i <= n; i++) { // 倒序遍历 for (int c = cap; c >= 1; c--) { if (wgt[i - 1] <= c) { // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值 dp[c] = Math.max(dp[c], dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]); } } } return dp[cap]; } ``` === "C#" ```csharp title="knapsack.cs" /* 0-1 背包：空间优化后的动态规划 */ int KnapsackDPComp(int[] weight, int[] val, int cap) { int n = weight.Length; // 初始化 dp 表 int[] dp = new int[cap + 1]; // 状态转移 for (int i = 1; i <= n; i++) { // 倒序遍历 for (int c = cap; c > 0; c--) { if (weight[i - 1] > c) { // 若超过背包容量，则不选物品 i dp[c] = dp[c]; } else { // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值 dp[c] = Math.Max(dp[c], dp[c - weight[i - 1]] + val[i - 1]); } } } return dp[cap]; } ``` === "Go" ```go title="knapsack.go" /* 0-1 背包：空间优化后的动态规划 */ func knapsackDPComp(wgt, val []int, cap int) int { n := len(wgt) // 初始化 dp 表 dp := make([]int, cap+1) // 状态转移 for i := 1; i <= n; i++ { // 倒序遍历 for c := cap; c >= 1; c-- { if wgt[i-1] <= c { // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值 dp[c] = int(math.Max(float64(dp[c]), float64(dp[c-wgt[i-1]]+val[i-1]))) } } } return dp[cap] } ``` === "Swift" ```swift title="knapsack.swift" /* 0-1 背包：空间优化后的动态规划 */ func knapsackDPComp(wgt: [Int], val: [Int], cap: Int) -> Int { let n = wgt.count // 初始化 dp 表 var dp = Array(repeating: 0, count: cap + 1) // 状态转移 for i in 1 ... n { // 倒序遍历 for c in (1 ... cap).reversed() { if wgt[i - 1] <= c { // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值 dp[c] = max(dp[c], dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]) } } } return dp[cap] } ``` === "JS" ```javascript title="knapsack.js" /* 0-1 背包：状态压缩后的动态规划 */ function knapsackDPComp(wgt, val, cap) { const n = wgt.length; // 初始化 dp 表 const dp = Array(cap + 1).fill(0); // 状态转移 for (let i = 1; i <= n; i++) { // 倒序遍历 for (let c = cap; c >= 1; c--) { if (wgt[i - 1] <= c) { // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值 dp[c] = Math.max(dp[c], dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]); } } } return dp[cap]; } ``` === "TS" ```typescript title="knapsack.ts" /* 0-1 背包：状态压缩后的动态规划 */ function knapsackDPComp( wgt: Array, val: Array, cap: number ): number { const n = wgt.length; // 初始化 dp 表 const dp = Array(cap + 1).fill(0); // 状态转移 for (let i = 1; i <= n; i++) { // 倒序遍历 for (let c = cap; c >= 1; c--) { if (wgt[i - 1] <= c) { // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值 dp[c] = Math.max(dp[c], dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]); } } } return dp[cap]; } ``` === "Dart" ```dart title="knapsack.dart" /* 0-1 背包：空间优化后的动态规划 */ int knapsackDPComp(List wgt, List val, int cap) { int n = wgt.length; // 初始化 dp 表 List dp = List.filled(cap + 1, 0); // 状态转移 for (int i = 1; i <= n; i++) { // 倒序遍历 for (int c = cap; c >= 1; c--) { if (wgt[i - 1] <= c) { // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值 dp[c] = max(dp[c], dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]); } } } return dp[cap]; } ``` === "Rust" ```rust title="knapsack.rs" /* 0-1 背包：空间优化后的动态规划 */ fn knapsack_dp_comp(wgt: &[i32], val: &[i32], cap: usize) -> i32 { let n = wgt.len(); // 初始化 dp 表 let mut dp = vec![0; cap + 1]; // 状态转移 for i in 1..=n { // 倒序遍历 for c in (1..=cap).rev() { if wgt[i - 1] <= c as i32 { // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值 dp[c] = std::cmp::max(dp[c], dp[c - wgt[i - 1] as usize] + val[i - 1]); } } } dp[cap] } ``` === "C" ```c title="knapsack.c" /* 0-1 背包：空间优化后的动态规划 */ int knapsackDPComp(int wgt[], int val[], int cap, int wgtSize) { int n = wgtSize; // 初始化 dp 表 int *dp = calloc(cap + 1, sizeof(int)); // 状态转移 for (int i = 1; i <= n; i++) { // 倒序遍历 for (int c = cap; c >= 1; c--) { if (wgt[i - 1] <= c) { // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值 dp[c] = myMax(dp[c], dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]); } } } int res = dp[cap]; // 释放内存 free(dp); return res; } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="knapsack.kt" /* 0-1 背包：空间优化后的动态规划 */ fun knapsackDPComp(wgt: IntArray, _val: IntArray, cap: Int): Int { val n = wgt.size // 初始化 dp 表 val dp = IntArray(cap + 1) // 状态转移 for (i in 1..n) { // 倒序遍历 for (c in cap downTo 1) { if (wgt[i - 1] <= c) { // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值 dp[c] = max(dp[c], dp[c - wgt[i - 1]] + _val[i - 1]) } } } return dp[cap] } ``` === "Ruby" ```ruby title="knapsack.rb" [class]{}-[func]{knapsack_dp_comp} ``` === "Zig" ```zig title="knapsack.zig" // 0-1 背包：空间优化后的动态规划 fn knapsackDPComp(wgt: []i32, val: []i32, comptime cap: usize) i32 { var n = wgt.len; // 初始化 dp 表 var dp = [_]i32{0} ** (cap + 1); // 状态转移 for (1..n + 1) |i| { // 倒序遍历 var c = cap; while (c > 0) : (c -= 1) { if (wgt[i - 1] < c) { // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值 dp[c] = @max(dp[c], dp[c - @as(usize, @intCast(wgt[i - 1]))] + val[i - 1]); } } } return dp[cap]; } ``` ??? pythontutor "可视化运行"

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