12.5. 小结
- 分治算法是一种常见的算法设计策略,包括分(划分)和治(合并)两个阶段,通常基于递归实现。
- 判断是否是分治算法问题的依据包括:问题能否被分解、子问题是否独立、子问题是否可以被合并。
- 归并排序是分治策略的典型应用,其递归地将数组划分为等长的两个子数组,直到只剩一个元素时开始逐层合并,从而完成排序。
- 引入分治策略往往可以带来算法效率的提升。一方面,分治策略减少了计算操作数量;另一方面,分治后有利于系统的并行优化。
- 分治既可以解决许多算法问题,也广泛应用于数据结构与算法设计中,处处可见其身影。
- 相较于暴力搜索,自适应搜索效率更高。时间复杂度为 \(O(\log n)\) 的搜索算法通常都是基于分治策略实现的。
- 二分查找是分治思想的另一个典型应用,它不包含将子问题的解进行合并的步骤。我们可以通过递归分治实现二分查找。
- 在构建二叉树问题中,构建树(原问题)可以被划分为构建左子树和右子树(子问题),其可以通过划分前序遍历和中序遍历的索引区间来实现。
- 在汉诺塔问题中,一个规模为 \(n\) 的问题可以被划分为两个规模为 \(n-1\) 的子问题和一个规模为 \(1\) 的子问题。按顺序解决这三个子问题后,原问题随之得到解决。