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14.2   動態規劃問題特性

在上一節中，我們學習了動態規劃是如何透過子問題分解來求解原問題的。實際上，子問題分解是一種通用的演算法思路，在分治、動態規劃、回溯中的側重點不同。

  • 分治演算法遞迴地將原問題劃分為多個相互獨立的子問題，直至最小子問題，並在回溯中合併子問題的解，最終得到原問題的解。
  • 動態規劃也對問題進行遞迴分解，但與分治演算法的主要區別是，動態規劃中的子問題是相互依賴的，在分解過程中會出現許多重疊子問題。
  • 回溯演算法在嘗試和回退中窮舉所有可能的解，並透過剪枝避免不必要的搜尋分支。原問題的解由一系列決策步驟構成，我們可以將每個決策步驟之前的子序列看作一個子問題。

實際上，動態規劃常用來求解最最佳化問題，它們不僅包含重疊子問題，還具有另外兩大特性：最優子結構、無後效性。

14.2.1   最優子結構

我們對爬樓梯問題稍作改動，使之更加適合展示最優子結構概念。

爬樓梯最小代價

給定一個樓梯，你每步可以上 \(1\) 階或者 \(2\) 階，每一階樓梯上都貼有一個非負整數，表示你在該臺階所需要付出的代價。給定一個非負整數陣列 \(cost\) ，其中 \(cost[i]\) 表示在第 \(i\) 個臺階需要付出的代價，\(cost[0]\) 為地面（起始點）。請計算最少需要付出多少代價才能到達頂部？

如圖 14-6 所示，若第 \(1\)、\(2\)、\(3\) 階的代價分別為 \(1\)、\(10\)、\(1\) ，則從地面爬到第 \(3\) 階的最小代價為 \(2\) 。

爬到第 3 階的最小代價

圖 14-6   爬到第 3 階的最小代價

設 \(dp[i]\) 為爬到第 \(i\) 階累計付出的代價，由於第 \(i\) 階只可能從 \(i - 1\) 階或 \(i - 2\) 階走來，因此 \(dp[i]\) 只可能等於 \(dp[i - 1] + cost[i]\) 或 \(dp[i - 2] + cost[i]\) 。為了儘可能減少代價，我們應該選擇兩者中較小的那一個：

\[ dp[i] = \min(dp[i-1], dp[i-2]) + cost[i] \]

這便可以引出最優子結構的含義：原問題的最優解是從子問題的最優解構建得來的。

本題顯然具有最優子結構：我們從兩個子問題最優解 \(dp[i-1]\) 和 \(dp[i-2]\) 中挑選出較優的那一個，並用它構建出原問題 \(dp[i]\) 的最優解。

那麼，上一節的爬樓梯題目有沒有最優子結構呢？它的目標是求解方案數量，看似是一個計數問題，但如果換一種問法：“求解最大方案數量”。我們意外地發現，雖然題目修改前後是等價的，但最優子結構浮現出來了：第 \(n\) 階最大方案數量等於第 \(n-1\) 階和第 \(n-2\) 階最大方案數量之和。所以說，最優子結構的解釋方式比較靈活，在不同問題中會有不同的含義。

根據狀態轉移方程，以及初始狀態 \(dp[1] = cost[1]\) 和 \(dp[2] = cost[2]\) ，我們就可以得到動態規劃程式碼：

min_cost_climbing_stairs_dp.py
def min_cost_climbing_stairs_dp(cost: list[int]) -> int:
    """爬樓梯最小代價：動態規劃"""
    n = len(cost) - 1
    if n == 1 or n == 2:
        return cost[n]
    # 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
    dp = [0] * (n + 1)
    # 初始狀態：預設最小子問題的解
    dp[1], dp[2] = cost[1], cost[2]
    # 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
    for i in range(3, n + 1):
        dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i]
    return dp[n]
min_cost_climbing_stairs_dp.cpp
/* 爬樓梯最小代價：動態規劃 */
int minCostClimbingStairsDP(vector<int> &cost) {
    int n = cost.size() - 1;
    if (n == 1 || n == 2)
        return cost[n];
    // 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
    vector<int> dp(n + 1);
    // 初始狀態：預設最小子問題的解
    dp[1] = cost[1];
    dp[2] = cost[2];
    // 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
    }
    return dp[n];
}
min_cost_climbing_stairs_dp.java
/* 爬樓梯最小代價：動態規劃 */
int minCostClimbingStairsDP(int[] cost) {
    int n = cost.length - 1;
    if (n == 1 || n == 2)
        return cost[n];
    // 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
    int[] dp = new int[n + 1];
    // 初始狀態：預設最小子問題的解
    dp[1] = cost[1];
    dp[2] = cost[2];
    // 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = Math.min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
    }
    return dp[n];
}
min_cost_climbing_stairs_dp.cs
/* 爬樓梯最小代價：動態規劃 */
int MinCostClimbingStairsDP(int[] cost) {
    int n = cost.Length - 1;
    if (n == 1 || n == 2)
        return cost[n];
    // 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
    int[] dp = new int[n + 1];
    // 初始狀態：預設最小子問題的解
    dp[1] = cost[1];
    dp[2] = cost[2];
    // 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = Math.Min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
    }
    return dp[n];
}
min_cost_climbing_stairs_dp.go
/* 爬樓梯最小代價：動態規劃 */
func minCostClimbingStairsDP(cost []int) int {
    n := len(cost) - 1
    if n == 1 || n == 2 {
        return cost[n]
    }
    min := func(a, b int) int {
        if a < b {
            return a
        }
        return b
    }
    // 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
    dp := make([]int, n+1)
    // 初始狀態：預設最小子問題的解
    dp[1] = cost[1]
    dp[2] = cost[2]
    // 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
    for i := 3; i <= n; i++ {
        dp[i] = min(dp[i-1], dp[i-2]) + cost[i]
    }
    return dp[n]
}
min_cost_climbing_stairs_dp.swift
/* 爬樓梯最小代價：動態規劃 */
func minCostClimbingStairsDP(cost: [Int]) -> Int {
    let n = cost.count - 1
    if n == 1 || n == 2 {
        return cost[n]
    }
    // 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
    var dp = Array(repeating: 0, count: n + 1)
    // 初始狀態：預設最小子問題的解
    dp[1] = cost[1]
    dp[2] = cost[2]
    // 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
    for i in 3 ... n {
        dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i]
    }
    return dp[n]
}
min_cost_climbing_stairs_dp.js
/* 爬樓梯最小代價：動態規劃 */
function minCostClimbingStairsDP(cost) {
    const n = cost.length - 1;
    if (n === 1 || n === 2) {
        return cost[n];
    }
    // 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
    const dp = new Array(n + 1);
    // 初始狀態：預設最小子問題的解
    dp[1] = cost[1];
    dp[2] = cost[2];
    // 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
    for (let i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = Math.min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
    }
    return dp[n];
}
min_cost_climbing_stairs_dp.ts
/* 爬樓梯最小代價：動態規劃 */
function minCostClimbingStairsDP(cost: Array<number>): number {
    const n = cost.length - 1;
    if (n === 1 || n === 2) {
        return cost[n];
    }
    // 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
    const dp = new Array(n + 1);
    // 初始狀態：預設最小子問題的解
    dp[1] = cost[1];
    dp[2] = cost[2];
    // 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
    for (let i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = Math.min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
    }
    return dp[n];
}
min_cost_climbing_stairs_dp.dart
/* 爬樓梯最小代價：動態規劃 */
int minCostClimbingStairsDP(List<int> cost) {
  int n = cost.length - 1;
  if (n == 1 || n == 2) return cost[n];
  // 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
  List<int> dp = List.filled(n + 1, 0);
  // 初始狀態：預設最小子問題的解
  dp[1] = cost[1];
  dp[2] = cost[2];
  // 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
  for (int i = 3; i <= n; i++) {
    dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
  }
  return dp[n];
}
min_cost_climbing_stairs_dp.rs
/* 爬樓梯最小代價：動態規劃 */
fn min_cost_climbing_stairs_dp(cost: &[i32]) -> i32 {
    let n = cost.len() - 1;
    if n == 1 || n == 2 {
        return cost[n];
    }
    // 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
    let mut dp = vec![-1; n + 1];
    // 初始狀態：預設最小子問題的解
    dp[1] = cost[1];
    dp[2] = cost[2];
    // 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
    for i in 3..=n {
        dp[i] = cmp::min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
    }
    dp[n]
}
min_cost_climbing_stairs_dp.c
/* 爬樓梯最小代價：動態規劃 */
int minCostClimbingStairsDP(int cost[], int costSize) {
    int n = costSize - 1;
    if (n == 1 || n == 2)
        return cost[n];
    // 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
    int *dp = calloc(n + 1, sizeof(int));
    // 初始狀態：預設最小子問題的解
    dp[1] = cost[1];
    dp[2] = cost[2];
    // 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = myMin(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
    }
    int res = dp[n];
    // 釋放記憶體
    free(dp);
    return res;
}
min_cost_climbing_stairs_dp.kt
/* 爬樓梯最小代價：動態規劃 */
fun minCostClimbingStairsDP(cost: IntArray): Int {
    val n = cost.size - 1
    if (n == 1 || n == 2) return cost[n]
    // 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
    val dp = IntArray(n + 1)
    // 初始狀態：預設最小子問題的解
    dp[1] = cost[1]
    dp[2] = cost[2]
    // 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
    for (i in 3..n) {
        dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i]
    }
    return dp[n]
}
min_cost_climbing_stairs_dp.rb
[class]{}-[func]{min_cost_climbing_stairs_dp}
min_cost_climbing_stairs_dp.zig
// 爬樓梯最小代價：動態規劃
fn minCostClimbingStairsDP(comptime cost: []i32) i32 {
    comptime var n = cost.len - 1;
    if (n == 1 or n == 2) {
        return cost[n];
    }
    // 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
    var dp = [_]i32{-1} ** (n + 1);
    // 初始狀態：預設最小子問題的解
    dp[1] = cost[1];
    dp[2] = cost[2];
    // 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
    for (3..n + 1) |i| {
        dp[i] = @min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
    }
    return dp[n];
}
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圖 14-7 展示了以上程式碼的動態規劃過程。

爬樓梯最小代價的動態規劃過程

圖 14-7   爬樓梯最小代價的動態規劃過程

本題也可以進行空間最佳化，將一維壓縮至零維，使得空間複雜度從 \(O(n)\) 降至 \(O(1)\) ：

min_cost_climbing_stairs_dp.py
def min_cost_climbing_stairs_dp_comp(cost: list[int]) -> int:
    """爬樓梯最小代價：空間最佳化後的動態規劃"""
    n = len(cost) - 1
    if n == 1 or n == 2:
        return cost[n]
    a, b = cost[1], cost[2]
    for i in range(3, n + 1):
        a, b = b, min(a, b) + cost[i]
    return b
min_cost_climbing_stairs_dp.cpp
/* 爬樓梯最小代價：空間最佳化後的動態規劃 */
int minCostClimbingStairsDPComp(vector<int> &cost) {
    int n = cost.size() - 1;
    if (n == 1 || n == 2)
        return cost[n];
    int a = cost[1], b = cost[2];
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        int tmp = b;
        b = min(a, tmp) + cost[i];
        a = tmp;
    }
    return b;
}
min_cost_climbing_stairs_dp.java
/* 爬樓梯最小代價：空間最佳化後的動態規劃 */
int minCostClimbingStairsDPComp(int[] cost) {
    int n = cost.length - 1;
    if (n == 1 || n == 2)
        return cost[n];
    int a = cost[1], b = cost[2];
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        int tmp = b;
        b = Math.min(a, tmp) + cost[i];
        a = tmp;
    }
    return b;
}
min_cost_climbing_stairs_dp.cs
/* 爬樓梯最小代價：空間最佳化後的動態規劃 */
int MinCostClimbingStairsDPComp(int[] cost) {
    int n = cost.Length - 1;
    if (n == 1 || n == 2)
        return cost[n];
    int a = cost[1], b = cost[2];
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        int tmp = b;
        b = Math.Min(a, tmp) + cost[i];
        a = tmp;
    }
    return b;
}
min_cost_climbing_stairs_dp.go
/* 爬樓梯最小代價：空間最佳化後的動態規劃 */
func minCostClimbingStairsDPComp(cost []int) int {
    n := len(cost) - 1
    if n == 1 || n == 2 {
        return cost[n]
    }
    min := func(a, b int) int {
        if a < b {
            return a
        }
        return b
    }
    // 初始狀態：預設最小子問題的解
    a, b := cost[1], cost[2]
    // 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
    for i := 3; i <= n; i++ {
        tmp := b
        b = min(a, tmp) + cost[i]
        a = tmp
    }
    return b
}
min_cost_climbing_stairs_dp.swift
/* 爬樓梯最小代價：空間最佳化後的動態規劃 */
func minCostClimbingStairsDPComp(cost: [Int]) -> Int {
    let n = cost.count - 1
    if n == 1 || n == 2 {
        return cost[n]
    }
    var (a, b) = (cost[1], cost[2])
    for i in 3 ... n {
        (a, b) = (b, min(a, b) + cost[i])
    }
    return b
}
min_cost_climbing_stairs_dp.js
/* 爬樓梯最小代價：狀態壓縮後的動態規劃 */
function minCostClimbingStairsDPComp(cost) {
    const n = cost.length - 1;
    if (n === 1 || n === 2) {
        return cost[n];
    }
    let a = cost[1],
        b = cost[2];
    for (let i = 3; i <= n; i++) {
        const tmp = b;
        b = Math.min(a, tmp) + cost[i];
        a = tmp;
    }
    return b;
}
min_cost_climbing_stairs_dp.ts
/* 爬樓梯最小代價：狀態壓縮後的動態規劃 */
function minCostClimbingStairsDPComp(cost: Array<number>): number {
    const n = cost.length - 1;
    if (n === 1 || n === 2) {
        return cost[n];
    }
    let a = cost[1],
        b = cost[2];
    for (let i = 3; i <= n; i++) {
        const tmp = b;
        b = Math.min(a, tmp) + cost[i];
        a = tmp;
    }
    return b;
}
min_cost_climbing_stairs_dp.dart
/* 爬樓梯最小代價：空間最佳化後的動態規劃 */
int minCostClimbingStairsDPComp(List<int> cost) {
  int n = cost.length - 1;
  if (n == 1 || n == 2) return cost[n];
  int a = cost[1], b = cost[2];
  for (int i = 3; i <= n; i++) {
    int tmp = b;
    b = min(a, tmp) + cost[i];
    a = tmp;
  }
  return b;
}
min_cost_climbing_stairs_dp.rs
/* 爬樓梯最小代價：空間最佳化後的動態規劃 */
fn min_cost_climbing_stairs_dp_comp(cost: &[i32]) -> i32 {
    let n = cost.len() - 1;
    if n == 1 || n == 2 {
        return cost[n];
    };
    let (mut a, mut b) = (cost[1], cost[2]);
    for i in 3..=n {
        let tmp = b;
        b = cmp::min(a, tmp) + cost[i];
        a = tmp;
    }
    b
}
min_cost_climbing_stairs_dp.c
/* 爬樓梯最小代價：空間最佳化後的動態規劃 */
int minCostClimbingStairsDPComp(int cost[], int costSize) {
    int n = costSize - 1;
    if (n == 1 || n == 2)
        return cost[n];
    int a = cost[1], b = cost[2];
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        int tmp = b;
        b = myMin(a, tmp) + cost[i];
        a = tmp;
    }
    return b;
}
min_cost_climbing_stairs_dp.kt
/* 爬樓梯最小代價：空間最佳化後的動態規劃 */
fun minCostClimbingStairsDPComp(cost: IntArray): Int {
    val n = cost.size - 1
    if (n == 1 || n == 2) return cost[n]
    var a = cost[1]
    var b = cost[2]
    for (i in 3..n) {
        val tmp = b
        b = min(a, tmp) + cost[i]
        a = tmp
    }
    return b
}
min_cost_climbing_stairs_dp.rb
[class]{}-[func]{min_cost_climbing_stairs_dp_comp}
min_cost_climbing_stairs_dp.zig
// 爬樓梯最小代價：空間最佳化後的動態規劃
fn minCostClimbingStairsDPComp(cost: []i32) i32 {
    var n = cost.len - 1;
    if (n == 1 or n == 2) {
        return cost[n];
    }
    var a = cost[1];
    var b = cost[2];
    // 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
    for (3..n + 1) |i| {
        var tmp = b;
        b = @min(a, tmp) + cost[i];
        a = tmp;
    }
    return b;
}
視覺化執行

14.2.2   無後效性

無後效性是動態規劃能夠有效解決問題的重要特性之一，其定義為：給定一個確定的狀態，它的未來發展只與當前狀態有關，而與過去經歷的所有狀態無關。

以爬樓梯問題為例，給定狀態 \(i\) ，它會發展出狀態 \(i+1\) 和狀態 \(i+2\) ，分別對應跳 \(1\) 步和跳 \(2\) 步。在做出這兩種選擇時，我們無須考慮狀態 \(i\) 之前的狀態，它們對狀態 \(i\) 的未來沒有影響。

然而，如果我們給爬樓梯問題新增一個約束，情況就不一樣了。

帶約束爬樓梯

給定一個共有 \(n\) 階的樓梯，你每步可以上 \(1\) 階或者 \(2\) 階，但不能連續兩輪跳 \(1\) 階，請問有多少種方案可以爬到樓頂？

如圖 14-8 所示，爬上第 \(3\) 階僅剩 \(2\) 種可行方案，其中連續三次跳 \(1\) 階的方案不滿足約束條件，因此被捨棄。

帶約束爬到第 3 階的方案數量

圖 14-8   帶約束爬到第 3 階的方案數量

在該問題中，如果上一輪是跳 \(1\) 階上來的，那麼下一輪就必須跳 \(2\) 階。這意味著，下一步選擇不能由當前狀態（當前所在樓梯階數）獨立決定，還和前一個狀態（上一輪所在樓梯階數）有關。

不難發現，此問題已不滿足無後效性，狀態轉移方程 \(dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]\) 也失效了，因為 \(dp[i-1]\) 代表本輪跳 \(1\) 階，但其中包含了許多“上一輪是跳 \(1\) 階上來的”方案，而為了滿足約束，我們就不能將 \(dp[i-1]\) 直接計入 \(dp[i]\) 中。

為此，我們需要擴展狀態定義：狀態 \([i, j]\) 表示處在第 \(i\) 階並且上一輪跳了 \(j\) 階，其中 \(j \in \{1, 2\}\) 。此狀態定義有效地區分了上一輪跳了 \(1\) 階還是 \(2\) 階，我們可以據此判斷當前狀態是從何而來的。

  • 當上一輪跳了 \(1\) 階時，上上一輪只能選擇跳 \(2\) 階，即 \(dp[i, 1]\) 只能從 \(dp[i-1, 2]\) 轉移過來。
  • 當上一輪跳了 \(2\) 階時，上上一輪可選擇跳 \(1\) 階或跳 \(2\) 階，即 \(dp[i, 2]\) 可以從 \(dp[i-2, 1]\) 或 \(dp[i-2, 2]\) 轉移過來。

如圖 14-9 所示，在該定義下，\(dp[i, j]\) 表示狀態 \([i, j]\) 對應的方案數。此時狀態轉移方程為：

\[ \begin{cases} dp[i, 1] = dp[i-1, 2] \\ dp[i, 2] = dp[i-2, 1] + dp[i-2, 2] \end{cases} \]

考慮約束下的遞推關係

圖 14-9   考慮約束下的遞推關係

最終，返回 \(dp[n, 1] + dp[n, 2]\) 即可，兩者之和代表爬到第 \(n\) 階的方案總數：

climbing_stairs_constraint_dp.py
def climbing_stairs_constraint_dp(n: int) -> int:
    """帶約束爬樓梯：動態規劃"""
    if n == 1 or n == 2:
        return 1
    # 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
    dp = [[0] * 3 for _ in range(n + 1)]
    # 初始狀態：預設最小子問題的解
    dp[1][1], dp[1][2] = 1, 0
    dp[2][1], dp[2][2] = 0, 1
    # 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
    for i in range(3, n + 1):
        dp[i][1] = dp[i - 1][2]
        dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2]
    return dp[n][1] + dp[n][2]
climbing_stairs_constraint_dp.cpp
/* 帶約束爬樓梯：動態規劃 */
int climbingStairsConstraintDP(int n) {
    if (n == 1 || n == 2) {
        return 1;
    }
    // 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
    vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(3, 0));
    // 初始狀態：預設最小子問題的解
    dp[1][1] = 1;
    dp[1][2] = 0;
    dp[2][1] = 0;
    dp[2][2] = 1;
    // 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i][1] = dp[i - 1][2];
        dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
    }
    return dp[n][1] + dp[n][2];
}
climbing_stairs_constraint_dp.java
/* 帶約束爬樓梯：動態規劃 */
int climbingStairsConstraintDP(int n) {
    if (n == 1 || n == 2) {
        return 1;
    }
    // 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
    int[][] dp = new int[n + 1][3];
    // 初始狀態：預設最小子問題的解
    dp[1][1] = 1;
    dp[1][2] = 0;
    dp[2][1] = 0;
    dp[2][2] = 1;
    // 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i][1] = dp[i - 1][2];
        dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
    }
    return dp[n][1] + dp[n][2];
}
climbing_stairs_constraint_dp.cs
/* 帶約束爬樓梯：動態規劃 */
int ClimbingStairsConstraintDP(int n) {
    if (n == 1 || n == 2) {
        return 1;
    }
    // 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
    int[,] dp = new int[n + 1, 3];
    // 初始狀態：預設最小子問題的解
    dp[1, 1] = 1;
    dp[1, 2] = 0;
    dp[2, 1] = 0;
    dp[2, 2] = 1;
    // 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i, 1] = dp[i - 1, 2];
        dp[i, 2] = dp[i - 2, 1] + dp[i - 2, 2];
    }
    return dp[n, 1] + dp[n, 2];
}
climbing_stairs_constraint_dp.go
/* 帶約束爬樓梯：動態規劃 */
func climbingStairsConstraintDP(n int) int {
    if n == 1 || n == 2 {
        return 1
    }
    // 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
    dp := make([][3]int, n+1)
    // 初始狀態：預設最小子問題的解
    dp[1][1] = 1
    dp[1][2] = 0
    dp[2][1] = 0
    dp[2][2] = 1
    // 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
    for i := 3; i <= n; i++ {
        dp[i][1] = dp[i-1][2]
        dp[i][2] = dp[i-2][1] + dp[i-2][2]
    }
    return dp[n][1] + dp[n][2]
}
climbing_stairs_constraint_dp.swift
/* 帶約束爬樓梯：動態規劃 */
func climbingStairsConstraintDP(n: Int) -> Int {
    if n == 1 || n == 2 {
        return 1
    }
    // 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
    var dp = Array(repeating: Array(repeating: 0, count: 3), count: n + 1)
    // 初始狀態：預設最小子問題的解
    dp[1][1] = 1
    dp[1][2] = 0
    dp[2][1] = 0
    dp[2][2] = 1
    // 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
    for i in 3 ... n {
        dp[i][1] = dp[i - 1][2]
        dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2]
    }
    return dp[n][1] + dp[n][2]
}
climbing_stairs_constraint_dp.js
/* 帶約束爬樓梯：動態規劃 */
function climbingStairsConstraintDP(n) {
    if (n === 1 || n === 2) {
        return 1;
    }
    // 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
    const dp = Array.from(new Array(n + 1), () => new Array(3));
    // 初始狀態：預設最小子問題的解
    dp[1][1] = 1;
    dp[1][2] = 0;
    dp[2][1] = 0;
    dp[2][2] = 1;
    // 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
    for (let i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i][1] = dp[i - 1][2];
        dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
    }
    return dp[n][1] + dp[n][2];
}
climbing_stairs_constraint_dp.ts
/* 帶約束爬樓梯：動態規劃 */
function climbingStairsConstraintDP(n: number): number {
    if (n === 1 || n === 2) {
        return 1;
    }
    // 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
    const dp = Array.from({ length: n + 1 }, () => new Array(3));
    // 初始狀態：預設最小子問題的解
    dp[1][1] = 1;
    dp[1][2] = 0;
    dp[2][1] = 0;
    dp[2][2] = 1;
    // 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
    for (let i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i][1] = dp[i - 1][2];
        dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
    }
    return dp[n][1] + dp[n][2];
}
climbing_stairs_constraint_dp.dart
/* 帶約束爬樓梯：動態規劃 */
int climbingStairsConstraintDP(int n) {
  if (n == 1 || n == 2) {
    return 1;
  }
  // 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
  List<List<int>> dp = List.generate(n + 1, (index) => List.filled(3, 0));
  // 初始狀態：預設最小子問題的解
  dp[1][1] = 1;
  dp[1][2] = 0;
  dp[2][1] = 0;
  dp[2][2] = 1;
  // 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
  for (int i = 3; i <= n; i++) {
    dp[i][1] = dp[i - 1][2];
    dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
  }
  return dp[n][1] + dp[n][2];
}
climbing_stairs_constraint_dp.rs
/* 帶約束爬樓梯：動態規劃 */
fn climbing_stairs_constraint_dp(n: usize) -> i32 {
    if n == 1 || n == 2 {
        return 1;
    };
    // 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
    let mut dp = vec![vec![-1; 3]; n + 1];
    // 初始狀態：預設最小子問題的解
    dp[1][1] = 1;
    dp[1][2] = 0;
    dp[2][1] = 0;
    dp[2][2] = 1;
    // 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
    for i in 3..=n {
        dp[i][1] = dp[i - 1][2];
        dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
    }
    dp[n][1] + dp[n][2]
}
climbing_stairs_constraint_dp.c
/* 帶約束爬樓梯：動態規劃 */
int climbingStairsConstraintDP(int n) {
    if (n == 1 || n == 2) {
        return 1;
    }
    // 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
    int **dp = malloc((n + 1) * sizeof(int *));
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        dp[i] = calloc(3, sizeof(int));
    }
    // 初始狀態：預設最小子問題的解
    dp[1][1] = 1;
    dp[1][2] = 0;
    dp[2][1] = 0;
    dp[2][2] = 1;
    // 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i][1] = dp[i - 1][2];
        dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
    }
    int res = dp[n][1] + dp[n][2];
    // 釋放記憶體
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        free(dp[i]);
    }
    free(dp);
    return res;
}
climbing_stairs_constraint_dp.kt
/* 帶約束爬樓梯：動態規劃 */
fun climbingStairsConstraintDP(n: Int): Int {
    if (n == 1 || n == 2) {
        return 1
    }
    // 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
    val dp = Array(n + 1) { IntArray(3) }
    // 初始狀態：預設最小子問題的解
    dp[1][1] = 1
    dp[1][2] = 0
    dp[2][1] = 0
    dp[2][2] = 1
    // 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
    for (i in 3..n) {
        dp[i][1] = dp[i - 1][2]
        dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2]
    }
    return dp[n][1] + dp[n][2]
}
climbing_stairs_constraint_dp.rb
[class]{}-[func]{climbing_stairs_constraint_dp}
climbing_stairs_constraint_dp.zig
// 帶約束爬樓梯：動態規劃
fn climbingStairsConstraintDP(comptime n: usize) i32 {
    if (n == 1 or n == 2) {
        return 1;
    }
    // 初始化 dp 表，用於儲存子問題的解
    var dp = [_][3]i32{ [_]i32{ -1, -1, -1 } } ** (n + 1);
    // 初始狀態：預設最小子問題的解
    dp[1][1] = 1;
    dp[1][2] = 0;
    dp[2][1] = 0;
    dp[2][2] = 1;
    // 狀態轉移：從較小子問題逐步求解較大子問題
    for (3..n + 1) |i| {
        dp[i][1] = dp[i - 1][2];
        dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
    }
    return dp[n][1] + dp[n][2];
}
視覺化執行

在上面的案例中，由於僅需多考慮前面一個狀態，因此我們仍然可以透過擴展狀態定義，使得問題重新滿足無後效性。然而，某些問題具有非常嚴重的“有後效性”。

爬樓梯與障礙生成

給定一個共有 \(n\) 階的樓梯，你每步可以上 \(1\) 階或者 \(2\) 階。規定當爬到第 \(i\) 階時，系統自動會在第 \(2i\) 階上放上障礙物，之後所有輪都不允許跳到第 \(2i\) 階上。例如，前兩輪分別跳到了第 \(2\)、\(3\) 階上，則之後就不能跳到第 \(4\)、\(6\) 階上。請問有多少種方案可以爬到樓頂？

在這個問題中，下次跳躍依賴過去所有的狀態，因為每一次跳躍都會在更高的階梯上設定障礙，並影響未來的跳躍。對於這類問題，動態規劃往往難以解決。

實際上，許多複雜的組合最佳化問題（例如旅行商問題）不滿足無後效性。對於這類問題，我們通常會選擇使用其他方法，例如啟發式搜尋、遺傳演算法、強化學習等，從而在有限時間內得到可用的區域性最優解。