12.1   分治算法

「分治 Divide and Conquer」，全称分而治之，是一种非常重要且常见的算法策略。分治通常基于递归实现，包括“分”和“治”两步：

1. 分（划分阶段）：递归地将原问题分解为两个或多个子问题，直至到达最小子问题时终止。
2. 治（合并阶段）：从已知解的最小子问题开始，从底至顶地将子问题的解进行合并，从而构建出原问题的解。

已介绍过的「归并排序」是分治策略的典型应用之一，它的分治策略为：

1. 分：递归地将原数组（原问题）划分为两个子数组（子问题），直到子数组只剩一个元素（最小子问题）。
2. 治：从底至顶地将有序的子数组（子问题的解）进行合并，从而得到有序的原数组（原问题的解）。

图：归并排序的分治策略

12.1.1   如何判断分治问题

一个问题是否适合使用分治解决，通常可以参考以下几个判断依据：

1. 问题可以被分解：原问题可以被分解成规模更小、类似的子问题，以及能够以相同方式递归地进行划分。
2. 子问题是独立的：子问题之间是没有重叠的，互相没有依赖，可以被独立解决。
3. 子问题的解可以被合并：原问题的解通过合并子问题的解得来。

显然归并排序，满足以上三条判断依据：

1. 递归地将数组（原问题）划分为两个子数组（子问题）。
2. 每个子数组都可以独立地进行排序（子问题可以独立进行求解）。
3. 两个有序子数组（子问题的解）可以被合并为一个有序数组（原问题的解）。

12.1.2   通过分治提升效率

分治不仅可以有效地解决算法问题，往往还可以带来算法效率的提升。在排序算法中，快速排序、归并排序、堆排序相较于选择、冒泡、插入排序更快，就是因为它们应用了分治策略。

那么，我们不禁发问：为什么分治可以提升算法效率，其底层逻辑是什么？换句话说，将大问题分解为多个子问题、解决子问题、将子问题的解合并为原问题的解，这几步的效率为什么比直接解决原问题的效率更高？这个问题可以从操作数量和并行计算两方面来讨论。

1.   操作数量优化

以「冒泡排序」为例，其处理一个长度为 \(n\) 的数组需要 \(O(n^2)\) 时间。假设我们把数组从中点分为两个子数组，则划分需要 \(O(n)\) 时间，排序每个子数组需要 \(O((\frac{n}{2})^2)\) 时间，合并两个子数组需要 \(O(n)\) 时间，总体时间复杂度为：

\[ O(n + (\frac{n}{2})^2 \times 2 + n) = O(\frac{n^2}{2} + 2n) \]

图：划分数组前后的冒泡排序

接下来，我们计算以下不等式，其左边和右边分别为划分前和划分后的操作总数：

\[ \begin{aligned} n^2 & > \frac{n^2}{2} + 2n \newline n^2 - \frac{n^2}{2} - 2n & > 0 \newline n(n - 4) & > 0 \end{aligned} \]

这意味着当 \(n > 4\) 时，划分后的操作数量更少，排序效率应该更高。请注意，划分后的时间复杂度仍然是平方阶 \(O(n^2)\) ，只是复杂度中的常数项变小了。

进一步想，如果我们把子数组不断地再从中点划分为两个子数组，直至子数组只剩一个元素时停止划分呢？这种思路实际上就是「归并排序」，时间复杂度为 \(O(n \log n)\) 。

再思考，如果我们多设置几个划分点，将原数组平均划分为 \(k\) 个子数组呢？这种情况与「桶排序」非常类似，它非常适合排序海量数据，理论上时间复杂度可以达到 \(O(n + k)\) 。

2.   并行计算优化

我们知道，分治生成的子问题是相互独立的，因此通常可以并行解决。也就是说，分治不仅可以降低算法的时间复杂度，还有利于操作系统的并行优化。

并行优化在多核或多处理器的环境中尤其有效，因为系统可以同时处理多个子问题，更加充分地利用计算资源，从而显著减少总体的运行时间。

比如在桶排序中，我们将海量的数据平均分配到各个桶中，则可所有桶的排序任务分散到各个计算单元，完成后再进行结果合并。

图：桶排序的并行计算

12.1.3   分治常见应用

一方面，分治可以用来解决许多经典算法问题：

• 寻找最近点对：该算法首先将点集分成两部分，然后分别找出两部分中的最近点对，最后再找出跨越两部分的最近点对。
• 大整数乘法：例如 Karatsuba 算法，它是将大整数乘法分解为几个较小的整数的乘法和加法。
• 矩阵乘法：例如 Strassen 算法，它是将大矩阵乘法分解为多个小矩阵的乘法和加法。
• 汉诺塔问题：汉诺塔问题可以视为典型的分治策略，通过递归解决。
• 求解逆序对：在一个序列中，如果前面的数字大于后面的数字，那么这两个数字构成一个逆序对。求解逆序对问题可以通过分治的思想，借助归并排序进行求解。

另一方面，分治在算法和数据结构的设计中应用非常广泛，举几个已经学过的例子：

• 二分查找：二分查找是将有序数组从中点索引分为两部分，然后根据目标值与中间元素值比较结果，决定排除哪一半区间，然后在剩余区间执行相同的二分操作。
• 归并排序：文章开头已介绍，不再赘述。
• 快速排序：快速排序是选取一个基准值，然后把数组分为两个子数组，一个子数组的元素比基准值小，另一子数组的元素比基准值大，然后再对这两部分进行相同的划分操作，直至子数组只剩下一个元素。
• 桶排序：桶排序的基本思想是将数据分散到多个桶，然后对每个桶内的元素进行排序，最后将各个桶的元素依次取出，从而得到一个有序数组。
• 树：例如二叉搜索树、AVL 树、红黑树、B 树、B+ 树等，它们的查找、插入和删除等操作都可以视为分治的应用。
• 堆：堆是一种特殊的完全二叉树，其各种操作，如插入、删除和堆化，实际上都隐含了分治的思想。
• 哈希表：虽然哈希表来并不直接应用分治，但某些哈希冲突解决策略间接应用了分治策略，例如，链式地址中的长链表会被转化为红黑树，以提升查询效率。

可以看出，分治是一种“润物细无声”的算法思想，隐含在各种算法与数据结构之中。

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