11.7. 堆排序¶
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阅读本节前，请确保已完成堆章节的学习。
「堆排序 Heap Sort」是一种基于堆数据结构实现的高效排序算法。我们可以利用已经学过的“建堆操作”和“元素出堆操作”实现堆排序：
- 输入数组并建立小顶堆，此时最小元素位于堆顶。
- 初始化一个数组
res，用于存储排序结果。 - 循环执行 \(n\) 轮出堆操作，并依次将出堆元素记录至
res，即可得到从小到大排序的序列。
该方法虽然可行，但需要借助一个额外数组，比较浪费空间。在实际中，我们通常使用一种更加优雅的实现方式。设数组的长度为 \(n\) ，堆排序的流程如下：
- 输入数组并建立大顶堆。完成后，最大元素位于堆顶。
- 将堆顶元素（第一个元素）与堆底元素（最后一个元素）交换。完成交换后，堆的长度减 \(1\) ，已排序元素数量加 \(1\) 。
- 从堆顶元素开始，从顶到底执行堆化操作（Sift Down）。完成堆化后，堆的性质得到修复。
- 循环执行第
2.和3.步。循环 \(n - 1\) 轮后，即可完成数组排序。
实际上，元素出堆操作中也包含第 2. 和 3. 步，只是多了一个弹出元素的步骤。
在代码实现中，我们使用了与堆章节相同的从顶至底堆化（Sift Down）的函数。值得注意的是，由于堆的长度会随着提取最大元素而减小，因此我们需要给 Sift Down 函数添加一个长度参数 \(n\) ，用于指定堆的当前有效长度。
heap_sort.java
/* 堆的长度为 n ，从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
void siftDown(int[] nums, int n, int i) {
while (true) {
// 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
int l = 2 * i + 1;
int r = 2 * i + 2;
int ma = i;
if (l < n && nums[l] > nums[ma])
ma = l;
if (r < n && nums[r] > nums[ma])
ma = r;
// 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
if (ma == i)
break;
// 交换两节点
int temp = nums[i];
nums[i] = nums[ma];
nums[ma] = temp;
// 循环向下堆化
i = ma;
}
}
/* 堆排序 */
void heapSort(int[] nums) {
// 建堆操作：堆化除叶节点以外的其他所有节点
for (int i = nums.length / 2 - 1; i >= 0; i--) {
siftDown(nums, nums.length, i);
}
// 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮
for (int i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
int tmp = nums[0];
nums[0] = nums[i];
nums[i] = tmp;
// 以根节点为起点，从顶至底进行堆化
siftDown(nums, i, 0);
}
}
heap_sort.cpp
/* 堆的长度为 n ，从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
void siftDown(vector<int> &nums, int n, int i) {
while (true) {
// 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
int l = 2 * i + 1;
int r = 2 * i + 2;
int ma = i;
if (l < n && nums[l] > nums[ma])
ma = l;
if (r < n && nums[r] > nums[ma])
ma = r;
// 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
if (ma == i) {
break;
}
// 交换两节点
swap(nums[i], nums[ma]);
// 循环向下堆化
i = ma;
}
}
/* 堆排序 */
void heapSort(vector<int> &nums) {
// 建堆操作：堆化除叶节点以外的其他所有节点
for (int i = nums.size() / 2 - 1; i >= 0; --i) {
siftDown(nums, nums.size(), i);
}
// 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮
for (int i = nums.size() - 1; i > 0; --i) {
// 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
swap(nums[0], nums[i]);
// 以根节点为起点，从顶至底进行堆化
siftDown(nums, i, 0);
}
}
heap_sort.py
def sift_down(nums: list[int], n: int, i: int):
"""堆的长度为 n ，从节点 i 开始，从顶至底堆化"""
while True:
# 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
l = 2 * i + 1
r = 2 * i + 2
ma = i
if l < n and nums[l] > nums[ma]:
ma = l
if r < n and nums[r] > nums[ma]:
ma = r
# 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
if ma == i:
break
# 交换两节点
nums[i], nums[ma] = nums[ma], nums[i]
# 循环向下堆化
i = ma
def heap_sort(nums: list[int]):
"""堆排序"""
# 建堆操作：堆化除叶节点以外的其他所有节点
for i in range(len(nums) // 2 - 1, -1, -1):
sift_down(nums, len(nums), i)
# 从堆中提取最大元素，循环 n-1 轮
for i in range(len(nums) - 1, 0, -1):
# 交换根节点与最右叶节点（即交换首元素与尾元素）
nums[0], nums[i] = nums[i], nums[0]
# 以根节点为起点，从顶至底进行堆化
sift_down(nums, i, 0)
11.7.1. 算法特性¶
- 时间复杂度 \(O(n \log n)\) 、非自适应排序 ：从堆中提取最大元素的时间复杂度为 \(O(\log n)\) ，共循环 \(n - 1\) 轮。
- 空间复杂度 \(O(1)\) 、原地排序 ：几个指针变量使用 \(O(1)\) 空间。元素交换和堆化操作都是在原数组上进行的。
- 非稳定排序：在交换堆顶元素和堆底元素时，相等元素的相对位置可能发生变化。