12.3   构建二叉树问题

Question

给定一个二叉树的前序遍历 preorder 和中序遍历 inorder ，请从中构建二叉树，返回二叉树的根节点。

图 12-5   构建二叉树的示例数据

1.   判断是否为分治问题

原问题定义为从 preorder 和 inorder 构建二叉树，其是一个典型的分治问题。

• 问题可以被分解：从分治的角度切入，我们可以将原问题划分为两个子问题：构建左子树、构建右子树，加上一步操作：初始化根节点。而对于每个子树（子问题），我们仍然可以复用以上划分方法，将其划分为更小的子树（子问题），直至达到最小子问题（空子树）时终止。
• 子问题是独立的：左子树和右子树是相互独立的，它们之间没有交集。在构建左子树时，我们只需要关注中序遍历和前序遍历中与左子树对应的部分。右子树同理。
• 子问题的解可以合并：一旦得到了左子树和右子树（子问题的解），我们就可以将它们链接到根节点上，得到原问题的解。

2.   如何划分子树

根据以上分析，这道题是可以使用分治来求解的，但如何通过前序遍历 preorder 和中序遍历 inorder 来划分左子树和右子树呢？

根据定义，preorder 和 inorder 都可以被划分为三个部分。

• 前序遍历：[ 根节点 | 左子树 | 右子树 ] ，例如图 12-5 的树对应 [ 3 | 9 | 2 1 7 ] 。
• 中序遍历：[ 左子树 | 根节点 ｜ 右子树 ] ，例如图 12-5 的树对应 [ 9 | 3 | 1 2 7 ] 。

以上图数据为例，我们可以通过图 12-6 所示的步骤得到划分结果。

1. 前序遍历的首元素 3 是根节点的值。
2. 查找根节点 3 在 inorder 中的索引，利用该索引可将 inorder 划分为 [ 9 | 3 ｜ 1 2 7 ] 。
3. 根据 inorder 划分结果，易得左子树和右子树的节点数量分别为 1 和 3 ，从而可将 preorder 划分为 [ 3 | 9 | 2 1 7 ] 。

图 12-6   在前序和中序遍历中划分子树

3.   基于变量描述子树区间

根据以上划分方法，我们已经得到根节点、左子树、右子树在 preorder 和 inorder 中的索引区间。而为了描述这些索引区间，我们需要借助几个指针变量。

• 将当前树的根节点在 preorder 中的索引记为 \(i\) 。
• 将当前树的根节点在 inorder 中的索引记为 \(m\) 。
• 将当前树在 inorder 中的索引区间记为 \([l, r]\) 。

如表 12-1 所示，通过以上变量即可表示根节点在 preorder 中的索引，以及子树在 inorder 中的索引区间。

表 12-1   根节点和子树在前序和中序遍历中的索引

	根节点在 preorder 中的索引	子树在 inorder 中的索引区间
当前树	\(i\)	\([l, r]\)
左子树	\(i + 1\)	\([l, m-1]\)
右子树	\(i + 1 + (m - l)\)	\([m+1, r]\)

请注意，右子树根节点索引中的 \((m-l)\) 的含义是“左子树的节点数量”，建议配合图 12-7 理解。

图 12-7   根节点和左右子树的索引区间表示

4.   代码实现

为了提升查询 \(m\) 的效率，我们借助一个哈希表 hmap 来存储数组 inorder 中元素到索引的映射。

JavaC++PythonGoJSTSCC#SwiftZigDartRust

build_tree.java

/* 构建二叉树：分治 */
TreeNode dfs(int[] preorder, int[] inorder, Map<Integer, Integer> hmap, int i, int l, int r) {
    // 子树区间为空时终止
    if (r - l < 0)
        return null;
    // 初始化根节点
    TreeNode root = new TreeNode(preorder[i]);
    // 查询 m ，从而划分左右子树
    int m = hmap.get(preorder[i]);
    // 子问题：构建左子树
    root.left = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1, l, m - 1);
    // 子问题：构建右子树
    root.right = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1 + m - l, m + 1, r);
    // 返回根节点
    return root;
}

/* 构建二叉树 */
TreeNode buildTree(int[] preorder, int[] inorder) {
    // 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射
    Map<Integer, Integer> hmap = new HashMap<>();
    for (int i = 0; i < inorder.length; i++) {
        hmap.put(inorder[i], i);
    }
    TreeNode root = dfs(preorder, inorder, hmap, 0, 0, inorder.length - 1);
    return root;
}

build_tree.cpp

/* 构建二叉树：分治 */
TreeNode *dfs(vector<int> &preorder, vector<int> &inorder, unordered_map<int, int> &hmap, int i, int l, int r) {
    // 子树区间为空时终止
    if (r - l < 0)
        return NULL;
    // 初始化根节点
    TreeNode *root = new TreeNode(preorder[i]);
    // 查询 m ，从而划分左右子树
    int m = hmap[preorder[i]];
    // 子问题：构建左子树
    root->left = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1, l, m - 1);
    // 子问题：构建右子树
    root->right = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1 + m - l, m + 1, r);
    // 返回根节点
    return root;
}

/* 构建二叉树 */
TreeNode *buildTree(vector<int> &preorder, vector<int> &inorder) {
    // 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射
    unordered_map<int, int> hmap;
    for (int i = 0; i < inorder.size(); i++) {
        hmap[inorder[i]] = i;
    }
    TreeNode *root = dfs(preorder, inorder, hmap, 0, 0, inorder.size() - 1);
    return root;
}

build_tree.py

def dfs(
    preorder: list[int],
    inorder: list[int],
    hmap: dict[int, int],
    i: int,
    l: int,
    r: int,
) -> TreeNode | None:
    """构建二叉树：分治"""
    # 子树区间为空时终止
    if r - l < 0:
        return None
    # 初始化根节点
    root = TreeNode(preorder[i])
    # 查询 m ，从而划分左右子树
    m = hmap[preorder[i]]
    # 子问题：构建左子树
    root.left = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1, l, m - 1)
    # 子问题：构建右子树
    root.right = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1 + m - l, m + 1, r)
    # 返回根节点
    return root

def build_tree(preorder: list[int], inorder: list[int]) -> TreeNode | None:
    """构建二叉树"""
    # 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射
    hmap = {val: i for i, val in enumerate(inorder)}
    root = dfs(preorder, inorder, hmap, 0, 0, len(inorder) - 1)
    return root

build_tree.go

/* 构建二叉树：分治 */
func dfsBuildTree(preorder, inorder []int, hmap map[int]int, i, l, r int) *TreeNode {
    // 子树区间为空时终止
    if r-l < 0 {
        return nil
    }
    // 初始化根节点
    root := NewTreeNode(preorder[i])
    // 查询 m ，从而划分左右子树
    m := hmap[preorder[i]]
    // 子问题：构建左子树
    root.Left = dfsBuildTree(preorder, inorder, hmap, i+1, l, m-1)
    // 子问题：构建右子树
    root.Right = dfsBuildTree(preorder, inorder, hmap, i+1+m-l, m+1, r)
    // 返回根节点
    return root
}

/* 构建二叉树 */
func buildTree(preorder, inorder []int) *TreeNode {
    // 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射
    hmap := make(map[int]int, len(inorder))
    for i := 0; i < len(inorder); i++ {
        hmap[inorder[i]] = i
    }

    root := dfsBuildTree(preorder, inorder, hmap, 0, 0, len(inorder)-1)
    return root
}

build_tree.js

/* 构建二叉树：分治 */
function dfs(preorder, inorder, hmap, i, l, r) {
    // 子树区间为空时终止
    if (r - l < 0) return null;
    // 初始化根节点
    const root = new TreeNode(preorder[i]);
    // 查询 m ，从而划分左右子树
    const m = hmap.get(preorder[i]);
    // 子问题：构建左子树
    root.left = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1, l, m - 1);
    // 子问题：构建右子树
    root.right = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1 + m - l, m + 1, r);
    // 返回根节点
    return root;
}

/* 构建二叉树 */
function buildTree(preorder, inorder) {
    // 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射
    let hmap = new Map();
    for (let i = 0; i < inorder.length; i++) {
        hmap.set(inorder[i], i);
    }
    const root = dfs(preorder, inorder, hmap, 0, 0, inorder.length - 1);
    return root;
}

build_tree.ts

/* 构建二叉树：分治 */
function dfs(
    preorder: number[],
    inorder: number[],
    hmap: Map<number, number>,
    i: number,
    l: number,
    r: number
): TreeNode | null {
    // 子树区间为空时终止
    if (r - l < 0) return null;
    // 初始化根节点
    const root: TreeNode = new TreeNode(preorder[i]);
    // 查询 m ，从而划分左右子树
    const m = hmap.get(preorder[i]);
    // 子问题：构建左子树
    root.left = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1, l, m - 1);
    // 子问题：构建右子树
    root.right = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1 + m - l, m + 1, r);
    // 返回根节点
    return root;
}

/* 构建二叉树 */
function buildTree(preorder: number[], inorder: number[]): TreeNode | null {
    // 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射
    let hmap = new Map<number, number>();
    for (let i = 0; i < inorder.length; i++) {
        hmap.set(inorder[i], i);
    }
    const root = dfs(preorder, inorder, hmap, 0, 0, inorder.length - 1);
    return root;
}

build_tree.c

[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{buildTree}

build_tree.cs

/* 构建二叉树：分治 */
TreeNode dfs(int[] preorder, int[] inorder, Dictionary<int, int> hmap, int i, int l, int r) {
    // 子树区间为空时终止
    if (r - l < 0)
        return null;
    // 初始化根节点
    TreeNode root = new TreeNode(preorder[i]);
    // 查询 m ，从而划分左右子树
    int m = hmap[preorder[i]];
    // 子问题：构建左子树
    root.left = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1, l, m - 1);
    // 子问题：构建右子树
    root.right = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1 + m - l, m + 1, r);
    // 返回根节点
    return root;
}

/* 构建二叉树 */
TreeNode buildTree(int[] preorder, int[] inorder) {
    // 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射
    Dictionary<int, int> hmap = new Dictionary<int, int>();
    for (int i = 0; i < inorder.Length; i++) {
        hmap.TryAdd(inorder[i], i);
    }
    TreeNode root = dfs(preorder, inorder, hmap, 0, 0, inorder.Length - 1);
    return root;
}

build_tree.swift

[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{buildTree}

build_tree.zig

[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{buildTree}

build_tree.dart

/* 构建二叉树：分治 */
TreeNode? dfs(
  List<int> preorder,
  List<int> inorder,
  Map<int, int> hmap,
  int i,
  int l,
  int r,
) {
  // 子树区间为空时终止
  if (r - l < 0) {
    return null;
  }
  // 初始化根节点
  TreeNode? root = TreeNode(preorder[i]);
  // 查询 m ，从而划分左右子树
  int m = hmap[preorder[i]]!;
  // 子问题：构建左子树
  root.left = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1, l, m - 1);
  // 子问题：构建右子树
  root.right = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1 + m - l, m + 1, r);
  // 返回根节点
  return root;
}

/* 构建二叉树 */
TreeNode? buildTree(List<int> preorder, List<int> inorder) {
  // 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射
  Map<int, int> hmap = {};
  for (int i = 0; i < inorder.length; i++) {
    hmap[inorder[i]] = i;
  }
  TreeNode? root = dfs(preorder, inorder, hmap, 0, 0, inorder.length - 1);
  return root;
}

build_tree.rs

/* 构建二叉树：分治 */
fn dfs(preorder: &[i32], inorder: &[i32], hmap: &HashMap<i32, i32>, i: i32, l: i32, r: i32) -> Option<Rc<RefCell<TreeNode>>> {
    // 子树区间为空时终止
    if r - l < 0 { return None; }
    // 初始化根节点
    let root = TreeNode::new(preorder[i as usize]);
    // 查询 m ，从而划分左右子树
    let m = hmap.get(&preorder[i as usize]).unwrap();
    // 子问题：构建左子树
    root.borrow_mut().left = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1, l, m - 1);
    // 子问题：构建右子树
    root.borrow_mut().right = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1 + m - l, m + 1, r);
    // 返回根节点
    Some(root)
}

/* 构建二叉树 */
fn build_tree(preorder: &[i32], inorder: &[i32]) -> Option<Rc<RefCell<TreeNode>>> {
    // 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射
    let mut hmap: HashMap<i32, i32> = HashMap::new();
    for i in 0..inorder.len() {
        hmap.insert(inorder[i], i as i32);
    }
    let root = dfs(preorder, inorder, &hmap, 0, 0, inorder.len() as i32 - 1);
    root
}

图 12-8 展示了构建二叉树的递归过程，各个节点是在向下“递”的过程中建立的，而各条边（即引用）是在向上“归”的过程中建立的。

<1><2><3><4><5><6><7><8><9>

图 12-8   构建二叉树的递归过程

每个递归函数内的前序遍历 preorder 和中序遍历 inorder 的划分结果如图 12-9 所示。

图 12-9   每个递归函数中的划分结果

设树的节点数量为 \(n\) ，初始化每一个节点（执行一个递归函数 dfs() ）使用 \(O(1)\) 时间。因此总体时间复杂度为 \(O(n)\) 。

哈希表存储 inorder 元素到索引的映射，空间复杂度为 \(O(n)\) 。最差情况下，即二叉树退化为链表时，递归深度达到 \(n\) ，使用 \(O(n)\) 的栈帧空间。因此总体空间复杂度为 \(O(n)\) 。

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