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# 8.3.   Top-K 问题

!!! question

    给定一个长度为 $n$ 无序数组 `nums` ，请返回数组中前 $k$ 大的元素。

对于该问题，我们先介绍两种思路比较直接的解法，再介绍效率更高的堆解法。

## 8.3.1.   方法一：遍历选择

我们可以进行 $k$ 轮遍历，分别在每轮中提取第 $1$ , $2$ , $\cdots$ , $k$ 大的元素，时间复杂度为 $O(nk)$ 。

该方法只适用于 $k \ll n$ 的情况，因为当 $k$ 与 $n$ 比较接近时，其时间复杂度趋向于 $O(n^2)$ ，非常耗时。

![遍历寻找最大的 k 个元素](top_k.assets/top_k_traversal.png)

<p align="center"> Fig. 遍历寻找最大的 k 个元素 </p>

!!! tip

    当 $k = n$ 时，我们可以得到从大到小的序列，等价于「选择排序」算法。 

## 8.3.2. &nbsp; 方法二：排序

我们可以对数组 `nums` 进行排序，并返回最右边的 $k$ 个元素，时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。

显然，该方法“超额”完成任务了，因为我们只需要找出最大的 $k$ 个元素即可，而不需要排序其他元素。

![排序寻找最大的 k 个元素](top_k.assets/top_k_sorting.png)

<p align="center"> Fig. 排序寻找最大的 k 个元素 </p>

## 8.3.3. &nbsp; 方法三：堆

我们可以基于堆更加高效地解决 Top-K 问题，流程如下：

1. 初始化一个小顶堆，其堆顶元素最小；
2. 先将数组的前 $k$ 个元素依次入堆；
3. 从第 $k + 1$ 个元素开始，若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆，并将当前元素入堆；
4. 遍历完成后，堆中保存的就是最大的 $k$ 个元素；

=== "<1>"
    ![基于堆寻找最大的 k 个元素](top_k.assets/top_k_heap_step1.png)

=== "<2>"
    ![top_k_heap_step2](top_k.assets/top_k_heap_step2.png)

=== "<3>"
    ![top_k_heap_step3](top_k.assets/top_k_heap_step3.png)

=== "<4>"
    ![top_k_heap_step4](top_k.assets/top_k_heap_step4.png)

=== "<5>"
    ![top_k_heap_step5](top_k.assets/top_k_heap_step5.png)

=== "<6>"
    ![top_k_heap_step6](top_k.assets/top_k_heap_step6.png)

=== "<7>"
    ![top_k_heap_step7](top_k.assets/top_k_heap_step7.png)

=== "<8>"
    ![top_k_heap_step8](top_k.assets/top_k_heap_step8.png)

=== "<9>"
    ![top_k_heap_step9](top_k.assets/top_k_heap_step9.png)

总共执行了 $n$ 轮入堆和出堆，堆的最大长度为 $k$ ，因此时间复杂度为 $O(n \log k)$ 。该方法的效率很高，当 $k$ 较小时，时间复杂度趋向 $O(n)$ ；当 $k$ 较大时，时间复杂度不会超过 $O(n \log n)$ 。

另外，该方法适用于动态数据流的使用场景。在不断加入数据时，我们可以持续维护堆内的元素，从而实现最大 $k$ 个元素的动态更新。

=== "Java"

    ```java title="top_k.java"
    /* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */
    Queue<Integer> topKHeap(int[] nums, int k) {
        Queue<Integer> heap = new PriorityQueue<Integer>();
        // 将数组的前 k 个元素入堆
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            heap.add(nums[i]);
        }
        // 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
        for (int i = k; i < nums.length; i++) {
            // 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
            if (nums[i] > heap.peek()) {
                heap.poll();
                heap.add(nums[i]);
            }
        }
        return heap;
    }
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="top_k.cpp"
    /* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> topKHeap(vector<int> &nums, int k) {
        priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> heap;
        // 将数组的前 k 个元素入堆
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            heap.push(nums[i]);
        }
        // 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
        for (int i = k; i < nums.size(); i++) {
            // 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
            if (nums[i] > heap.top()) {
                heap.pop();
                heap.push(nums[i]);
            }
        }
        return heap;
    }
    ```

=== "Python"

    ```python title="top_k.py"
    def top_k_heap(nums: list[int], k: int) -> list[int]:
        """基于堆查找数组中最大的 k 个元素"""
        heap = []
        # 将数组的前 k 个元素入堆
        for i in range(k):
            heapq.heappush(heap, nums[i])
        # 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
        for i in range(k, len(nums)):
            # 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
            if nums[i] > heap[0]:
                heapq.heappop(heap)
                heapq.heappush(heap, nums[i])
        return heap
    ```

=== "Go"

    ```go title="top_k.go"
    [class]{maxHeap}-[func]{topKHeap}
    ```

=== "JavaScript"

    ```javascript title="top_k.js"
    [class]{}-[func]{topKHeap}
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title="top_k.ts"
    [class]{}-[func]{topKHeap}
    ```

=== "C"

    ```c title="top_k.c"
    [class]{maxHeap}-[func]{topKHeap}
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="top_k.cs"
    [class]{top_k}-[func]{topKHeap}
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="top_k.swift"
    [class]{}-[func]{topKHeap}
    ```

=== "Zig"

    ```zig title="top_k.zig"
    [class]{}-[func]{topKHeap}
    ```

=== "Dart"

    ```dart title="top_k.dart"
    [class]{}-[func]{top_k_heap}
    ```