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10.2.   二分查找边界

在上一节中，题目规定数组中所有元素都是唯一的。如果目标元素在数组中多次出现，上节介绍的方法只能保证返回其中一个目标元素的索引，而无法确定该索引的左边和右边还有多少目标元素。

Question

给定一个长度为 \(n\) 的有序数组 nums ，数组可能包含重复元素。请查找并返回元素 target 在数组中首次出现的索引。若数组中不包含该元素，则返回 \(-1\) 。

10.2.1.   线性方法

为了查找数组中最左边的 target ，我们可以分为两步：

  1. 进行二分查找，定位到任意一个 target 的索引，记为 \(k\) 。
  2. 以索引 \(k\) 为起始点，向左进行线性遍历，找到最左边的 target 返回即可。

线性查找最左边的元素

Fig. 线性查找最左边的元素

这个方法虽然有效，但由于包含线性查找，时间复杂度为 \(O(n)\) ，当存在很多重复的 target 时效率较低。

10.2.2.   二分方法

考虑仅使用二分查找解决该问题。整体算法流程不变，先计算中点索引 \(m\) ，再判断 target 和 nums[m] 大小关系：

  • 当 nums[m] < target 或 nums[m] > target 时，说明还没有找到 target ，因此采取与上节代码相同的缩小区间操作，从而使指针 \(i\) 和 \(j\) 向 target 靠近。
  • 当 nums[m] == target 时，说明“小于 target 的元素”在区间 \([i, m - 1]\) 中，因此采用 \(j = m - 1\) 来缩小区间，从而使指针 \(j\) 向小于 target 的元素靠近。

二分查找完成后，\(i\) 指向最左边的 target ，\(j\) 指向首个小于 target 的元素，因此返回索引 \(i\) 即可。

二分查找最左边元素的步骤

binary_search_left_edge_step2

binary_search_left_edge_step3

binary_search_left_edge_step4

binary_search_left_edge_step5

binary_search_left_edge_step6

binary_search_left_edge_step7

binary_search_left_edge_step8

注意，数组可能不包含目标元素 target 。因此在函数返回前，我们需要先判断 nums[i] 与 target 是否相等，以及索引 \(i\) 是否越界。

binary_search_edge.java
/* 二分查找最左一个元素 */
int binarySearchLeftEdge(int[] nums, int target) {
    int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target)
            i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
        else if (nums[m] > target)
            j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
        else
            j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
    }
    if (i == nums.length || nums[i] != target)
        return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
    return i;
}
binary_search_edge.cpp
/* 二分查找最左一个元素 */
int binarySearchLeftEdge(vector<int> &nums, int target) {
    int i = 0, j = nums.size() - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target)
            i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
        else if (nums[m] > target)
            j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
        else
            j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
    }
    if (i == nums.size() || nums[i] != target)
        return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
    return i;
}
binary_search_edge.py
def binary_search_left_edge(nums: list[int], target: int) -> int:
    """二分查找最左一个元素"""
    i, j = 0, len(nums) - 1  # 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while i <= j:
        m = (i + j) // 2  # 计算中点索引 m
        if nums[m] < target:
            i = m + 1  # target 在区间 [m+1, j] 中
        elif nums[m] > target:
            j = m - 1  # target 在区间 [i, m-1] 中
        else:
            j = m - 1  # 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
    if i == len(nums) or nums[i] != target:
        return -1  # 未找到目标元素，返回 -1
    return i
binary_search_edge.go
/* 二分查找最左一个元素 */
func binarySearchLeftEdge(nums []int, target int) int {
    // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    i, j := 0, len(nums)-1
    for i <= j {
        // 计算中点索引 m
        m := i + (j-i)/2
        if nums[m] < target {
            // target 在区间 [m+1, j] 中
            i = m + 1
        } else if nums[m] > target {
            // target 在区间 [i, m-1] 中
            j = m - 1
        } else {
            // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
            j = m - 1
        }
    }
    if i == len(nums) || nums[i] != target {
        // 未找到目标元素，返回 -1
        return -1
    }
    return i
}
binary_search_edge.js
/* 二分查找最左一个元素 */
function binarySearchLeftEdge(nums, target) {
    let i = 0,
        j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        let m = Math.floor((i + j) / 2); // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
        } else {
            j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
        }
    }
    if (i == nums.length || nums[i] != target) {
        return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
    }
    return i;
}
binary_search_edge.ts
/* 二分查找最左一个元素 */
function binarySearchLeftEdge(nums: number[], target: number): number {
    let i = 0, j = nums.length - 1;  // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        let m = Math.floor((i + j) / 2);  // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1;  // target 在区间 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1;  // target 在区间 [i, m-1] 中
        } else {
            j = m - 1;  // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
        }
    }
    if (i == nums.length || nums[i] != target) {
        return -1;  // 未找到目标元素，返回 -1
    }
    return i;
}
binary_search_edge.c
/* 二分查找最左一个元素 */
int binarySearchLeftEdge(int *nums, int size, int target) {
    int i = 0, j = size - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target)
            i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
        else if (nums[m] > target)
            j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
        else
            j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
    }
    if (i == size || nums[i] != target)
        return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
    return i;
}
binary_search_edge.cs
/* 二分查找最左一个元素 */
int binarySearchLeftEdge(int[] nums, int target) {
    int i = 0, j = nums.Length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target)
            i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
        else if (nums[m] > target)
            j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
        else
            j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
    }
    if (i == nums.Length || nums[i] != target)
        return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
    return i;
}
binary_search_edge.swift
/* 二分查找最左一个元素 */
func binarySearchLeftEdge(nums: [Int], target: Int) -> Int {
    // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    var i = 0
    var j = nums.count - 1
    while i <= j {
        let m = i + (j - 1) / 2 // 计算中点索引 m
        if nums[m] < target {
            i = m + 1 // target 在区间 [m+1, j] 中
        } else if nums[m] > target {
            j = m - 1 // target 在区间 [i, m-1] 中
        } else {
            j = m - 1 // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
        }
    }
    if i == nums.count || nums[i] != target {
        return -1 // 未找到目标元素，返回 -1
    }
    return i
}
binary_search_edge.zig
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
binary_search_edge.dart
/* 二分查找最左一个元素 */
int binarySearchLeftEdge(List<int> nums, int target) {
  int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
  while (i <= j) {
    int m = i + (j - i) ~/ 2; // 计算中间索引 m
    if (nums[m] < target)
      i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
    else if (nums[m] > target)
      j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
    else
      j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
  }
  if (i == nums.length || nums[i] != target) return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
  return i;
}
binary_search_edge.rs
/* 二分查找最左一个元素 */
fn binary_search_left_edge(nums: &[i32], target: i32) -> i32 {
    let mut i = 0;
    let mut j = nums.len() as i32 - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while i <= j {
        let m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if nums[m as usize] < target {
            i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
        } else if nums[m as usize] > target {
            j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
        } else {
            j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
        }
    }
    if i == nums.len() as i32 || nums[i as usize] != target {
        return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
    }
    i
}

10.2.3.   查找右边界

类似地，我们也可以二分查找最右边的 target 。当 nums[m] == target 时，说明大于 target 的元素在区间 \([m + 1, j]\) 中，因此执行 i = m + 1 ，使得指针 \(i\) 向大于 target 的元素靠近。

完成二分后，\(i\) 指向首个大于 target 的元素，\(j\) 指向最右边的 target ，因此返回索引 \(j\) 即可。

binary_search_edge.java
/* 二分查找最右一个元素 */
int binarySearchRightEdge(int[] nums, int target) {
    int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target)
            i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
        else if (nums[m] > target)
            j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
        else
            i = m + 1; // 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
    }
    if (j < 0 || nums[j] != target)
        return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
    return j;
}
binary_search_edge.cpp
/* 二分查找最右一个元素 */
int binarySearchRightEdge(vector<int> &nums, int target) {
    int i = 0, j = nums.size() - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target)
            i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
        else if (nums[m] > target)
            j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
        else
            i = m + 1; // 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
    }
    if (j < 0 || nums[j] != target)
        return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
    return j;
}
binary_search_edge.py
def binary_search_right_edge(nums: list[int], target: int) -> int:
    """二分查找最右一个元素"""
    i, j = 0, len(nums) - 1  # 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while i <= j:
        m = (i + j) // 2  # 计算中点索引 m
        if nums[m] < target:
            i = m + 1  # target 在区间 [m+1, j] 中
        elif nums[m] > target:
            j = m - 1  # target 在区间 [i, m-1] 中
        else:
            i = m + 1  # 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
    if j < 0 or nums[j] != target:
        return -1  # 未找到目标元素，返回 -1
    return j
binary_search_edge.go
/* 二分查找最右一个元素 */
func binarySearchRightEdge(nums []int, target int) int {
    // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    i, j := 0, len(nums)-1
    for i <= j {
        // 计算中点索引 m
        m := i + (j-i)/2
        if nums[m] < target {
            // target 在区间 [m+1, j] 中
            i = m + 1
        } else if nums[m] > target {
            // target 在区间 [i, m-1] 中
            j = m - 1
        } else {
            // 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
            i = m + 1
        }
    }
    if j < 0 || nums[j] != target {
        // 未找到目标元素，返回 -1
        return -1
    }
    return j
}
binary_search_edge.js
/* 二分查找最右一个元素 */
function binarySearchRightEdge(nums, target) {
    let i = 0,
        j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        let m = Math.floor((i + j) / 2); // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
        } else {
            i = m + 1; // 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
        }
    }
    if (j < 0 || nums[j] != target) {
        return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
    }
    return j;
}
binary_search_edge.ts
/* 二分查找最右一个元素 */
function binarySearchRightEdge(nums: number[], target: number): number {
    let i = 0, j = nums.length - 1;  // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        let m = Math.floor((i + j) / 2);  // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target) {
            i = m + 1;  // target 在区间 [m+1, j] 中
        } else if (nums[m] > target) {
            j = m - 1;  // target 在区间 [i, m-1] 中
        } else {
            i = m + 1;  // 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
        }
    }
    if (j < 0 || nums[j] != target) {
        return -1;  // 未找到目标元素，返回 -1
    }
    return j;
}
binary_search_edge.c
/* 二分查找最右一个元素 */
int binarySearchRightEdge(int *nums, int size, int target) {
    int i = 0, j = size - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target)
            i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
        else if (nums[m] > target)
            j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
        else
            i = m + 1; // 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
    }
    if (j < 0 || nums[j] != target)
        return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
    return j;
}
binary_search_edge.cs
/* 二分查找最右一个元素 */
int binarySearchRightEdge(int[] nums, int target) {
    int i = 0, j = nums.Length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target)
            i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
        else if (nums[m] > target)
            j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
        else
            i = m + 1; // 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
    }
    if (j < 0 || nums[j] != target)
        return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
    return j;
}
binary_search_edge.swift
/* 二分查找最右一个元素 */
func binarySearchRightEdge(nums: [Int], target: Int) -> Int {
    // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    var i = 0
    var j = nums.count - 1
    while i <= j {
        let m = i + (j - i) / 2 // 计算中点索引 m
        if nums[m] < target {
            i = m + 1 // target 在区间 [m+1, j] 中
        } else if nums[m] > target {
            j = m - 1 // target 在区间 [i, m-1] 中
        } else {
            i = m + 1 // 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
        }
    }
    if j < 0 || nums[j] != target {
        return -1 // 未找到目标元素，返回 -1
    }
    return j
}
binary_search_edge.zig
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
binary_search_edge.dart
/* 二分查找最右一个元素 */
int binarySearchRightEdge(List<int> nums, int target) {
  int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
  while (i <= j) {
    int m = i + (j - i) ~/ 2; // 计算中间索引 m
    if (nums[m] < target)
      i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
    else if (nums[m] > target)
      j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
    else
      i = m + 1; // 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
  }
  if (j < 0 || nums[j] != target) return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
  return j;
}
binary_search_edge.rs
/* 二分查找最右一个元素 */
fn binary_search_right_edge(nums: &[i32], target: i32) -> i32 {
    let mut i = 0;
    let mut j = nums.len() as i32 - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while i <= j {
        let m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if nums[m as usize] < target {
            i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
        } else if nums[m as usize] > target {
            j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
        } else {
            i = m + 1; // 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
        }
    }
    if j < 0 || nums[j as usize] != target {
        return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
    }
    j
}

观察下图，搜索最右边元素时指针 \(j\) 的作用与搜索最左边元素时指针 \(i\) 的作用一致，反之亦然。也就是说，搜索最左边元素和最右边元素的实现是镜像对称的。

查找最左边和最右边元素的对称性

Fig. 查找最左边和最右边元素的对称性

Tip

以上代码采取的都是“双闭区间”写法。有兴趣的读者可以自行实现“左闭右开”写法。

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