--- comments: true --- # 3.1.   数据与内存 ## 3.1.1.   基本数据类型 谈到计算机中的数据，我们能够想到文本、图片、视频、语音、3D 模型等等，这些数据虽然组织形式不同，但都是由各种基本数据类型构成的。 **「基本数据类型」是 CPU 可以直接进行运算的类型，在算法中直接被使用**。 - 「整数」根据不同的长度分为 byte, short, int, long ，根据算法需求选用，即在满足取值范围的情况下尽量减小内存空间占用； - 「浮点数」代表小数，根据长度分为 float, double ，同样根据算法的实际需求选用； - 「字符」在计算机中是以字符集的形式保存的，char 的值实际上是数字，代表字符集中的编号，计算机通过字符集查表来完成编号到字符的转换。占用空间通常为 2 bytes 或 1 byte ； - 「布尔」代表逻辑中的“是”与“否”，其占用空间需根据编程语言确定，通常为 1 byte 或 1 bit ；
| 类别 | 符号 | 占用空间 | 取值范围 | 默认值 | | ------ | ----------- | ----------------- | ---------------------------------------------- | -------------- | | 整数 | byte | 1 byte | $-2^7$ ~ $2^7 - 1$ ( $-128$ ~ $127$ ) | $0$ | | | short | 2 bytes | $-2^{15}$ ~ $2^{15} - 1$ | $0$ | | | **int** | 4 bytes | $-2^{31}$ ~ $2^{31} - 1$ | $0$ | | | long | 8 bytes | $-2^{63}$ ~ $2^{63} - 1$ | $0$ | | 浮点数 | **float** | 4 bytes | $-3.4 \times 10^{38}$ ~ $3.4 \times 10^{38}$ | $0.0$ f | | | double | 8 bytes | $-1.7 \times 10^{308}$ ~ $1.7 \times 10^{308}$ | $0.0$ | | 字符 | **char** | 2 bytes / 1 byte | $0$ ~ $2^{16} - 1$ | $0$ | | 布尔 | **bool** | 1 byte / 1 bit | $\text{true}$ 或 $\text{false}$ | $\text{false}$ |
!!! tip 以上表格中，加粗项在「算法题」中最为常用。此表格无需硬背，大致理解即可，需要时可以通过查表来回忆。 ### 整数表示方式 整数的取值范围取决于变量使用的内存长度，即字节（或比特）数。在计算机中， 1 字节 (byte) = 8 比特 (bit) ， 1 比特即 1 个二进制位。以 int 类型为例： 1. 整数类型 int 占用 4 bytes = 32 bits ，因此可以表示 $2^{32}$ 个不同的数字； 2. 将最高位看作符号位，$0$ 代表正数，$1$ 代表负数，从而可以表示 $2^{31}$ 个正数和 $2^{31}$ 个负数； 3. 当所有 bits 为 0 时代表数字 $0$ ，从零开始增大，可得最大正数为 $2^{31} - 1$ ； 4. 剩余 $2^{31}$ 个数字全部用来表示负数，因此最小负数为 $-2^{31}$ ；具体细节涉及到到“源码、反码、补码”知识，有兴趣的同学可以查阅学习； 其它整数类型 byte, short, long 取值范围的计算方法与 int 类似，在此不再赘述。 ### 浮点数表示方式 * !!! note 在本书中，标题后的 `*` 符号代表选读章节，如果你觉得理解困难，建议先跳过，等学完必读章节后续再单独攻克。 细心的你可能会疑惑： int 和 float 长度相同，都是 4 bytes ，**但为什么 float 的取值范围远大于 int** ？按说 float 需要表示小数，取值范围应该变小才对。 其实，这是因为浮点数 float 采用了不同的表示方式。IEEE 754 标准规定，32-bit 长度的 float 由以下部分构成： - 符号位 $\mathrm{S}$ ：占 1 bit ； - 指数位 $\mathrm{E}$ ：占 8 bits ； - 分数位 $\mathrm{N}$ ：占 24 bits ，其中 23 位显式存储； 设 32-bit 二进制数的第 $i$ 位为 $b_i$ ，则 float 值的计算方法定义为 $$ \text { val } = (-1)^{b_{31}} \times 2^{\left(b_{30} b_{29} \ldots b_{23}\right)_2-127} \times\left(1 . b_{22} b_{21} \ldots b_0\right)_2 $$ 转化到十进制下的计算公式为 $$ \text { val }=(-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{\mathrm{E} -127} \times (1 + \mathrm{N}) $$ 其中各项的取值范围为 $$ \begin{aligned} \mathrm{S} \in & \{ 0, 1\} , \quad \mathrm{E} \in \{ 1, 2, \dots, 254 \} \newline (1 + \mathrm{N}) = & (1 + \sum_{i=1}^{23} b_{23-i} 2^{-i}) \subset [1, 2 - 2^{-23}] \end{aligned} $$ ![IEEE 754 标准下的 float 表示方式](data_and_memory.assets/ieee_754_float.png)

Fig. IEEE 754 标准下的 float 表示方式

以上图为例，$\mathrm{S} = 0$ ， $\mathrm{E} = 124$ ，$\mathrm{N} = 2^{-2} + 2^{-3} = 0.375$ ，易得 $$ \text { val } = (-1)^0 \times 2^{124 - 127} \times (1 + 0.375) = 0.171875 $$ 现在我们可以回答开始的问题：**float 的表示方式包含指数位，导致其取值范围远大于 int** 。根据以上计算， float 可表示的最大正数为 $2^{254 - 127} \times (2 - 2^{-23}) \approx 3.4 \times 10^{38}$ ，切换符号位便可得到最小负数。 **浮点数 float 虽然拓展了取值范围，但副作用是牺牲了精度**。整数类型 int 将全部 32 位用于表示数字，数字是均匀分布的；而由于指数位的存在，浮点数 float 的数值越大，相邻两个数字之间的差值就会趋向越大。 进一步地，指数位 $E = 0$ 和 $E = 255$ 具有特殊含义，**用于表示零、无穷大、$\mathrm{NaN}$ 等**。
| 指数位 E | 分数位 $\mathrm{N} = 0$ | 分数位 $\mathrm{N} \ne 0$ | 计算公式 | | ------------------ | ----------------------- | ---------------------------- | ------------------------------------------------------------ | | $0$ | $\pm 0$ | 次正规数 | $(-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{-126} \times (0.\mathrm{N})$ | | $1, 2, \dots, 254$ | 正规数 | 正规数 | $(-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{(\mathrm{E} -127)} \times (1.\mathrm{N})$ | | $255$ | $\pm \infty$ | $\mathrm{NaN}$ | |
特别地，次正规数显著提升了小数精度： - 最小正正规数为 $2^{-126} \approx 1.18 \times 10^{-38}$ ； - 最小正次正规数为 $2^{-126} \times 2^{-23} \approx 1.4 \times 10^{-45}$ ； 双精度 double 也采用类似 float 的表示方法，在此不再赘述。 ### 基本数据类型与数据结构的关系 我们知道，**数据结构是在计算机中组织与存储数据的方式**，它的主语是“结构”，而不是“数据”。如果我们想要表示“一排数字”，自然想到使用「数组」数据结构。数组的存储方式可以表示数字的相邻关系、顺序关系，但至于其中存储的是整数 int ，还是小数 float ，或是字符 char ，**则与所谓的数据的结构无关了**。 换言之，基本数据类型提供了数据的“内容类型”，而数据结构提供数据的“组织方式”。 === "Java" ```java title="" /* 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」 */ int[] numbers = new int[5]; float[] decimals = new float[5]; char[] characters = new char[5]; boolean[] booleans = new boolean[5]; ``` === "C++" ```cpp title="" /* 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」 */ int numbers[5]; float decimals[5]; char characters[5]; bool booleans[5]; ``` === "Python" ```python title="" """ Python 的 list 可以自由存储各种基本数据类型和对象 """ list = [0, 0.0, 'a', False] ``` === "Go" ```go title="" // 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」 var numbers = [5]int{} var decimals = [5]float64{} var characters = [5]byte{} var booleans = [5]bool{} ``` === "JavaScript" ```javascript title="" /* JavaScript 的数组可以自由存储各种基本数据类型和对象 */ const array = [0, 0.0, 'a', false]; ``` === "TypeScript" ```typescript title="" /* 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」 */ const numbers: number[] = []; const characters: string[] = []; const booleans: boolean[] = []; ``` === "C" ```c title="" /* 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」 */ int numbers[10]; float decimals[10]; char characters[10]; bool booleans[10]; ``` === "C#" ```csharp title="" /* 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」 */ int[] numbers = new int[5]; float[] decimals = new float[5]; char[] characters = new char[5]; bool[] booleans = new bool[5]; ``` === "Swift" ```swift title="" /* 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」 */ let numbers = Array(repeating: Int(), count: 5) let decimals = Array(repeating: Double(), count: 5) let characters = Array(repeating: Character("a"), count: 5) let booleans = Array(repeating: Bool(), count: 5) ``` === "Zig" ```zig title="" ``` ## 3.1.2.   计算机内存 在计算机中，内存和硬盘是两种主要的存储硬件设备。「硬盘」主要用于长期存储数据，容量较大（通常可达到 TB 级别）、速度较慢。「内存」用于运行程序时暂存数据，速度较快，但容量较小（通常为 GB 级别）。 **算法运行中，相关数据都被存储在内存中**。下图展示了一个计算机内存条，其中每个黑色方块都包含一块内存空间。我们可以将内存想象成一个巨大的 Excel 表格，其中每个单元格都可以存储 1 byte 的数据，在算法运行时，所有数据都被存储在这些单元格中。 **系统通过「内存地址 Memory Location」来访问目标内存位置的数据**。计算机根据特定规则给表格中每个单元格编号，保证每块内存空间都有独立的内存地址。自此，程序便通过这些地址，访问内存中的数据。 ![内存条、内存空间、内存地址](data_and_memory.assets/computer_memory_location.png)

Fig. 内存条、内存空间、内存地址

**内存资源是设计数据结构与算法的重要考虑因素**。内存是所有程序的公共资源，当内存被某程序占用时，不能被其它程序同时使用。我们需要根据剩余内存资源的情况来设计算法。例如，若剩余内存空间有限，则要求算法占用的峰值内存不能超过系统剩余内存；若运行的程序很多、缺少大块连续的内存空间，则要求选取的数据结构必须能够存储在离散的内存空间内。