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# 6.2   哈希冲突

上节提到，**通常情况下哈希函数的输入空间远大于输出空间**，因此理论上哈希冲突是不可避免的。比如，输入空间为全体整数，输出空间为数组容量大小，则必然有多个整数映射至同一数组索引。

哈希冲突会导致查询结果错误，严重影响哈希表的可用性。为解决该问题，我们可以每当遇到哈希冲突时就进行哈希表扩容，直至冲突消失为止。此方法简单粗暴且有效，但效率太低，因为哈希表扩容需要进行大量的数据搬运与哈希值计算。为了提升效率，我们切换一下思路：

1. 改良哈希表数据结构，**使得哈希表可以在存在哈希冲突时正常工作**。
2. 仅在必要时，即当哈希冲突比较严重时，才执行扩容操作。

哈希表的结构改良方法主要包括链式地址和开放寻址。

## 6.2.1   链式地址

在原始哈希表中，每个桶仅能存储一个键值对。「链式地址 separate chaining」将单个元素转换为链表，将键值对作为链表节点，将所有发生冲突的键值对都存储在同一链表中。图 6-5 展示了一个链式地址哈希表的例子。

![链式地址哈希表](hash_collision.assets/hash_table_chaining.png)

<p align="center"> 图 6-5 &nbsp; 链式地址哈希表 </p>

链式地址下，哈希表的操作方法包括：

- **查询元素**：输入 `key` ，经过哈希函数得到数组索引，即可访问链表头节点，然后遍历链表并对比 `key` 以查找目标键值对。
- **添加元素**：先通过哈希函数访问链表头节点，然后将节点（即键值对）添加到链表中。
- **删除元素**：根据哈希函数的结果访问链表头部，接着遍历链表以查找目标节点，并将其删除。

该方法存在一些局限性，包括：

- **占用空间增大**，链表包含节点指针，它相比数组更加耗费内存空间。
- **查询效率降低**，因为需要线性遍历链表来查找对应元素。

以下给出了链式地址哈希表的简单实现，需要注意：

- 为了使得代码尽量简短，我们使用列表（动态数组）代替链表。在这种设定下，哈希表（数组）包含多个桶，每个桶都是一个列表。
- 以下代码实现了哈希表扩容方法。具体来看，当负载因子超过 $0.75$ 时，我们将哈希表扩容至 $2$ 倍。

=== "Java"

    ```java title="hash_map_chaining.java"
    /* 链式地址哈希表 */
    class HashMapChaining {
        int size; // 键值对数量
        int capacity; // 哈希表容量
        double loadThres; // 触发扩容的负载因子阈值
        int extendRatio; // 扩容倍数
        List<List<Pair>> buckets; // 桶数组

        /* 构造方法 */
        public HashMapChaining() {
            size = 0;
            capacity = 4;
            loadThres = 2 / 3.0;
            extendRatio = 2;
            buckets = new ArrayList<>(capacity);
            for (int i = 0; i < capacity; i++) {
                buckets.add(new ArrayList<>());
            }
        }

        /* 哈希函数 */
        int hashFunc(int key) {
            return key % capacity;
        }

        /* 负载因子 */
        double loadFactor() {
            return (double) size / capacity;
        }

        /* 查询操作 */
        String get(int key) {
            int index = hashFunc(key);
            List<Pair> bucket = buckets.get(index);
            // 遍历桶，若找到 key 则返回对应 val
            for (Pair pair : bucket) {
                if (pair.key == key) {
                    return pair.val;
                }
            }
            // 若未找到 key 则返回 null
            return null;
        }

        /* 添加操作 */
        void put(int key, String val) {
            // 当负载因子超过阈值时，执行扩容
            if (loadFactor() > loadThres) {
                extend();
            }
            int index = hashFunc(key);
            List<Pair> bucket = buckets.get(index);
            // 遍历桶，若遇到指定 key ，则更新对应 val 并返回
            for (Pair pair : bucket) {
                if (pair.key == key) {
                    pair.val = val;
                    return;
                }
            }
            // 若无该 key ，则将键值对添加至尾部
            Pair pair = new Pair(key, val);
            bucket.add(pair);
            size++;
        }

        /* 删除操作 */
        void remove(int key) {
            int index = hashFunc(key);
            List<Pair> bucket = buckets.get(index);
            // 遍历桶，从中删除键值对
            for (Pair pair : bucket) {
                if (pair.key == key) {
                    bucket.remove(pair);
                    size--;
                    break;
                }
            }
        }

        /* 扩容哈希表 */
        void extend() {
            // 暂存原哈希表
            List<List<Pair>> bucketsTmp = buckets;
            // 初始化扩容后的新哈希表
            capacity *= extendRatio;
            buckets = new ArrayList<>(capacity);
            for (int i = 0; i < capacity; i++) {
                buckets.add(new ArrayList<>());
            }
            size = 0;
            // 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
            for (List<Pair> bucket : bucketsTmp) {
                for (Pair pair : bucket) {
                    put(pair.key, pair.val);
                }
            }
        }

        /* 打印哈希表 */
        void print() {
            for (List<Pair> bucket : buckets) {
                List<String> res = new ArrayList<>();
                for (Pair pair : bucket) {
                    res.add(pair.key + " -> " + pair.val);
                }
                System.out.println(res);
            }
        }
    }
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="hash_map_chaining.cpp"
    /* 链式地址哈希表 */
    class HashMapChaining {
      private:
        int size;                       // 键值对数量
        int capacity;                   // 哈希表容量
        double loadThres;               // 触发扩容的负载因子阈值
        int extendRatio;                // 扩容倍数
        vector<vector<Pair *>> buckets; // 桶数组

      public:
        /* 构造方法 */
        HashMapChaining() : size(0), capacity(4), loadThres(2.0 / 3), extendRatio(2) {
            buckets.resize(capacity);
        }

        /* 哈希函数 */
        int hashFunc(int key) {
            return key % capacity;
        }

        /* 负载因子 */
        double loadFactor() {
            return (double)size / (double)capacity;
        }

        /* 查询操作 */
        string get(int key) {
            int index = hashFunc(key);
            // 遍历桶，若找到 key 则返回对应 val
            for (Pair *pair : buckets[index]) {
                if (pair->key == key) {
                    return pair->val;
                }
            }
            // 若未找到 key 则返回 nullptr
            return nullptr;
        }

        /* 添加操作 */
        void put(int key, string val) {
            // 当负载因子超过阈值时，执行扩容
            if (loadFactor() > loadThres) {
                extend();
            }
            int index = hashFunc(key);
            // 遍历桶，若遇到指定 key ，则更新对应 val 并返回
            for (Pair *pair : buckets[index]) {
                if (pair->key == key) {
                    pair->val = val;
                    return;
                }
            }
            // 若无该 key ，则将键值对添加至尾部
            buckets[index].push_back(new Pair(key, val));
            size++;
        }

        /* 删除操作 */
        void remove(int key) {
            int index = hashFunc(key);
            auto &bucket = buckets[index];
            // 遍历桶，从中删除键值对
            for (int i = 0; i < bucket.size(); i++) {
                if (bucket[i]->key == key) {
                    Pair *tmp = bucket[i];
                    bucket.erase(bucket.begin() + i); // 从中删除键值对
                    delete tmp;                       // 释放内存
                    size--;
                    return;
                }
            }
        }

        /* 扩容哈希表 */
        void extend() {
            // 暂存原哈希表
            vector<vector<Pair *>> bucketsTmp = buckets;
            // 初始化扩容后的新哈希表
            capacity *= extendRatio;
            buckets.clear();
            buckets.resize(capacity);
            size = 0;
            // 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
            for (auto &bucket : bucketsTmp) {
                for (Pair *pair : bucket) {
                    put(pair->key, pair->val);
                    // 释放内存
                    delete pair;
                }
            }
        }

        /* 打印哈希表 */
        void print() {
            for (auto &bucket : buckets) {
                cout << "[";
                for (Pair *pair : bucket) {
                    cout << pair->key << " -> " << pair->val << ", ";
                }
                cout << "]\n";
            }
        }
    };
    ```

=== "Python"

    ```python title="hash_map_chaining.py"
    class HashMapChaining:
        """链式地址哈希表"""

        def __init__(self):
            """构造方法"""
            self.size = 0  # 键值对数量
            self.capacity = 4  # 哈希表容量
            self.load_thres = 2 / 3  # 触发扩容的负载因子阈值
            self.extend_ratio = 2  # 扩容倍数
            self.buckets = [[] for _ in range(self.capacity)]  # 桶数组

        def hash_func(self, key: int) -> int:
            """哈希函数"""
            return key % self.capacity

        def load_factor(self) -> float:
            """负载因子"""
            return self.size / self.capacity

        def get(self, key: int) -> str:
            """查询操作"""
            index = self.hash_func(key)
            bucket = self.buckets[index]
            # 遍历桶，若找到 key 则返回对应 val
            for pair in bucket:
                if pair.key == key:
                    return pair.val
            # 若未找到 key 则返回 None
            return None

        def put(self, key: int, val: str):
            """添加操作"""
            # 当负载因子超过阈值时，执行扩容
            if self.load_factor() > self.load_thres:
                self.extend()
            index = self.hash_func(key)
            bucket = self.buckets[index]
            # 遍历桶，若遇到指定 key ，则更新对应 val 并返回
            for pair in bucket:
                if pair.key == key:
                    pair.val = val
                    return
            # 若无该 key ，则将键值对添加至尾部
            pair = Pair(key, val)
            bucket.append(pair)
            self.size += 1

        def remove(self, key: int):
            """删除操作"""
            index = self.hash_func(key)
            bucket = self.buckets[index]
            # 遍历桶，从中删除键值对
            for pair in bucket:
                if pair.key == key:
                    bucket.remove(pair)
                    self.size -= 1
                    break

        def extend(self):
            """扩容哈希表"""
            # 暂存原哈希表
            buckets = self.buckets
            # 初始化扩容后的新哈希表
            self.capacity *= self.extend_ratio
            self.buckets = [[] for _ in range(self.capacity)]
            self.size = 0
            # 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
            for bucket in buckets:
                for pair in bucket:
                    self.put(pair.key, pair.val)

        def print(self):
            """打印哈希表"""
            for bucket in self.buckets:
                res = []
                for pair in bucket:
                    res.append(str(pair.key) + " -> " + pair.val)
                print(res)
    ```

=== "Go"

    ```go title="hash_map_chaining.go"
    /* 链式地址哈希表 */
    type hashMapChaining struct {
        size        int      // 键值对数量
        capacity    int      // 哈希表容量
        loadThres   float64  // 触发扩容的负载因子阈值
        extendRatio int      // 扩容倍数
        buckets     [][]pair // 桶数组
    }

    /* 构造方法 */
    func newHashMapChaining() *hashMapChaining {
        buckets := make([][]pair, 4)
        for i := 0; i < 4; i++ {
            buckets[i] = make([]pair, 0)
        }
        return &hashMapChaining{
            size:        0,
            capacity:    4,
            loadThres:   2 / 3.0,
            extendRatio: 2,
            buckets:     buckets,
        }
    }

    /* 哈希函数 */
    func (m *hashMapChaining) hashFunc(key int) int {
        return key % m.capacity
    }

    /* 负载因子 */
    func (m *hashMapChaining) loadFactor() float64 {
        return float64(m.size / m.capacity)
    }

    /* 查询操作 */
    func (m *hashMapChaining) get(key int) string {
        idx := m.hashFunc(key)
        bucket := m.buckets[idx]
        // 遍历桶，若找到 key 则返回对应 val
        for _, p := range bucket {
            if p.key == key {
                return p.val
            }
        }
        // 若未找到 key 则返回空字符串
        return ""
    }

    /* 添加操作 */
    func (m *hashMapChaining) put(key int, val string) {
        // 当负载因子超过阈值时，执行扩容
        if m.loadFactor() > m.loadThres {
            m.extend()
        }
        idx := m.hashFunc(key)
        // 遍历桶，若遇到指定 key ，则更新对应 val 并返回
        for _, p := range m.buckets[idx] {
            if p.key == key {
                p.val = val
                return
            }
        }
        // 若无该 key ，则将键值对添加至尾部
        p := pair{
            key: key,
            val: val,
        }
        m.buckets[idx] = append(m.buckets[idx], p)
        m.size += 1
    }

    /* 删除操作 */
    func (m *hashMapChaining) remove(key int) {
        idx := m.hashFunc(key)
        // 遍历桶，从中删除键值对
        for i, p := range m.buckets[idx] {
            if p.key == key {
                // 切片删除
                m.buckets[idx] = append(m.buckets[idx][:i], m.buckets[idx][i+1:]...)
                m.size -= 1
                break
            }
        }
    }

    /* 扩容哈希表 */
    func (m *hashMapChaining) extend() {
        // 暂存原哈希表
        tmpBuckets := make([][]pair, len(m.buckets))
        for i := 0; i < len(m.buckets); i++ {
            tmpBuckets[i] = make([]pair, len(m.buckets[i]))
            copy(tmpBuckets[i], m.buckets[i])
        }
        // 初始化扩容后的新哈希表
        m.capacity *= m.extendRatio
        m.buckets = make([][]pair, m.capacity)
        for i := 0; i < m.capacity; i++ {
            m.buckets[i] = make([]pair, 0)
        }
        m.size = 0
        // 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
        for _, bucket := range tmpBuckets {
            for _, p := range bucket {
                m.put(p.key, p.val)
            }
        }
    }

    /* 打印哈希表 */
    func (m *hashMapChaining) print() {
        var builder strings.Builder

        for _, bucket := range m.buckets {
            builder.WriteString("[")
            for _, p := range bucket {
                builder.WriteString(strconv.Itoa(p.key) + " -> " + p.val + " ")
            }
            builder.WriteString("]")
            fmt.Println(builder.String())
            builder.Reset()
        }
    }
    ```

=== "JS"

    ```javascript title="hash_map_chaining.js"
    /* 链式地址哈希表 */
    class HashMapChaining {
        #size; // 键值对数量
        #capacity; // 哈希表容量
        #loadThres; // 触发扩容的负载因子阈值
        #extendRatio; // 扩容倍数
        #buckets; // 桶数组

        /* 构造方法 */
        constructor() {
            this.#size = 0;
            this.#capacity = 4;
            this.#loadThres = 2 / 3.0;
            this.#extendRatio = 2;
            this.#buckets = new Array(this.#capacity).fill(null).map((x) => []);
        }

        /* 哈希函数 */
        #hashFunc(key) {
            return key % this.#capacity;
        }

        /* 负载因子 */
        #loadFactor() {
            return this.#size / this.#capacity;
        }

        /* 查询操作 */
        get(key) {
            const index = this.#hashFunc(key);
            const bucket = this.#buckets[index];
            // 遍历桶，若找到 key 则返回对应 val
            for (const pair of bucket) {
                if (pair.key === key) {
                    return pair.val;
                }
            }
            // 若未找到 key 则返回 null
            return null;
        }

        /* 添加操作 */
        put(key, val) {
            // 当负载因子超过阈值时，执行扩容
            if (this.#loadFactor() > this.#loadThres) {
                this.#extend();
            }
            const index = this.#hashFunc(key);
            const bucket = this.#buckets[index];
            // 遍历桶，若遇到指定 key ，则更新对应 val 并返回
            for (const pair of bucket) {
                if (pair.key === key) {
                    pair.val = val;
                    return;
                }
            }
            // 若无该 key ，则将键值对添加至尾部
            const pair = new Pair(key, val);
            bucket.push(pair);
            this.#size++;
        }

        /* 删除操作 */
        remove(key) {
            const index = this.#hashFunc(key);
            let bucket = this.#buckets[index];
            // 遍历桶，从中删除键值对
            for (let i = 0; i < bucket.length; i++) {
                if (bucket[i].key === key) {
                    bucket.splice(i, 1);
                    this.#size--;
                    break;
                }
            }
        }

        /* 扩容哈希表 */
        #extend() {
            // 暂存原哈希表
            const bucketsTmp = this.#buckets;
            // 初始化扩容后的新哈希表
            this.#capacity *= this.#extendRatio;
            this.#buckets = new Array(this.#capacity).fill(null).map((x) => []);
            this.#size = 0;
            // 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
            for (const bucket of bucketsTmp) {
                for (const pair of bucket) {
                    this.put(pair.key, pair.val);
                }
            }
        }

        /* 打印哈希表 */
        print() {
            for (const bucket of this.#buckets) {
                let res = [];
                for (const pair of bucket) {
                    res.push(pair.key + ' -> ' + pair.val);
                }
                console.log(res);
            }
        }
    }
    ```

=== "TS"

    ```typescript title="hash_map_chaining.ts"
    /* 链式地址哈希表 */
    class HashMapChaining {
        #size: number; // 键值对数量
        #capacity: number; // 哈希表容量
        #loadThres: number; // 触发扩容的负载因子阈值
        #extendRatio: number; // 扩容倍数
        #buckets: Pair[][]; // 桶数组

        /* 构造方法 */
        constructor() {
            this.#size = 0;
            this.#capacity = 4;
            this.#loadThres = 2 / 3.0;
            this.#extendRatio = 2;
            this.#buckets = new Array(this.#capacity).fill(null).map((x) => []);
        }

        /* 哈希函数 */
        #hashFunc(key: number): number {
            return key % this.#capacity;
        }

        /* 负载因子 */
        #loadFactor(): number {
            return this.#size / this.#capacity;
        }

        /* 查询操作 */
        get(key: number): string | null {
            const index = this.#hashFunc(key);
            const bucket = this.#buckets[index];
            // 遍历桶，若找到 key 则返回对应 val
            for (const pair of bucket) {
                if (pair.key === key) {
                    return pair.val;
                }
            }
            // 若未找到 key 则返回 null
            return null;
        }

        /* 添加操作 */
        put(key: number, val: string): void {
            // 当负载因子超过阈值时，执行扩容
            if (this.#loadFactor() > this.#loadThres) {
                this.#extend();
            }
            const index = this.#hashFunc(key);
            const bucket = this.#buckets[index];
            // 遍历桶，若遇到指定 key ，则更新对应 val 并返回
            for (const pair of bucket) {
                if (pair.key === key) {
                    pair.val = val;
                    return;
                }
            }
            // 若无该 key ，则将键值对添加至尾部
            const pair = new Pair(key, val);
            bucket.push(pair);
            this.#size++;
        }

        /* 删除操作 */
        remove(key: number): void {
            const index = this.#hashFunc(key);
            let bucket = this.#buckets[index];
            // 遍历桶，从中删除键值对
            for (let i = 0; i < bucket.length; i++) {
                if (bucket[i].key === key) {
                    bucket.splice(i, 1);
                    this.#size--;
                    break;
                }
            }
        }

        /* 扩容哈希表 */
        #extend(): void {
            // 暂存原哈希表
            const bucketsTmp = this.#buckets;
            // 初始化扩容后的新哈希表
            this.#capacity *= this.#extendRatio;
            this.#buckets = new Array(this.#capacity).fill(null).map((x) => []);
            this.#size = 0;
            // 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
            for (const bucket of bucketsTmp) {
                for (const pair of bucket) {
                    this.put(pair.key, pair.val);
                }
            }
        }

        /* 打印哈希表 */
        print(): void {
            for (const bucket of this.#buckets) {
                let res = [];
                for (const pair of bucket) {
                    res.push(pair.key + ' -> ' + pair.val);
                }
                console.log(res);
            }
        }
    }
    ```

=== "C"

    ```c title="hash_map_chaining.c"
    [class]{hashMapChaining}-[func]{}
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="hash_map_chaining.cs"
    /* 链式地址哈希表 */
    class HashMapChaining {
        int size; // 键值对数量
        int capacity; // 哈希表容量
        double loadThres; // 触发扩容的负载因子阈值
        int extendRatio; // 扩容倍数
        List<List<Pair>> buckets; // 桶数组

        /* 构造方法 */
        public HashMapChaining() {
            size = 0;
            capacity = 4;
            loadThres = 2 / 3.0;
            extendRatio = 2;
            buckets = new List<List<Pair>>(capacity);
            for (int i = 0; i < capacity; i++) {
                buckets.Add(new List<Pair>());
            }
        }

        /* 哈希函数 */
        private int hashFunc(int key) {
            return key % capacity;
        }

        /* 负载因子 */
        private double loadFactor() {
            return (double)size / capacity;
        }

        /* 查询操作 */
        public string get(int key) {
            int index = hashFunc(key);
            // 遍历桶，若找到 key 则返回对应 val
            foreach (Pair pair in buckets[index]) {
                if (pair.key == key) {
                    return pair.val;
                }
            }
            // 若未找到 key 则返回 null
            return null;
        }

        /* 添加操作 */
        public void put(int key, string val) {
            // 当负载因子超过阈值时，执行扩容
            if (loadFactor() > loadThres) {
                extend();
            }
            int index = hashFunc(key);
            // 遍历桶，若遇到指定 key ，则更新对应 val 并返回
            foreach (Pair pair in buckets[index]) {
                if (pair.key == key) {
                    pair.val = val;
                    return;
                }
            }
            // 若无该 key ，则将键值对添加至尾部
            buckets[index].Add(new Pair(key, val));
            size++;
        }

        /* 删除操作 */
        public void remove(int key) {
            int index = hashFunc(key);
            // 遍历桶，从中删除键值对
            foreach (Pair pair in buckets[index].ToList()) {
                if (pair.key == key) {
                    buckets[index].Remove(pair);
                    size--;
                    break;
                }
            }
        }

        /* 扩容哈希表 */
        private void extend() {
            // 暂存原哈希表
            List<List<Pair>> bucketsTmp = buckets;
            // 初始化扩容后的新哈希表
            capacity *= extendRatio;
            buckets = new List<List<Pair>>(capacity);
            for (int i = 0; i < capacity; i++) {
                buckets.Add(new List<Pair>());
            }
            size = 0;
            // 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
            foreach (List<Pair> bucket in bucketsTmp) {
                foreach (Pair pair in bucket) {
                    put(pair.key, pair.val);
                }
            }
        }

        /* 打印哈希表 */
        public void print() {
            foreach (List<Pair> bucket in buckets) {
                List<string> res = new List<string>();
                foreach (Pair pair in bucket) {
                    res.Add(pair.key + " -> " + pair.val);
                }
                foreach (string kv in res) {
                    Console.WriteLine(kv);
                }
            }
        }
    }
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="hash_map_chaining.swift"
    /* 链式地址哈希表 */
    class HashMapChaining {
        var size: Int // 键值对数量
        var capacity: Int // 哈希表容量
        var loadThres: Double // 触发扩容的负载因子阈值
        var extendRatio: Int // 扩容倍数
        var buckets: [[Pair]] // 桶数组

        /* 构造方法 */
        init() {
            size = 0
            capacity = 4
            loadThres = 2 / 3
            extendRatio = 2
            buckets = Array(repeating: [], count: capacity)
        }

        /* 哈希函数 */
        func hashFunc(key: Int) -> Int {
            key % capacity
        }

        /* 负载因子 */
        func loadFactor() -> Double {
            Double(size / capacity)
        }

        /* 查询操作 */
        func get(key: Int) -> String? {
            let index = hashFunc(key: key)
            let bucket = buckets[index]
            // 遍历桶，若找到 key 则返回对应 val
            for pair in bucket {
                if pair.key == key {
                    return pair.val
                }
            }
            // 若未找到 key 则返回 nil
            return nil
        }

        /* 添加操作 */
        func put(key: Int, val: String) {
            // 当负载因子超过阈值时，执行扩容
            if loadFactor() > loadThres {
                extend()
            }
            let index = hashFunc(key: key)
            let bucket = buckets[index]
            // 遍历桶，若遇到指定 key ，则更新对应 val 并返回
            for pair in bucket {
                if pair.key == key {
                    pair.val = val
                    return
                }
            }
            // 若无该 key ，则将键值对添加至尾部
            let pair = Pair(key: key, val: val)
            buckets[index].append(pair)
            size += 1
        }

        /* 删除操作 */
        func remove(key: Int) {
            let index = hashFunc(key: key)
            let bucket = buckets[index]
            // 遍历桶，从中删除键值对
            for (pairIndex, pair) in bucket.enumerated() {
                if pair.key == key {
                    buckets[index].remove(at: pairIndex)
                }
            }
            size -= 1
        }

        /* 扩容哈希表 */
        func extend() {
            // 暂存原哈希表
            let bucketsTmp = buckets
            // 初始化扩容后的新哈希表
            capacity *= extendRatio
            buckets = Array(repeating: [], count: capacity)
            size = 0
            // 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
            for bucket in bucketsTmp {
                for pair in bucket {
                    put(key: pair.key, val: pair.val)
                }
            }
        }

        /* 打印哈希表 */
        func print() {
            for bucket in buckets {
                let res = bucket.map { "\($0.key) -> \($0.val)" }
                Swift.print(res)
            }
        }
    }
    ```

=== "Zig"

    ```zig title="hash_map_chaining.zig"
    [class]{HashMapChaining}-[func]{}
    ```

=== "Dart"

    ```dart title="hash_map_chaining.dart"
    /* 链式地址哈希表 */
    class HashMapChaining {
      late int size; // 键值对数量
      late int capacity; // 哈希表容量
      late double loadThres; // 触发扩容的负载因子阈值
      late int extendRatio; // 扩容倍数
      late List<List<Pair>> buckets; // 桶数组

      /* 构造方法 */
      HashMapChaining() {
        size = 0;
        capacity = 4;
        loadThres = 2 / 3.0;
        extendRatio = 2;
        buckets = List.generate(capacity, (_) => []);
      }

      /* 哈希函数 */
      int hashFunc(int key) {
        return key % capacity;
      }

      /* 负载因子 */
      double loadFactor() {
        return size / capacity;
      }

      /* 查询操作 */
      String? get(int key) {
        int index = hashFunc(key);
        List<Pair> bucket = buckets[index];
        // 遍历桶，若找到 key 则返回对应 val
        for (Pair pair in bucket) {
          if (pair.key == key) {
            return pair.val;
          }
        }
        // 若未找到 key 则返回 null
        return null;
      }

      /* 添加操作 */
      void put(int key, String val) {
        // 当负载因子超过阈值时，执行扩容
        if (loadFactor() > loadThres) {
          extend();
        }
        int index = hashFunc(key);
        List<Pair> bucket = buckets[index];
        // 遍历桶，若遇到指定 key ，则更新对应 val 并返回
        for (Pair pair in bucket) {
          if (pair.key == key) {
            pair.val = val;
            return;
          }
        }
        // 若无该 key ，则将键值对添加至尾部
        Pair pair = Pair(key, val);
        bucket.add(pair);
        size++;
      }

      /* 删除操作 */
      void remove(int key) {
        int index = hashFunc(key);
        List<Pair> bucket = buckets[index];
        // 遍历桶，从中删除键值对
        for (Pair pair in bucket) {
          if (pair.key == key) {
            bucket.remove(pair);
            size--;
            break;
          }
        }
      }

      /* 扩容哈希表 */
      void extend() {
        // 暂存原哈希表
        List<List<Pair>> bucketsTmp = buckets;
        // 初始化扩容后的新哈希表
        capacity *= extendRatio;
        buckets = List.generate(capacity, (_) => []);
        size = 0;
        // 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
        for (List<Pair> bucket in bucketsTmp) {
          for (Pair pair in bucket) {
            put(pair.key, pair.val);
          }
        }
      }

      /* 打印哈希表 */
      void printHashMap() {
        for (List<Pair> bucket in buckets) {
          List<String> res = [];
          for (Pair pair in bucket) {
            res.add("${pair.key} -> ${pair.val}");
          }
          print(res);
        }
      }
    }
    ```

=== "Rust"

    ```rust title="hash_map_chaining.rs"
    /* 链式地址哈希表 */
    struct HashMapChaining {
        size: i32,
        capacity: i32,
        load_thres: f32,
        extend_ratio: i32,
        buckets: Vec<Vec<Pair>>,
    }

    impl HashMapChaining {
        /* 构造方法 */
        fn new() -> Self {
            Self {
                size: 0,
                capacity: 4,
                load_thres: 2.0 / 3.0,
                extend_ratio: 2,
                buckets: vec![vec![]; 4],
            }
        }

        /* 哈希函数 */
        fn hash_func(&self, key: i32) -> usize {
            key as usize % self.capacity as usize
        }

        /* 负载因子 */
        fn load_factor(&self) -> f32 {
            self.size as f32 / self.capacity as f32
        }

        /* 删除操作 */
        fn remove(&mut self, key: i32) -> Option<String> {
            let index = self.hash_func(key);
            let bucket = &mut self.buckets[index];

            // 遍历桶，从中删除键值对
            for i in 0..bucket.len() {
                if bucket[i].key == key {
                    let pair = bucket.remove(i);
                    self.size -= 1;
                    return Some(pair.val);
                }
            }

            // 若未找到 key 则返回 None
            None
        }

        /* 扩容哈希表 */
        fn extend(&mut self) {
            // 暂存原哈希表
            let buckets_tmp = std::mem::replace(&mut self.buckets, vec![]);

            // 初始化扩容后的新哈希表
            self.capacity *= self.extend_ratio;
            self.buckets = vec![Vec::new(); self.capacity as usize];
            self.size = 0;

            // 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
            for bucket in buckets_tmp {
                for pair in bucket {
                    self.put(pair.key, pair.val);
                }
            }
        }

        /* 打印哈希表 */
        fn print(&self) {
            for bucket in &self.buckets {
                let mut res = Vec::new();
                for pair in bucket {
                    res.push(format!("{} -> {}", pair.key, pair.val));
                }
                println!("{:?}", res);
            }
        }

        /* 添加操作 */
        fn put(&mut self, key: i32, val: String) {
            // 当负载因子超过阈值时，执行扩容
            if self.load_factor() > self.load_thres {
                self.extend();
            }

            let index = self.hash_func(key);
            let bucket = &mut self.buckets[index];

            // 遍历桶，若遇到指定 key ，则更新对应 val 并返回
            for pair in bucket {
                if pair.key == key {
                    pair.val = val.clone();
                    return;
                }
            }
            let bucket = &mut self.buckets[index];

            // 若无该 key ，则将键值对添加至尾部
            let pair = Pair {
                key,
                val: val.clone(),
            };
            bucket.push(pair);
            self.size += 1;
        }

        /* 查询操作 */
        fn get(&self, key: i32) -> Option<&str> {
            let index = self.hash_func(key);
            let bucket = &self.buckets[index];

            // 遍历桶，若找到 key 则返回对应 val
            for pair in bucket {
                if pair.key == key {
                    return Some(&pair.val);
                }
            }

            // 若未找到 key 则返回 None
            None
        }
    }
    ```

!!! tip

    当链表很长时，查询效率 $O(n)$ 很差，**此时可以将链表转换为“AVL 树”或“红黑树”**，从而将查询操作的时间复杂度优化至 $O(\log n)$ 。

## 6.2.2 &nbsp; 开放寻址

「开放寻址 open addressing」不引入额外的数据结构，而是通过“多次探测”来处理哈希冲突，探测方式主要包括线性探测、平方探测、多次哈希等。

### 1. &nbsp; 线性探测

线性探测采用固定步长的线性查找来进行探测，对应的哈希表操作方法为：

- **插入元素**：通过哈希函数计算数组索引，若发现桶内已有元素，则从冲突位置向后线性遍历（步长通常为 $1$ ），直至找到空位，将元素插入其中。
- **查找元素**：若发现哈希冲突，则使用相同步长向后线性遍历，直到找到对应元素，返回 `value` 即可；如果遇到空位，说明目标键值对不在哈希表中，返回 $\text{None}$ 。

图 6-6 展示了一个在开放寻址（线性探测）下工作的哈希表。

![开放寻址和线性探测](hash_collision.assets/hash_table_linear_probing.png)

<p align="center"> 图 6-6 &nbsp; 开放寻址和线性探测 </p>

然而，线性探测存在以下缺陷：

- **不能直接删除元素**。删除元素会在数组内产生一个空位，当查找该空位之后的元素时，该空位可能导致程序误判元素不存在。为此，通常需要借助一个标志位来标记已删除元素。
- **容易产生聚集**。数组内连续被占用位置越长，这些连续位置发生哈希冲突的可能性越大，进一步促使这一位置的聚堆生长，形成恶性循环，最终导致增删查改操作效率劣化。

以下代码实现了一个简单的开放寻址（线性探测）哈希表。值得注意两点：

- 我们使用一个固定的键值对实例 `removed` 来标记已删除元素。也就是说，当一个桶内的元素为 $\text{None}$ 或 `removed` 时，说明这个桶是空的，可用于放置键值对。
- 在线性探测时，我们从当前索引 `index` 向后遍历；而当越过数组尾部时，需要回到头部继续遍历。

=== "Java"

    ```java title="hash_map_open_addressing.java"
    /* 开放寻址哈希表 */
    class HashMapOpenAddressing {
        private int size; // 键值对数量
        private int capacity; // 哈希表容量
        private double loadThres; // 触发扩容的负载因子阈值
        private int extendRatio; // 扩容倍数
        private Pair[] buckets; // 桶数组
        private Pair removed; // 删除标记

        /* 构造方法 */
        public HashMapOpenAddressing() {
            size = 0;
            capacity = 4;
            loadThres = 2.0 / 3.0;
            extendRatio = 2;
            buckets = new Pair[capacity];
            removed = new Pair(-1, "-1");
        }

        /* 哈希函数 */
        public int hashFunc(int key) {
            return key % capacity;
        }

        /* 负载因子 */
        public double loadFactor() {
            return (double) size / capacity;
        }

        /* 查询操作 */
        public String get(int key) {
            int index = hashFunc(key);
            // 线性探测，从 index 开始向后遍历
            for (int i = 0; i < capacity; i++) {
                // 计算桶索引，越过尾部返回头部
                int j = (index + i) % capacity;
                // 若遇到空桶，说明无此 key ，则返回 null
                if (buckets[j] == null)
                    return null;
                // 若遇到指定 key ，则返回对应 val
                if (buckets[j].key == key && buckets[j] != removed)
                    return buckets[j].val;
            }
            return null;
        }

        /* 添加操作 */
        public void put(int key, String val) {
            // 当负载因子超过阈值时，执行扩容
            if (loadFactor() > loadThres) {
                extend();
            }
            int index = hashFunc(key);
            // 线性探测，从 index 开始向后遍历
            for (int i = 0; i < capacity; i++) {
                // 计算桶索引，越过尾部返回头部
                int j = (index + i) % capacity;
                // 若遇到空桶、或带有删除标记的桶，则将键值对放入该桶
                if (buckets[j] == null || buckets[j] == removed) {
                    buckets[j] = new Pair(key, val);
                    size += 1;
                    return;
                }
                // 若遇到指定 key ，则更新对应 val
                if (buckets[j].key == key) {
                    buckets[j].val = val;
                    return;
                }
            }
        }

        /* 删除操作 */
        public void remove(int key) {
            int index = hashFunc(key);
            // 线性探测，从 index 开始向后遍历
            for (int i = 0; i < capacity; i++) {
                // 计算桶索引，越过尾部返回头部
                int j = (index + i) % capacity;
                // 若遇到空桶，说明无此 key ，则直接返回
                if (buckets[j] == null) {
                    return;
                }
                // 若遇到指定 key ，则标记删除并返回
                if (buckets[j].key == key) {
                    buckets[j] = removed;
                    size -= 1;
                    return;
                }
            }
        }

        /* 扩容哈希表 */
        public void extend() {
            // 暂存原哈希表
            Pair[] bucketsTmp = buckets;
            // 初始化扩容后的新哈希表
            capacity *= extendRatio;
            buckets = new Pair[capacity];
            size = 0;
            // 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
            for (Pair pair : bucketsTmp) {
                if (pair != null && pair != removed) {
                    put(pair.key, pair.val);
                }
            }
        }

        /* 打印哈希表 */
        public void print() {
            for (Pair pair : buckets) {
                if (pair != null) {
                    System.out.println(pair.key + " -> " + pair.val);
                } else {
                    System.out.println("null");
                }
            }
        }
    }
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="hash_map_open_addressing.cpp"
    /* 开放寻址哈希表 */
    class HashMapOpenAddressing {
      private:
        int size;               // 键值对数量
        int capacity;           // 哈希表容量
        double loadThres;       // 触发扩容的负载因子阈值
        int extendRatio;        // 扩容倍数
        vector<Pair *> buckets; // 桶数组
        Pair *removed;          // 删除标记

      public:
        /* 构造方法 */
        HashMapOpenAddressing() {
            // 构造方法
            size = 0;
            capacity = 4;
            loadThres = 2.0 / 3.0;
            extendRatio = 2;
            buckets = vector<Pair *>(capacity, nullptr);
            removed = new Pair(-1, "-1");
        }

        /* 哈希函数 */
        int hashFunc(int key) {
            return key % capacity;
        }

        /* 负载因子 */
        double loadFactor() {
            return static_cast<double>(size) / capacity;
        }

        /* 查询操作 */
        string get(int key) {
            int index = hashFunc(key);
            // 线性探测，从 index 开始向后遍历
            for (int i = 0; i < capacity; i++) {
                // 计算桶索引，越过尾部返回头部
                int j = (index + i) % capacity;
                // 若遇到空桶，说明无此 key ，则返回 nullptr
                if (buckets[j] == nullptr)
                    return nullptr;
                // 若遇到指定 key ，则返回对应 val
                if (buckets[j]->key == key && buckets[j] != removed)
                    return buckets[j]->val;
            }
            return nullptr;
        }

        /* 添加操作 */
        void put(int key, string val) {
            // 当负载因子超过阈值时，执行扩容
            if (loadFactor() > loadThres)
                extend();
            int index = hashFunc(key);
            // 线性探测，从 index 开始向后遍历
            for (int i = 0; i < capacity; i++) {
                // 计算桶索引，越过尾部返回头部
                int j = (index + i) % capacity;
                // 若遇到空桶、或带有删除标记的桶，则将键值对放入该桶
                if (buckets[j] == nullptr || buckets[j] == removed) {
                    buckets[j] = new Pair(key, val);
                    size += 1;
                    return;
                }
                // 若遇到指定 key ，则更新对应 val
                if (buckets[j]->key == key) {
                    buckets[j]->val = val;
                    return;
                }
            }
        }

        /* 删除操作 */
        void remove(int key) {
            int index = hashFunc(key);
            // 线性探测，从 index 开始向后遍历
            for (int i = 0; i < capacity; i++) {
                // 计算桶索引，越过尾部返回头部
                int j = (index + i) % capacity;
                // 若遇到空桶，说明无此 key ，则直接返回
                if (buckets[j] == nullptr)
                    return;
                // 若遇到指定 key ，则标记删除并返回
                if (buckets[j]->key == key) {
                    delete buckets[j]; // 释放内存
                    buckets[j] = removed;
                    size -= 1;
                    return;
                }
            }
        }

        /* 扩容哈希表 */
        void extend() {
            // 暂存原哈希表
            vector<Pair *> bucketsTmp = buckets;
            // 初始化扩容后的新哈希表
            capacity *= extendRatio;
            buckets = vector<Pair *>(capacity, nullptr);
            size = 0;
            // 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
            for (Pair *pair : bucketsTmp) {
                if (pair != nullptr && pair != removed) {
                    put(pair->key, pair->val);
                }
            }
        }

        /* 打印哈希表 */
        void print() {
            for (auto &pair : buckets) {
                if (pair != nullptr) {
                    cout << pair->key << " -> " << pair->val << endl;
                } else {
                    cout << "nullptr" << endl;
                }
            }
        }
    };
    ```

=== "Python"

    ```python title="hash_map_open_addressing.py"
    class HashMapOpenAddressing:
        """开放寻址哈希表"""

        def __init__(self):
            """构造方法"""
            self.size = 0  # 键值对数量
            self.capacity = 4  # 哈希表容量
            self.load_thres = 2 / 3  # 触发扩容的负载因子阈值
            self.extend_ratio = 2  # 扩容倍数
            self.buckets: list[Pair | None] = [None] * self.capacity  # 桶数组
            self.removed = Pair(-1, "-1")  # 删除标记

        def hash_func(self, key: int) -> int:
            """哈希函数"""
            return key % self.capacity

        def load_factor(self) -> float:
            """负载因子"""
            return self.size / self.capacity

        def get(self, key: int) -> str:
            """查询操作"""
            index = self.hash_func(key)
            # 线性探测，从 index 开始向后遍历
            for i in range(self.capacity):
                # 计算桶索引，越过尾部返回头部
                j = (index + i) % self.capacity
                # 若遇到空桶，说明无此 key ，则返回 None
                if self.buckets[j] is None:
                    return None
                # 若遇到指定 key ，则返回对应 val
                if self.buckets[j].key == key and self.buckets[j] != self.removed:
                    return self.buckets[j].val

        def put(self, key: int, val: str):
            """添加操作"""
            # 当负载因子超过阈值时，执行扩容
            if self.load_factor() > self.load_thres:
                self.extend()
            index = self.hash_func(key)
            # 线性探测，从 index 开始向后遍历
            for i in range(self.capacity):
                # 计算桶索引，越过尾部返回头部
                j = (index + i) % self.capacity
                # 若遇到空桶、或带有删除标记的桶，则将键值对放入该桶
                if self.buckets[j] in [None, self.removed]:
                    self.buckets[j] = Pair(key, val)
                    self.size += 1
                    return
                # 若遇到指定 key ，则更新对应 val
                if self.buckets[j].key == key:
                    self.buckets[j].val = val
                    return

        def remove(self, key: int):
            """删除操作"""
            index = self.hash_func(key)
            # 线性探测，从 index 开始向后遍历
            for i in range(self.capacity):
                # 计算桶索引，越过尾部返回头部
                j = (index + i) % self.capacity
                # 若遇到空桶，说明无此 key ，则直接返回
                if self.buckets[j] is None:
                    return
                # 若遇到指定 key ，则标记删除并返回
                if self.buckets[j].key == key:
                    self.buckets[j] = self.removed
                    self.size -= 1
                    return

        def extend(self):
            """扩容哈希表"""
            # 暂存原哈希表
            buckets_tmp = self.buckets
            # 初始化扩容后的新哈希表
            self.capacity *= self.extend_ratio
            self.buckets = [None] * self.capacity
            self.size = 0
            # 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
            for pair in buckets_tmp:
                if pair not in [None, self.removed]:
                    self.put(pair.key, pair.val)

        def print(self):
            """打印哈希表"""
            for pair in self.buckets:
                if pair is not None:
                    print(pair.key, "->", pair.val)
                else:
                    print("None")
    ```

=== "Go"

    ```go title="hash_map_open_addressing.go"
    /* 链式地址哈希表 */
    type hashMapOpenAddressing struct {
        size        int     // 键值对数量
        capacity    int     // 哈希表容量
        loadThres   float64 // 触发扩容的负载因子阈值
        extendRatio int     // 扩容倍数
        buckets     []pair  // 桶数组
        removed     pair    // 删除标记
    }

    /* 构造方法 */
    func newHashMapOpenAddressing() *hashMapOpenAddressing {
        buckets := make([]pair, 4)
        return &hashMapOpenAddressing{
            size:        0,
            capacity:    4,
            loadThres:   2 / 3.0,
            extendRatio: 2,
            buckets:     buckets,
            removed: pair{
                key: -1,
                val: "-1",
            },
        }
    }

    /* 哈希函数 */
    func (m *hashMapOpenAddressing) hashFunc(key int) int {
        return key % m.capacity
    }

    /* 负载因子 */
    func (m *hashMapOpenAddressing) loadFactor() float64 {
        return float64(m.size) / float64(m.capacity)
    }

    /* 查询操作 */
    func (m *hashMapOpenAddressing) get(key int) string {
        idx := m.hashFunc(key)
        // 线性探测，从 index 开始向后遍历
        for i := 0; i < m.capacity; i++ {
            // 计算桶索引，越过尾部返回头部
            j := (idx + 1) % m.capacity
            // 若遇到空桶，说明无此 key ，则返回 null
            if m.buckets[j] == (pair{}) {
                return ""
            }
            // 若遇到指定 key ，则返回对应 val
            if m.buckets[j].key == key && m.buckets[j] != m.removed {
                return m.buckets[j].val
            }
        }
        // 若未找到 key 则返回空字符串
        return ""
    }

    /* 添加操作 */
    func (m *hashMapOpenAddressing) put(key int, val string) {
        // 当负载因子超过阈值时，执行扩容
        if m.loadFactor() > m.loadThres {
            m.extend()
        }
        idx := m.hashFunc(key)
        // 线性探测，从 index 开始向后遍历
        for i := 0; i < m.capacity; i++ {
            // 计算桶索引，越过尾部返回头部
            j := (idx + i) % m.capacity
            // 若遇到空桶、或带有删除标记的桶，则将键值对放入该桶
            if m.buckets[j] == (pair{}) || m.buckets[j] == m.removed {
                m.buckets[j] = pair{
                    key: key,
                    val: val,
                }
                m.size += 1
                return
            }
            // 若遇到指定 key ，则更新对应 val
            if m.buckets[j].key == key {
                m.buckets[j].val = val
            }
        }
    }

    /* 删除操作 */
    func (m *hashMapOpenAddressing) remove(key int) {
        idx := m.hashFunc(key)
        // 遍历桶，从中删除键值对
        // 线性探测，从 index 开始向后遍历
        for i := 0; i < m.capacity; i++ {
            // 计算桶索引，越过尾部返回头部
            j := (idx + 1) % m.capacity
            // 若遇到空桶，说明无此 key ，则直接返回
            if m.buckets[j] == (pair{}) {
                return
            }
            // 若遇到指定 key ，则标记删除并返回
            if m.buckets[j].key == key {
                m.buckets[j] = m.removed
                m.size -= 1
            }
        }
    }

    /* 扩容哈希表 */
    func (m *hashMapOpenAddressing) extend() {
        // 暂存原哈希表
        tmpBuckets := make([]pair, len(m.buckets))
        copy(tmpBuckets, m.buckets)

        // 初始化扩容后的新哈希表
        m.capacity *= m.extendRatio
        m.buckets = make([]pair, m.capacity)
        m.size = 0
        // 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
        for _, p := range tmpBuckets {
            if p != (pair{}) && p != m.removed {
                m.put(p.key, p.val)
            }
        }
    }

    /* 打印哈希表 */
    func (m *hashMapOpenAddressing) print() {
        for _, p := range m.buckets {
            if p != (pair{}) {
                fmt.Println(strconv.Itoa(p.key) + " -> " + p.val)
            } else {
                fmt.Println("nil")
            }
        }
    }
    ```

=== "JS"

    ```javascript title="hash_map_open_addressing.js"
    /* 开放寻址哈希表 */
    class HashMapOpenAddressing {
        #size; // 键值对数量
        #capacity; // 哈希表容量
        #loadThres; // 触发扩容的负载因子阈值
        #extendRatio; // 扩容倍数
        #buckets; // 桶数组
        #removed; // 删除标记

        /* 构造方法 */
        constructor() {
            this.#size = 0;
            this.#capacity = 4;
            this.#loadThres = 2.0 / 3.0;
            this.#extendRatio = 2;
            this.#buckets = new Array(this.#capacity).fill(null);
            this.#removed = new Pair(-1, '-1');
        }

        /* 哈希函数 */
        #hashFunc(key) {
            return key % this.#capacity;
        }

        /* 负载因子 */
        #loadFactor() {
            return this.#size / this.#capacity;
        }

        /* 查询操作 */
        get(key) {
            const index = this.#hashFunc(key);
            // 线性探测，从 index 开始向后遍历
            for (let i = 0; i < this.#capacity; i++) {
                // 计算桶索引，越过尾部返回头部
                const j = (index + i) % this.#capacity;
                // 若遇到空桶，说明无此 key ，则返回 null
                if (this.#buckets[j] === null) return null;
                // 若遇到指定 key ，则返回对应 val
                if (
                    this.#buckets[j].key === key &&
                    this.#buckets[j][key] !== this.#removed.key
                )
                    return this.#buckets[j].val;
            }
            return null;
        }

        /* 添加操作 */
        put(key, val) {
            // 当负载因子超过阈值时，执行扩容
            if (this.#loadFactor() > this.#loadThres) {
                this.#extend();
            }
            const index = this.#hashFunc(key);
            // 线性探测，从 index 开始向后遍历
            for (let i = 0; i < this.#capacity; i++) {
                // 计算桶索引，越过尾部返回头部
                let j = (index + i) % this.#capacity;
                // 若遇到空桶、或带有删除标记的桶，则将键值对放入该桶
                if (
                    this.#buckets[j] === null ||
                    this.#buckets[j][key] === this.#removed.key
                ) {
                    this.#buckets[j] = new Pair(key, val);
                    this.#size += 1;
                    return;
                }
                // 若遇到指定 key ，则更新对应 val
                if (this.#buckets[j].key === key) {
                    this.#buckets[j].val = val;
                    return;
                }
            }
        }

        /* 删除操作 */
        remove(key) {
            const index = this.#hashFunc(key);
            // 线性探测，从 index 开始向后遍历
            for (let i = 0; i < this.#capacity; i++) {
                // 计算桶索引，越过尾部返回头部
                const j = (index + i) % this.#capacity;
                // 若遇到空桶，说明无此 key ，则直接返回
                if (this.#buckets[j] === null) {
                    return;
                }
                // 若遇到指定 key ，则标记删除并返回
                if (this.#buckets[j].key === key) {
                    this.#buckets[j] = this.#removed;
                    this.#size -= 1;
                    return;
                }
            }
        }

        /* 扩容哈希表 */
        #extend() {
            // 暂存原哈希表
            const bucketsTmp = this.#buckets;
            // 初始化扩容后的新哈希表
            this.#capacity *= this.#extendRatio;
            this.#buckets = new Array(this.#capacity).fill(null);
            this.#size = 0;
            // 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
            for (const pair of bucketsTmp) {
                if (pair !== null && pair.key !== this.#removed.key) {
                    this.put(pair.key, pair.val);
                }
            }
        }

        /* 打印哈希表 */
        print() {
            for (const pair of this.#buckets) {
                if (pair !== null) {
                    console.log(pair.key + ' -> ' + pair.val);
                } else {
                    console.log('null');
                }
            }
        }
    }
    ```

=== "TS"

    ```typescript title="hash_map_open_addressing.ts"
    /* 开放寻址哈希表 */
    class HashMapOpenAddressing {
        #size: number; // 键值对数量
        #capacity: number; // 哈希表容量
        #loadThres: number; // 触发扩容的负载因子阈值
        #extendRatio: number; // 扩容倍数
        #buckets: Pair[]; // 桶数组
        #removed: Pair; // 删除标记

        /* 构造方法 */
        constructor() {
            this.#size = 0;
            this.#capacity = 4;
            this.#loadThres = 2.0 / 3.0;
            this.#extendRatio = 2;
            this.#buckets = new Array(this.#capacity).fill(null);
            this.#removed = new Pair(-1, '-1');
        }

        /* 哈希函数 */
        #hashFunc(key: number): number {
            return key % this.#capacity;
        }

        /* 负载因子 */
        #loadFactor(): number {
            return this.#size / this.#capacity;
        }

        /* 查询操作 */
        get(key: number): string | null {
            const index = this.#hashFunc(key);
            // 线性探测，从 index 开始向后遍历
            for (let i = 0; i < this.#capacity; i++) {
                // 计算桶索引，越过尾部返回头部
                const j = (index + i) % this.#capacity;
                // 若遇到空桶，说明无此 key ，则返回 null
                if (this.#buckets[j] === null) return null;
                // 若遇到指定 key ，则返回对应 val
                if (
                    this.#buckets[j].key === key &&
                    this.#buckets[j][key] !== this.#removed.key
                )
                    return this.#buckets[j].val;
            }
            return null;
        }

        /* 添加操作 */
        put(key: number, val: string): void {
            // 当负载因子超过阈值时，执行扩容
            if (this.#loadFactor() > this.#loadThres) {
                this.#extend();
            }
            const index = this.#hashFunc(key);
            // 线性探测，从 index 开始向后遍历
            for (let i = 0; i < this.#capacity; i++) {
                // 计算桶索引，越过尾部返回头部
                let j = (index + i) % this.#capacity;
                // 若遇到空桶、或带有删除标记的桶，则将键值对放入该桶
                if (
                    this.#buckets[j] === null ||
                    this.#buckets[j][key] === this.#removed.key
                ) {
                    this.#buckets[j] = new Pair(key, val);
                    this.#size += 1;
                    return;
                }
                // 若遇到指定 key ，则更新对应 val
                if (this.#buckets[j].key === key) {
                    this.#buckets[j].val = val;
                    return;
                }
            }
        }

        /* 删除操作 */
        remove(key: number): void {
            const index = this.#hashFunc(key);
            // 线性探测，从 index 开始向后遍历
            for (let i = 0; i < this.#capacity; i++) {
                // 计算桶索引，越过尾部返回头部
                const j = (index + i) % this.#capacity;
                // 若遇到空桶，说明无此 key ，则直接返回
                if (this.#buckets[j] === null) {
                    return;
                }
                // 若遇到指定 key ，则标记删除并返回
                if (this.#buckets[j].key === key) {
                    this.#buckets[j] = this.#removed;
                    this.#size -= 1;
                    return;
                }
            }
        }

        /* 扩容哈希表 */
        #extend(): void {
            // 暂存原哈希表
            const bucketsTmp = this.#buckets;
            // 初始化扩容后的新哈希表
            this.#capacity *= this.#extendRatio;
            this.#buckets = new Array(this.#capacity).fill(null);
            this.#size = 0;
            // 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
            for (const pair of bucketsTmp) {
                if (pair !== null && pair.key !== this.#removed.key) {
                    this.put(pair.key, pair.val);
                }
            }
        }

        /* 打印哈希表 */
        print(): void {
            for (const pair of this.#buckets) {
                if (pair !== null) {
                    console.log(pair.key + ' -> ' + pair.val);
                } else {
                    console.log('null');
                }
            }
        }
    }
    ```

=== "C"

    ```c title="hash_map_open_addressing.c"
    [class]{hashMapOpenAddressing}-[func]{}
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="hash_map_open_addressing.cs"
    /* 开放寻址哈希表 */
    class HashMapOpenAddressing {
        int size; // 键值对数量
        int capacity; // 哈希表容量
        double loadThres; // 触发扩容的负载因子阈值
        int extendRatio; // 扩容倍数
        Pair[] buckets; // 桶数组
        Pair removed; // 删除标记

        /* 构造方法 */
        public HashMapOpenAddressing() {
            size = 0;
            capacity = 4;
            loadThres = 2.0 / 3.0;
            extendRatio = 2;
            buckets = new Pair[capacity];
            removed = new Pair(-1, "-1");
        }

        /* 哈希函数 */
        private int hashFunc(int key) {
            return key % capacity;
        }

        /* 负载因子 */
        private double loadFactor() {
            return (double)size / capacity;
        }

        /* 查询操作 */
        public string get(int key) {
            int index = hashFunc(key);
            // 线性探测，从 index 开始向后遍历
            for (int i = 0; i < capacity; i++) {
                // 计算桶索引，越过尾部返回头部
                int j = (index + i) % capacity;
                // 若遇到空桶，说明无此 key ，则返回 null
                if (buckets[j] == null)
                    return null;
                // 若遇到指定 key ，则返回对应 val
                if (buckets[j].key == key && buckets[j] != removed)
                    return buckets[j].val;
            }
            return null;
        }

        /* 添加操作 */
        public void put(int key, string val) {
            // 当负载因子超过阈值时，执行扩容
            if (loadFactor() > loadThres) {
                extend();
            }
            int index = hashFunc(key);
            // 线性探测，从 index 开始向后遍历
            for (int i = 0; i < capacity; i++) {
                // 计算桶索引，越过尾部返回头部
                int j = (index + i) % capacity;
                // 若遇到空桶、或带有删除标记的桶，则将键值对放入该桶
                if (buckets[j] == null || buckets[j] == removed) {
                    buckets[j] = new Pair(key, val);
                    size += 1;
                    return;
                }
                // 若遇到指定 key ，则更新对应 val
                if (buckets[j].key == key) {
                    buckets[j].val = val;
                    return;
                }
            }
        }

        /* 删除操作 */
        public void remove(int key) {
            int index = hashFunc(key);
            // 线性探测，从 index 开始向后遍历
            for (int i = 0; i < capacity; i++) {
                // 计算桶索引，越过尾部返回头部
                int j = (index + i) % capacity;
                // 若遇到空桶，说明无此 key ，则直接返回
                if (buckets[j] == null) {
                    return;
                }
                // 若遇到指定 key ，则标记删除并返回
                if (buckets[j].key == key) {
                    buckets[j] = removed;
                    size -= 1;
                    return;
                }
            }
        }

        /* 扩容哈希表 */
        private void extend() {
            // 暂存原哈希表
            Pair[] bucketsTmp = buckets;
            // 初始化扩容后的新哈希表
            capacity *= extendRatio;
            buckets = new Pair[capacity];
            size = 0;
            // 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
            foreach (Pair pair in bucketsTmp) {
                if (pair != null && pair != removed) {
                    put(pair.key, pair.val);
                }
            }
        }

        /* 打印哈希表 */
        public void print() {
            foreach (Pair pair in buckets) {
                if (pair != null) {
                    Console.WriteLine(pair.key + " -> " + pair.val);
                } else {
                    Console.WriteLine("null");
                }
            }
        }
    }
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="hash_map_open_addressing.swift"
    /* 开放寻址哈希表 */
    class HashMapOpenAddressing {
        var size: Int // 键值对数量
        var capacity: Int // 哈希表容量
        var loadThres: Double // 触发扩容的负载因子阈值
        var extendRatio: Int // 扩容倍数
        var buckets: [Pair?] // 桶数组
        var removed: Pair // 删除标记

        /* 构造方法 */
        init() {
            size = 0
            capacity = 4
            loadThres = 2 / 3
            extendRatio = 2
            buckets = Array(repeating: nil, count: capacity)
            removed = Pair(key: -1, val: "-1")
        }

        /* 哈希函数 */
        func hashFunc(key: Int) -> Int {
            key % capacity
        }

        /* 负载因子 */
        func loadFactor() -> Double {
            Double(size / capacity)
        }

        /* 查询操作 */
        func get(key: Int) -> String? {
            let index = hashFunc(key: key)
            // 线性探测，从 index 开始向后遍历
            for i in stride(from: 0, to: capacity, by: 1) {
                // 计算桶索引，越过尾部返回头部
                let j = (index + i) % capacity
                // 若遇到空桶，说明无此 key ，则返回 nil
                if buckets[j] == nil {
                    return nil
                }
                // 若遇到指定 key ，则返回对应 val
                if buckets[j]?.key == key, buckets[j] != removed {
                    return buckets[j]?.val
                }
            }
            return nil
        }

        /* 添加操作 */
        func put(key: Int, val: String) {
            // 当负载因子超过阈值时，执行扩容
            if loadFactor() > loadThres {
                extend()
            }
            let index = hashFunc(key: key)
            // 线性探测，从 index 开始向后遍历
            for i in stride(from: 0, through: capacity, by: 1) {
                // 计算桶索引，越过尾部返回头部
                let j = (index + i) % capacity
                // 若遇到空桶、或带有删除标记的桶，则将键值对放入该桶
                if buckets[j] == nil || buckets[j] == removed {
                    buckets[j] = Pair(key: key, val: val)
                    size += 1
                    return
                }
                // 若遇到指定 key ，则更新对应 val
                if buckets[j]?.key == key {
                    buckets[j]?.val = val
                    return
                }
            }
        }

        /* 删除操作 */
        func remove(key: Int) {
            let index = hashFunc(key: key)
            // 线性探测，从 index 开始向后遍历
            for i in stride(from: 0, to: capacity, by: 1) {
                // 计算桶索引，越过尾部返回头部
                let j = (index + i) % capacity
                // 若遇到空桶，说明无此 key ，则直接返回
                if buckets[j] == nil {
                    return
                }
                // 若遇到指定 key ，则标记删除并返回
                if buckets[j]?.key == key {
                    buckets[j] = removed
                    size -= 1
                    return
                }
            }
        }

        /* 扩容哈希表 */
        func extend() {
            // 暂存原哈希表
            let bucketsTmp = buckets
            // 初始化扩容后的新哈希表
            capacity *= extendRatio
            buckets = Array(repeating: nil, count: capacity)
            size = 0
            // 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
            for pair in bucketsTmp {
                if let pair, pair != removed {
                    put(key: pair.key, val: pair.val)
                }
            }
        }

        /* 打印哈希表 */
        func print() {
            for pair in buckets {
                if let pair {
                    Swift.print("\(pair.key) -> \(pair.val)")
                } else {
                    Swift.print("null")
                }
            }
        }
    }
    ```

=== "Zig"

    ```zig title="hash_map_open_addressing.zig"
    [class]{HashMapOpenAddressing}-[func]{}
    ```

=== "Dart"

    ```dart title="hash_map_open_addressing.dart"
    /* 开放寻址哈希表 */
    class HashMapOpenAddressing {
      late int _size; // 键值对数量
      late int _capacity; // 哈希表容量
      late double _loadThres; // 触发扩容的负载因子阈值
      late int _extendRatio; // 扩容倍数
      late List<Pair?> _buckets; // 桶数组
      late Pair _removed; // 删除标记

      /* 构造方法 */
      HashMapOpenAddressing() {
        _size = 0;
        _capacity = 4;
        _loadThres = 2.0 / 3.0;
        _extendRatio = 2;
        _buckets = List.generate(_capacity, (index) => null);
        _removed = Pair(-1, "-1");
      }

      /* 哈希函数 */
      int hashFunc(int key) {
        return key % _capacity;
      }

      /* 负载因子 */
      double loadFactor() {
        return _size / _capacity;
      }

      /* 查询操作 */
      String? get(int key) {
        int index = hashFunc(key);
        // 线性探测，从 index 开始向后遍历
        for (int i = 0; i < _capacity; i++) {
          // 计算桶索引，越过尾部返回头部
          int j = (index + i) % _capacity;
          // 若遇到空桶，说明无此 key ，则返回 null
          if (_buckets[j] == null) return null;
          // 若遇到指定 key ，则返回对应 val
          if (_buckets[j]!.key == key && _buckets[j] != _removed)
            return _buckets[j]!.val;
        }
        return null;
      }

      /* 添加操作 */
      void put(int key, String val) {
        // 当负载因子超过阈值时，执行扩容
        if (loadFactor() > _loadThres) {
          extend();
        }
        int index = hashFunc(key);
        // 线性探测，从 index 开始向后遍历
        for (int i = 0; i < _capacity; i++) {
          // 计算桶索引，越过尾部返回头部
          int j = (index + i) % _capacity;
          // 若遇到空桶、或带有删除标记的桶，则将键值对放入该桶
          if (_buckets[j] == null || _buckets[j] == _removed) {
            _buckets[j] = new Pair(key, val);
            _size += 1;
            return;
          }
          // 若遇到指定 key ，则更新对应 val
          if (_buckets[j]!.key == key) {
            _buckets[j]!.val = val;
            return;
          }
        }
      }

      /* 删除操作 */
      void remove(int key) {
        int index = hashFunc(key);
        // 线性探测，从 index 开始向后遍历
        for (int i = 0; i < _capacity; i++) {
          // 计算桶索引，越过尾部返回头部
          int j = (index + i) % _capacity;
          // 若遇到空桶，说明无此 key ，则直接返回
          if (_buckets[j] == null) {
            return;
          }
          // 若遇到指定 key ，则标记删除并返回
          if (_buckets[j]!.key == key) {
            _buckets[j] = _removed;
            _size -= 1;
            return;
          }
        }
      }

      /* 扩容哈希表 */
      void extend() {
        // 暂存原哈希表
        List<Pair?> bucketsTmp = _buckets;
        // 初始化扩容后的新哈希表
        _capacity *= _extendRatio;
        _buckets = List.generate(_capacity, (index) => null);
        _size = 0;
        // 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
        for (Pair? pair in bucketsTmp) {
          if (pair != null && pair != _removed) {
            put(pair.key, pair.val);
          }
        }
      }

      /* 打印哈希表 */
      void printHashMap() {
        for (Pair? pair in _buckets) {
          if (pair != null) {
            print("${pair.key} -> ${pair.val}");
          } else {
            print(null);
          }
        }
      }
    }
    ```

=== "Rust"

    ```rust title="hash_map_open_addressing.rs"
    /* 开放寻址哈希表 */
    struct HashMapOpenAddressing {
        size: usize,
        capacity: usize,
        load_thres: f32,
        extend_ratio: usize,
        buckets: Vec<Option<Pair>>,
        removed: Pair,
    }


    impl HashMapOpenAddressing {
        /* 构造方法 */
        fn new() -> Self {
            Self {
                size: 0,
                capacity: 4,
                load_thres: 2.0 / 3.0,
                extend_ratio: 2,
                buckets: vec![None; 4],
                removed: Pair {
                    key: -1,
                    val: "-1".to_string(),
                },
            }
        }

        /* 哈希函数 */
        fn hash_func(&self, key: i32) -> usize {
            (key % self.capacity as i32) as usize
        }

        /* 负载因子 */
        fn load_factor(&self) -> f32 {
            self.size as f32 / self.capacity as f32
        }

        /* 查询操作 */
        fn get(&self, key: i32) -> Option<&str> {
            let mut index = self.hash_func(key);
            let capacity = self.capacity;
            // 线性探测，从 index 开始向后遍历
            for _ in 0..capacity {
                // 计算桶索引，越过尾部返回头部
                let j = (index + 1) % capacity;
                match &self.buckets[j] {
                    // 若遇到空桶，说明无此 key ，则返回 None
                    None => return None,
                    // 若遇到指定 key ，则返回对应 val
                    Some(pair) if pair.key == key && pair != &self.removed => return Some(&pair.val),
                    _ => index = j,
                }
            }

            None
        }

        /* 添加操作 */
        fn put(&mut self, key: i32, val: String) {
            // 当负载因子超过阈值时，执行扩容
            if self.load_factor() > self.load_thres {
                self.extend();
            }

            let mut index = self.hash_func(key);
            let capacity = self.capacity;

            // 线性探测，从 index 开始向后遍历
            for _ in 0..capacity {
                //计算桶索引，越过尾部返回头部
                let j = (index + 1) % capacity;
                // 若遇到空桶、或带有删除标记的桶，则将键值对放入该桶
                match &mut self.buckets[j] {
                    bucket @ &mut None | bucket @ &mut Some(Pair { key: -1, .. }) => {
                        *bucket = Some(Pair { key, val });
                        self.size += 1;
                        return;
                    }
                    // 若遇到指定 key ，则更新对应 val
                    Some(pair) if pair.key == key => {
                        pair.val = val;
                        return;
                    }
                    _ => index = j,
                }
            }
        }

        /* 删除操作 */
        fn remove(&mut self, key: i32) {
            let mut index = self.hash_func(key);
            let capacity = self.capacity;

            // 遍历桶，从中删除键值对
            for _ in 0..capacity {
                let j = (index + 1) % capacity;
                match &mut self.buckets[j] {
                    // 若遇到空桶，说明无此 key ，则直接返回
                    None => return,
                    // 若遇到指定 key ，则标记删除并返回
                    Some(pair) if pair.key == key => {
                        *pair = Pair {
                            key: -1,
                            val: "-1".to_string(),
                        };
                        self.size -= 1;
                        return;
                    }
                    _ => index = j,
                }
            }
        }


        /* 扩容哈希表 */
        fn extend(&mut self) {
            // 暂存原哈希表
            let buckets_tmp = self.buckets.clone();
            // 初始化扩容后的新哈希表
            self.capacity *= self.extend_ratio;
            self.buckets = vec![None; self.capacity];
            self.size = 0;

            // 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
            for pair in buckets_tmp {
                if let Some(pair) = pair {
                    self.put(pair.key, pair.val);
                }
            }
        }
        /* 打印哈希表 */
        fn print(&self) {
            for pair in &self.buckets {
                match pair {
                    Some(pair) => println!("{} -> {}", pair.key, pair.val),
                    None => println!("None"),
                }
            }
        }
    }
    ```

### 2. &nbsp; 多次哈希

顾名思义，多次哈希方法是使用多个哈希函数 $f_1(x)$ , $f_2(x)$ , $f_3(x)$ , $\dots$ 进行探测。

- **插入元素**：若哈希函数 $f_1(x)$ 出现冲突，则尝试 $f_2(x)$ ，以此类推，直到找到空位后插入元素。
- **查找元素**：在相同的哈希函数顺序下进行查找，直到找到目标元素时返回；或遇到空位或已尝试所有哈希函数，说明哈希表中不存在该元素，则返回 $\text{None}$ 。

与线性探测相比，多次哈希方法不易产生聚集，但多个哈希函数会增加额外的计算量。

## 6.2.3 &nbsp; 编程语言的选择

Java 采用链式地址。自 JDK 1.8 以来，当 HashMap 内数组长度达到 64 且链表长度达到 8 时，链表会被转换为红黑树以提升查找性能。

Python 采用开放寻址。字典 dict 使用伪随机数进行探测。

Golang 采用链式地址。Go 规定每个桶最多存储 8 个键值对，超出容量则连接一个溢出桶；当溢出桶过多时，会执行一次特殊的等量扩容操作，以确保性能。