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# 12.2 分治搜索策略
我们已经学过，搜索算法分为两大类。
- **暴力搜索**：它通过遍历数据结构实现，时间复杂度为 $O(n)$ 。
- **自适应搜索**：它利用特有的数据组织形式或先验信息，时间复杂度可达到 $O(\log n)$ 甚至 $O(1)$ 。
实际上，**时间复杂度为 $O(\log n)$ 的搜索算法通常是基于分治策略实现的**，例如二分查找和树。
- 二分查找的每一步都将问题（在数组中搜索目标元素）分解为一个小问题（在数组的一半中搜索目标元素），这个过程一直持续到数组为空或找到目标元素为止。
- 树是分治思想的代表，在二叉搜索树、AVL 树、堆等数据结构中，各种操作的时间复杂度皆为 $O(\log n)$ 。
二分查找的分治策略如下所示。
- **问题可以分解**：二分查找递归地将原问题（在数组中进行查找）分解为子问题（在数组的一半中进行查找），这是通过比较中间元素和目标元素来实现的。
- **子问题是独立的**：在二分查找中，每轮只处理一个子问题，它不受其他子问题的影响。
- **子问题的解无须合并**：二分查找旨在查找一个特定元素，因此不需要将子问题的解进行合并。当子问题得到解决时，原问题也会同时得到解决。
分治能够提升搜索效率，本质上是因为暴力搜索每轮只能排除一个选项，**而分治搜索每轮可以排除一半选项**。
### 1. 基于分治实现二分查找
在之前的章节中，二分查找是基于递推（迭代）实现的。现在我们基于分治（递归）来实现它。
!!! question
给定一个长度为 $n$ 的有序数组 `nums` ，其中所有元素都是唯一的，请查找元素 `target` 。
从分治角度，我们将搜索区间 $[i, j]$ 对应的子问题记为 $f(i, j)$ 。
以原问题 $f(0, n-1)$ 为起始点，通过以下步骤进行二分查找。
1. 计算搜索区间 $[i, j]$ 的中点 $m$ ，根据它排除一半搜索区间。
2. 递归求解规模减小一半的子问题，可能为 $f(i, m-1)$ 或 $f(m+1, j)$ 。
3. 循环第 `1.` 步和第 `2.` 步，直至找到 `target` 或区间为空时返回。
图 12-4 展示了在数组中二分查找元素 $6$ 的分治过程。
{ class="animation-figure" }
图 12-4 二分查找的分治过程
在实现代码中，我们声明一个递归函数 `dfs()` 来求解问题 $f(i, j)$ ：
=== "Python"
```python title="binary_search_recur.py"
def dfs(nums: list[int], target: int, i: int, j: int) -> int:
"""二分查找：问题 f(i, j)"""
# 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
if i > j:
return -1
# 计算中点索引 m
m = (i + j) // 2
if nums[m] < target:
# 递归子问题 f(m+1, j)
return dfs(nums, target, m + 1, j)
elif nums[m] > target:
# 递归子问题 f(i, m-1)
return dfs(nums, target, i, m - 1)
else:
# 找到目标元素，返回其索引
return m
def binary_search(nums: list[int], target: int) -> int:
"""二分查找"""
n = len(nums)
# 求解问题 f(0, n-1)
return dfs(nums, target, 0, n - 1)
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search_recur.cpp"
/* 二分查找：问题 f(i, j) */
int dfs(vector &nums, int target, int i, int j) {
// 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
if (i > j) {
return -1;
}
// 计算中点索引 m
int m = (i + j) / 2;
if (nums[m] < target) {
// 递归子问题 f(m+1, j)
return dfs(nums, target, m + 1, j);
} else if (nums[m] > target) {
// 递归子问题 f(i, m-1)
return dfs(nums, target, i, m - 1);
} else {
// 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
}
/* 二分查找 */
int binarySearch(vector &nums, int target) {
int n = nums.size();
// 求解问题 f(0, n-1)
return dfs(nums, target, 0, n - 1);
}
```
=== "Java"
```java title="binary_search_recur.java"
/* 二分查找：问题 f(i, j) */
int dfs(int[] nums, int target, int i, int j) {
// 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
if (i > j) {
return -1;
}
// 计算中点索引 m
int m = (i + j) / 2;
if (nums[m] < target) {
// 递归子问题 f(m+1, j)
return dfs(nums, target, m + 1, j);
} else if (nums[m] > target) {
// 递归子问题 f(i, m-1)
return dfs(nums, target, i, m - 1);
} else {
// 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
}
/* 二分查找 */
int binarySearch(int[] nums, int target) {
int n = nums.length;
// 求解问题 f(0, n-1)
return dfs(nums, target, 0, n - 1);
}
```
=== "C#"
```csharp title="binary_search_recur.cs"
/* 二分查找：问题 f(i, j) */
int DFS(int[] nums, int target, int i, int j) {
// 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
if (i > j) {
return -1;
}
// 计算中点索引 m
int m = (i + j) / 2;
if (nums[m] < target) {
// 递归子问题 f(m+1, j)
return DFS(nums, target, m + 1, j);
} else if (nums[m] > target) {
// 递归子问题 f(i, m-1)
return DFS(nums, target, i, m - 1);
} else {
// 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
}
/* 二分查找 */
int BinarySearch(int[] nums, int target) {
int n = nums.Length;
// 求解问题 f(0, n-1)
return DFS(nums, target, 0, n - 1);
}
```
=== "Go"
```go title="binary_search_recur.go"
/* 二分查找：问题 f(i, j) */
func dfs(nums []int, target, i, j int) int {
// 如果区间为空，代表没有目标元素，则返回 -1
if i > j {
return -1
}
// 计算索引中点
m := i + ((j - i) >> 1)
//判断中点与目标元素大小
if nums[m] < target {
// 小于则递归右半数组
// 递归子问题 f(m+1, j)
return dfs(nums, target, m+1, j)
} else if nums[m] > target {
// 小于则递归左半数组
// 递归子问题 f(i, m-1)
return dfs(nums, target, i, m-1)
} else {
// 找到目标元素，返回其索引
return m
}
}
/* 二分查找 */
func binarySearch(nums []int, target int) int {
n := len(nums)
return dfs(nums, target, 0, n-1)
}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search_recur.swift"
/* 二分查找：问题 f(i, j) */
func dfs(nums: [Int], target: Int, i: Int, j: Int) -> Int {
// 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
if i > j {
return -1
}
// 计算中点索引 m
let m = (i + j) / 2
if nums[m] < target {
// 递归子问题 f(m+1, j)
return dfs(nums: nums, target: target, i: m + 1, j: j)
} else if nums[m] > target {
// 递归子问题 f(i, m-1)
return dfs(nums: nums, target: target, i: i, j: m - 1)
} else {
// 找到目标元素，返回其索引
return m
}
}
/* 二分查找 */
func binarySearch(nums: [Int], target: Int) -> Int {
let n = nums.count
// 求解问题 f(0, n-1)
return dfs(nums: nums, target: target, i: 0, j: n - 1)
}
```
=== "JS"
```javascript title="binary_search_recur.js"
/* 二分查找：问题 f(i, j) */
function dfs(nums, target, i, j) {
// 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
if (i > j) {
return -1;
}
// 计算中点索引 m
const m = i + ((j - i) >> 1);
if (nums[m] < target) {
// 递归子问题 f(m+1, j)
return dfs(nums, target, m + 1, j);
} else if (nums[m] > target) {
// 递归子问题 f(i, m-1)
return dfs(nums, target, i, m - 1);
} else {
// 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
}
/* 二分查找 */
function binarySearch(nums, target) {
const n = nums.length;
// 求解问题 f(0, n-1)
return dfs(nums, target, 0, n - 1);
}
```
=== "TS"
```typescript title="binary_search_recur.ts"
/* 二分查找：问题 f(i, j) */
function dfs(nums: number[], target: number, i: number, j: number): number {
// 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
if (i > j) {
return -1;
}
// 计算中点索引 m
const m = i + ((j - i) >> 1);
if (nums[m] < target) {
// 递归子问题 f(m+1, j)
return dfs(nums, target, m + 1, j);
} else if (nums[m] > target) {
// 递归子问题 f(i, m-1)
return dfs(nums, target, i, m - 1);
} else {
// 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
}
/* 二分查找 */
function binarySearch(nums: number[], target: number): number {
const n = nums.length;
// 求解问题 f(0, n-1)
return dfs(nums, target, 0, n - 1);
}
```
=== "Dart"
```dart title="binary_search_recur.dart"
/* 二分查找：问题 f(i, j) */
int dfs(List nums, int target, int i, int j) {
// 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
if (i > j) {
return -1;
}
// 计算中点索引 m
int m = (i + j) ~/ 2;
if (nums[m] < target) {
// 递归子问题 f(m+1, j)
return dfs(nums, target, m + 1, j);
} else if (nums[m] > target) {
// 递归子问题 f(i, m-1)
return dfs(nums, target, i, m - 1);
} else {
// 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
}
/* 二分查找 */
int binarySearch(List nums, int target) {
int n = nums.length;
// 求解问题 f(0, n-1)
return dfs(nums, target, 0, n - 1);
}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_search_recur.rs"
/* 二分查找：问题 f(i, j) */
fn dfs(nums: &[i32], target: i32, i: i32, j: i32) -> i32 {
// 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
if i > j { return -1; }
let m: i32 = (i + j) / 2;
if nums[m as usize] < target {
// 递归子问题 f(m+1, j)
return dfs(nums, target, m + 1, j);
} else if nums[m as usize] > target {
// 递归子问题 f(i, m-1)
return dfs(nums, target, i, m - 1);
} else {
// 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
}
/* 二分查找 */
fn binary_search(nums: &[i32], target: i32) -> i32 {
let n = nums.len() as i32;
// 求解问题 f(0, n-1)
dfs(nums, target, 0, n - 1)
}
```
=== "C"
```c title="binary_search_recur.c"
/* 二分查找：问题 f(i, j) */
int dfs(int nums[], int target, int i, int j) {
// 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
if (i > j) {
return -1;
}
// 计算中点索引 m
int m = (i + j) / 2;
if (nums[m] < target) {
// 递归子问题 f(m+1, j)
return dfs(nums, target, m + 1, j);
} else if (nums[m] > target) {
// 递归子问题 f(i, m-1)
return dfs(nums, target, i, m - 1);
} else {
// 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
}
/* 二分查找 */
int binarySearch(int nums[], int target, int numsSize) {
int n = numsSize;
// 求解问题 f(0, n-1)
return dfs(nums, target, 0, n - 1);
}
```
=== "Zig"
```zig title="binary_search_recur.zig"
[class]{}-[func]{dfs}
[class]{}-[func]{binarySearch}
```
??? pythontutor "可视化运行"
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