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11.6.   归并排序

「归并排序 Merge Sort」基于分治思想实现排序，包含“划分”和“合并”两个阶段：

  1. 划分阶段：通过递归不断地将数组从中点处分开，将长数组的排序问题转换为短数组的排序问题。
  2. 合并阶段：当子数组长度为 1 时终止划分，开始合并，持续地将左右两个较短的有序数组合并为一个较长的有序数组，直至结束。

归并排序的划分与合并阶段

Fig. 归并排序的划分与合并阶段

11.6.1.   算法流程

“划分阶段”从顶至底递归地将数组从中点切为两个子数组：

  1. 计算数组中点 mid ，递归划分左子数组（区间 [left, mid] ）和右子数组（区间 [mid + 1, right] ）。
  2. 递归执行步骤 1. ，直至子数组区间长度为 1 时，终止递归划分。

“合并阶段”从底至顶地将左子数组和右子数组合并为一个有序数组。需要注意的是，从长度为 1 的子数组开始合并，合并阶段中的每个子数组都是有序的。

归并排序步骤

merge_sort_step2

merge_sort_step3

merge_sort_step4

merge_sort_step5

merge_sort_step6

merge_sort_step7

merge_sort_step8

merge_sort_step9

merge_sort_step10

观察发现，归并排序的递归顺序与二叉树的后序遍历相同，具体来看：

  • 后序遍历：先递归左子树，再递归右子树，最后处理根节点。
  • 归并排序：先递归左子数组，再递归右子数组，最后处理合并。
merge_sort.java
/* 合并左子数组和右子数组 */
// 左子数组区间 [left, mid]
// 右子数组区间 [mid + 1, right]
void merge(int[] nums, int left, int mid, int right) {
    // 初始化辅助数组
    int[] tmp = Arrays.copyOfRange(nums, left, right + 1);
    // 左子数组的起始索引和结束索引
    int leftStart = left - left, leftEnd = mid - left;
    // 右子数组的起始索引和结束索引
    int rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left;
    // i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
    int i = leftStart, j = rightStart;
    // 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
    for (int k = left; k <= right; k++) {
        // 若“左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
        if (i > leftEnd)
            nums[k] = tmp[j++];
        // 否则，若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
        else if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j])
            nums[k] = tmp[i++];
        // 否则，若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
        else
            nums[k] = tmp[j++];
    }
}

/* 归并排序 */
void mergeSort(int[] nums, int left, int right) {
    // 终止条件
    if (left >= right)
        return;                      // 当子数组长度为 1 时终止递归
    // 划分阶段
    int mid = (left + right) / 2;    // 计算中点
    mergeSort(nums, left, mid);      // 递归左子数组
    mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
    // 合并阶段
    merge(nums, left, mid, right);
}
merge_sort.cpp
/* 合并左子数组和右子数组 */
// 左子数组区间 [left, mid]
// 右子数组区间 [mid + 1, right]
void merge(vector<int> &nums, int left, int mid, int right) {
    // 初始化辅助数组
    vector<int> tmp(nums.begin() + left, nums.begin() + right + 1);
    // 左子数组的起始索引和结束索引
    int leftStart = left - left, leftEnd = mid - left;
    // 右子数组的起始索引和结束索引
    int rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left;
    // i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
    int i = leftStart, j = rightStart;
    // 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
    for (int k = left; k <= right; k++) {
        // 若“左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
        if (i > leftEnd)
            nums[k] = tmp[j++];
        // 否则，若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
        else if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j])
            nums[k] = tmp[i++];
        // 否则，若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
        else
            nums[k] = tmp[j++];
    }
}

/* 归并排序 */
void mergeSort(vector<int> &nums, int left, int right) {
    // 终止条件
    if (left >= right)
        return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
    // 划分阶段
    int mid = (left + right) / 2;    // 计算中点
    mergeSort(nums, left, mid);      // 递归左子数组
    mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
    // 合并阶段
    merge(nums, left, mid, right);
}
merge_sort.py
def merge(nums: list[int], left: int, mid: int, right: int):
    """合并左子数组和右子数组"""
    # 左子数组区间 [left, mid]
    # 右子数组区间 [mid + 1, right]
    # 初始化辅助数组
    tmp = list(nums[left : right + 1])
    # 左子数组的起始索引和结束索引
    left_start = 0
    left_end = mid - left
    # 右子数组的起始索引和结束索引
    right_start = mid + 1 - left
    right_end = right - left
    # i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
    i = left_start
    j = right_start
    # 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
    for k in range(left, right + 1):
        # 若“左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
        if i > left_end:
            nums[k] = tmp[j]
            j += 1
        # 否则，若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
        elif j > right_end or tmp[i] <= tmp[j]:
            nums[k] = tmp[i]
            i += 1
        # 否则，若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
        else:
            nums[k] = tmp[j]
            j += 1

def merge_sort(nums: list[int], left: int, right: int):
    """归并排序"""
    # 终止条件
    if left >= right:
        return  # 当子数组长度为 1 时终止递归
    # 划分阶段
    mid = (left + right) // 2  # 计算中点
    merge_sort(nums, left, mid)  # 递归左子数组
    merge_sort(nums, mid + 1, right)  # 递归右子数组
    # 合并阶段
    merge(nums, left, mid, right)
merge_sort.go
/* 合并左子数组和右子数组 */
// 左子数组区间 [left, mid]
// 右子数组区间 [mid + 1, right]
func merge(nums []int, left, mid, right int) {
    // 初始化辅助数组 借助 copy 模块
    tmp := make([]int, right-left+1)
    for i := left; i <= right; i++ {
        tmp[i-left] = nums[i]
    }
    // 左子数组的起始索引和结束索引
    leftStart, leftEnd := left-left, mid-left
    // 右子数组的起始索引和结束索引
    rightStart, rightEnd := mid+1-left, right-left
    // i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
    i, j := leftStart, rightStart
    // 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
    for k := left; k <= right; k++ {
        // 若“左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
        if i > leftEnd {
            nums[k] = tmp[j]
            j++
            // 否则，若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
        } else if j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j] {
            nums[k] = tmp[i]
            i++
            // 否则，若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
        } else {
            nums[k] = tmp[j]
            j++
        }
    }
}

/* 归并排序 */
func mergeSort(nums []int, left, right int) {
    // 终止条件
    if left >= right {
        return
    }
    // 划分阶段
    mid := (left + right) / 2
    mergeSort(nums, left, mid)
    mergeSort(nums, mid+1, right)
    // 合并阶段
    merge(nums, left, mid, right)
}
merge_sort.js
/* 合并左子数组和右子数组 */
// 左子数组区间 [left, mid]
// 右子数组区间 [mid + 1, right]
function merge(nums, left, mid, right) {
    // 初始化辅助数组
    let tmp = nums.slice(left, right + 1);
    // 左子数组的起始索引和结束索引
    let leftStart = left - left,
        leftEnd = mid - left;
    // 右子数组的起始索引和结束索引
    let rightStart = mid + 1 - left,
        rightEnd = right - left;
    // i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
    let i = leftStart,
        j = rightStart;
    // 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
    for (let k = left; k <= right; k++) {
        if (i > leftEnd) {
            // 若“左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
            nums[k] = tmp[j++];
        } else if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j]) {
            // 否则，若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
            nums[k] = tmp[i++];
        } else {
            // 否则，若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
            nums[k] = tmp[j++];
        }
    }
}

/* 归并排序 */
function mergeSort(nums, left, right) {
    // 终止条件
    if (left >= right) return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
    // 划分阶段
    let mid = Math.floor((left + right) / 2); // 计算中点
    mergeSort(nums, left, mid); // 递归左子数组
    mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
    // 合并阶段
    merge(nums, left, mid, right);
}
merge_sort.ts
/* 合并左子数组和右子数组 */
// 左子数组区间 [left, mid]
// 右子数组区间 [mid + 1, right]
function merge(nums: number[], left: number, mid: number, right: number): void {
    // 初始化辅助数组
    let tmp = nums.slice(left, right + 1);
    // 左子数组的起始索引和结束索引
    let leftStart = left - left,
        leftEnd = mid - left;
    // 右子数组的起始索引和结束索引
    let rightStart = mid + 1 - left,
        rightEnd = right - left;
    // i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
    let i = leftStart,
        j = rightStart;
    // 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
    for (let k = left; k <= right; k++) {
        if (i > leftEnd) {
            // 若“左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
            nums[k] = tmp[j++];
            // 否则，若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
        } else if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j]) {
            nums[k] = tmp[i++];
            // 否则，若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
        } else {
            nums[k] = tmp[j++];
        }
    }
}

/* 归并排序 */
function mergeSort(nums: number[], left: number, right: number): void {
    // 终止条件
    if (left >= right) return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
    // 划分阶段
    let mid = Math.floor((left + right) / 2); // 计算中点
    mergeSort(nums, left, mid); // 递归左子数组
    mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
    // 合并阶段
    merge(nums, left, mid, right);
}
merge_sort.c
/* 合并左子数组和右子数组 */
// 左子数组区间 [left, mid]
// 右子数组区间 [mid + 1, right]
void merge(int *nums, int left, int mid, int right) {
    int index;
    // 初始化辅助数组
    int tmp[right + 1 - left];
    for (index = left; index < right + 1; index++) {
        tmp[index - left] = nums[index];
    }
    // 左子数组的起始索引和结束索引
    int leftStart = left - left, leftEnd = mid - left;
    // 右子数组的起始索引和结束索引
    int rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left;
    // i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
    int i = leftStart, j = rightStart;
    // 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
    for (int k = left; k <= right; k++) {
        // 若“左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
        if (i > leftEnd)
            nums[k] = tmp[j++];
        // 否则，若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
        else if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j])
            nums[k] = tmp[i++];
        // 否则，若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
        else
            nums[k] = tmp[j++];
    }
}

/* 归并排序 */
void mergeSort(int *nums, int left, int right) {
    // 终止条件
    if (left >= right)
        return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
    // 划分阶段
    int mid = (left + right) / 2;    // 计算中点
    mergeSort(nums, left, mid);      // 递归左子数组
    mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
    // 合并阶段
    merge(nums, left, mid, right);
}
merge_sort.cs
/* 合并左子数组和右子数组 */
// 左子数组区间 [left, mid]
// 右子数组区间 [mid + 1, right]
void merge(int[] nums, int left, int mid, int right) {
    // 初始化辅助数组
    int[] tmp = nums[left..(right + 1)];
    // 左子数组的起始索引和结束索引  
    int leftStart = left - left, leftEnd = mid - left;
    // 右子数组的起始索引和结束索引       
    int rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left;
    // i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
    int i = leftStart, j = rightStart;
    // 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
    for (int k = left; k <= right; k++) {
        // 若“左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
        if (i > leftEnd)
            nums[k] = tmp[j++];
        // 否则，若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
        else if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j])
            nums[k] = tmp[i++];
        // 否则，若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
        else
            nums[k] = tmp[j++];
    }
}

/* 归并排序 */
void mergeSort(int[] nums, int left, int right) {
    // 终止条件
    if (left >= right) return;       // 当子数组长度为 1 时终止递归
    // 划分阶段
    int mid = (left + right) / 2;    // 计算中点
    mergeSort(nums, left, mid);      // 递归左子数组
    mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
    // 合并阶段
    merge(nums, left, mid, right);
}
merge_sort.swift
/* 合并左子数组和右子数组 */
// 左子数组区间 [left, mid]
// 右子数组区间 [mid + 1, right]
func merge(nums: inout [Int], left: Int, mid: Int, right: Int) {
    // 初始化辅助数组
    let tmp = Array(nums[left ..< (right + 1)])
    // 左子数组的起始索引和结束索引
    let leftStart = left - left
    let leftEnd = mid - left
    // 右子数组的起始索引和结束索引
    let rightStart = mid + 1 - left
    let rightEnd = right - left
    // i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
    var i = leftStart
    var j = rightStart
    // 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
    for k in left ... right {
        // 若“左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
        if i > leftEnd {
            nums[k] = tmp[j]
            j += 1
        }
        // 否则，若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
        else if j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j] {
            nums[k] = tmp[i]
            i += 1
        }
        // 否则，若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
        else {
            nums[k] = tmp[j]
            j += 1
        }
    }
}

/* 归并排序 */
func mergeSort(nums: inout [Int], left: Int, right: Int) {
    // 终止条件
    if left >= right { // 当子数组长度为 1 时终止递归
        return
    }
    // 划分阶段
    let mid = (left + right) / 2 // 计算中点
    mergeSort(nums: &nums, left: left, right: mid) // 递归左子数组
    mergeSort(nums: &nums, left: mid + 1, right: right) // 递归右子数组
    // 合并阶段
    merge(nums: &nums, left: left, mid: mid, right: right)
}
merge_sort.zig
// 合并左子数组和右子数组
// 左子数组区间 [left, mid]
// 右子数组区间 [mid + 1, right]
fn merge(nums: []i32, left: usize, mid: usize, right: usize) !void {
    // 初始化辅助数组
    var mem_arena = std.heap.ArenaAllocator.init(std.heap.page_allocator);
    defer mem_arena.deinit();
    const mem_allocator = mem_arena.allocator();
    var tmp = try mem_allocator.alloc(i32, right + 1 - left);
    std.mem.copy(i32, tmp, nums[left..right+1]);
    // 左子数组的起始索引和结束索引  
    var leftStart = left - left;
    var leftEnd = mid - left;
    // 右子数组的起始索引和结束索引       
    var rightStart = mid + 1 - left;
    var rightEnd = right - left;
    // i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
    var i = leftStart;
    var j = rightStart;
    // 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
    var k = left;
    while (k <= right) : (k += 1) {
        // 若“左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
        if (i > leftEnd) {
            nums[k] = tmp[j];
            j += 1;
        // 否则，若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
        } else if  (j > rightEnd or tmp[i] <= tmp[j]) {
            nums[k] = tmp[i];
            i += 1;
        // 否则，若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
        } else {
            nums[k] = tmp[j];
            j += 1;
        }
    }
}

// 归并排序
fn mergeSort(nums: []i32, left: usize, right: usize) !void {
    // 终止条件
    if (left >= right) return;              // 当子数组长度为 1 时终止递归
    // 划分阶段
    var mid = (left + right) / 2;           // 计算中点
    try mergeSort(nums, left, mid);         // 递归左子数组
    try mergeSort(nums, mid + 1, right);    // 递归右子数组
    // 合并阶段
    try merge(nums, left, mid, right);
}
merge_sort.dart
/* 合并左子数组和右子数组 */
// 左子数组区间 [left, mid]
// 右子数组区间 [mid + 1, right]
void merge(List<int> nums, int left, int mid, int right) {
  // 初始化辅助数组
  List<int> tmp = nums.sublist(left, right + 1);
  // 左子数组的起始索引和结束索引
  int leftStart = left - left, leftEnd = mid - left;
  // 右子数组的起始索引和结束索引
  int rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left;
  // i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
  int i = leftStart, j = rightStart;
  // 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
  for (int k = left; k <= right; k++) {
    // 若“左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
    if (i > leftEnd)
      nums[k] = tmp[j++];
    // 否则，若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
    else if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j])
      nums[k] = tmp[i++];
    // 否则，若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
    else
      nums[k] = tmp[j++];
  }
}

/* 归并排序 */
void mergeSort(List<int> nums, int left, int right) {
  // 终止条件
  if (left >= right) return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
  // 划分阶段
  int mid = (left + right) ~/ 2; // 计算中点
  mergeSort(nums, left, mid); // 递归左子数组
  mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
  // 合并阶段
  merge(nums, left, mid, right);
}
merge_sort.rs
/* 合并左子数组和右子数组 */
// 左子数组区间 [left, mid]
// 右子数组区间 [mid + 1, right]
fn merge(nums: &mut [i32], left: usize, mid: usize, right: usize) {
    // 初始化辅助数组
    let tmp: Vec<i32> = nums[left..right + 1].to_vec();
    // 左子数组的起始索引和结束索引
    let (left_start, left_end) = (left - left, mid - left);
    // 右子数组的起始索引和结束索引
    let (right_start, right_end) = (mid + 1 - left, right-left);
    // i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
    let (mut l_corrent, mut r_corrent) = (left_start, right_start);
    // 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
    for k in left..right + 1 {
        // 若“左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
        if l_corrent > left_end {
            nums[k] = tmp[r_corrent];
            r_corrent += 1;
        }
        // 否则，若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
        else if r_corrent > right_end || tmp[l_corrent] <= tmp[r_corrent] {
            nums[k] = tmp[l_corrent];
            l_corrent += 1;
        }
        // 否则，若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
        else {
            nums[k] = tmp[r_corrent];
            r_corrent += 1;
        }
    }
}

/* 归并排序 */
fn merge_sort(left: usize, right: usize, nums: &mut [i32]) {
    // 终止条件
    if left >= right { return; }       // 当子数组长度为 1 时终止递归
    // 划分阶段
    let mid = (left + right) / 2;     // 计算中点
    merge_sort(left, mid, nums);      // 递归左子数组
    merge_sort(mid + 1, right, nums);  // 递归右子数组
    // 合并阶段
    merge(nums, left, mid, right);
}

合并方法 merge() 代码中的难点包括：

  • 在阅读代码时，需要特别注意各个变量的含义。nums 的待合并区间为 [left, right] ，但由于 tmp 仅复制了 nums 该区间的元素，因此 tmp 对应区间为 [0, right - left] 。
  • 在比较 tmp[i] 和 tmp[j] 的大小时，还需考虑子数组遍历完成后的索引越界问题，即 i > leftEnd 和 j > rightEnd 的情况。索引越界的优先级是最高的，如果左子数组已经被合并完了，那么不需要继续比较，直接合并右子数组元素即可。

11.6.2.   算法特性

  • 时间复杂度 \(O(n \log n)\) 、非自适应排序 ：划分产生高度为 \(\log n\) 的递归树，每层合并的总操作数量为 \(n\) ，因此总体时间复杂度为 \(O(n \log n)\) 。
  • 空间复杂度 \(O(n)\) 、非原地排序 ：递归深度为 \(\log n\) ，使用 \(O(\log n)\) 大小的栈帧空间。合并操作需要借助辅助数组实现，使用 \(O(n)\) 大小的额外空间。
  • 稳定排序：在合并过程中，相等元素的次序保持不变。

11.6.3.   链表排序 *

归并排序在排序链表时具有显著优势，空间复杂度可以优化至 \(O(1)\) ，原因如下：

  • 由于链表仅需改变指针就可实现节点的增删操作，因此合并阶段（将两个短有序链表合并为一个长有序链表）无需创建辅助链表。
  • 通过使用“迭代划分”替代“递归划分”，可省去递归使用的栈帧空间。

具体实现细节比较复杂，有兴趣的同学可以查阅相关资料进行学习。

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