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9.2. 图基础操作

图的基础操作分为对「边」的操作和对「顶点」的操作，在「邻接矩阵」和「邻接表」这两种表示下的实现方式不同。

9.2.1. 基于邻接矩阵的实现

设图的顶点总数为 \(n\) ，则有：

  • 添加或删除边：直接在邻接矩阵中修改指定边的对应元素即可，使用 \(O(1)\) 时间。而由于是无向图，因此需要同时更新两个方向的边。
  • 添加顶点：在邻接矩阵的尾部添加一行一列，并全部填 \(0\) 即可，使用 \(O(n)\) 时间。
  • 删除顶点：在邻接矩阵中删除一行一列。当删除首行首列时达到最差情况，需要将 \((n-1)^2\) 个元素“向左上移动”，从而使用 \(O(n^2)\) 时间。
  • 初始化：传入 \(n\) 个顶点，初始化长度为 \(n\) 的顶点列表 vertices ，使用 \(O(n)\) 时间；初始化 \(n \times n\) 大小的邻接矩阵 adjMat ，使用 \(O(n^2)\) 时间。

adjacency_matrix_initialization

adjacency_matrix_add_edge

adjacency_matrix_remove_edge

adjacency_matrix_add_vertex

adjacency_matrix_remove_vertex

以下是基于邻接矩阵表示图的实现代码。

graph_adjacency_matrix.java
/* 基于邻接矩阵实现的无向图类 */
class GraphAdjMat {
    List<Integer> vertices;     // 顶点列表，元素代表“顶点值”，索引代表“顶点索引”
    List<List<Integer>> adjMat; // 邻接矩阵，行列索引对应“顶点索引”

    /* 构造函数 */
    public GraphAdjMat(int[] vertices, int[][] edges) {
        this.vertices = new ArrayList<>();
        this.adjMat = new ArrayList<>();
        // 添加顶点
        for (int val : vertices) {
            addVertex(val);
        }
        // 添加边
        // 请注意，edges 元素代表顶点索引，即对应 vertices 元素索引
        for (int[] e : edges) {
            addEdge(e[0], e[1]);
        }
    }

    /* 获取顶点数量 */
    public int size() {
        return vertices.size();
    }

    /* 添加顶点 */
    public void addVertex(int val) {
        int n = size();
        // 向顶点列表中添加新顶点的值
        vertices.add(val);
        // 在邻接矩阵中添加一行
        List<Integer> newRow = new ArrayList<>(n);
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            newRow.add(0);
        }
        adjMat.add(newRow);
        // 在邻接矩阵中添加一列
        for (List<Integer> row : adjMat) {
            row.add(0);
        }
    }

    /* 删除顶点 */
    public void removeVertex(int index) {
        if (index >= size())
            throw new IndexOutOfBoundsException();
        // 在顶点列表中移除索引 index 的顶点
        vertices.remove(index);
        // 在邻接矩阵中删除索引 index 的行
        adjMat.remove(index);
        // 在邻接矩阵中删除索引 index 的列
        for (List<Integer> row : adjMat) {
            row.remove(index);
        }
    }

    /* 添加边 */
    // 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
    public void addEdge(int i, int j) {
        // 索引越界与相等处理
        if (i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j)
            throw new IndexOutOfBoundsException();
        // 在无向图中，邻接矩阵沿主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
        adjMat.get(i).set(j, 1);
        adjMat.get(j).set(i, 1);
    }

    /* 删除边 */
    // 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
    public void removeEdge(int i, int j) {
        // 索引越界与相等处理
        if (i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j)
            throw new IndexOutOfBoundsException();
        adjMat.get(i).set(j, 0);
        adjMat.get(j).set(i, 0);
    }

    /* 打印邻接矩阵 */
    public void print() {
        System.out.print("顶点列表 = ");
        System.out.println(vertices);
        System.out.println("邻接矩阵 =");
        PrintUtil.printMatrix(adjMat);
    }
}
graph_adjacency_matrix.cpp
graph_adjacency_matrix.py
graph_adjacency_matrix.go
/* 基于邻接矩阵实现的无向图类 */
type graphAdjMat struct {
    // 顶点列表，元素代表“顶点值”，索引代表“顶点索引”
    vertices []int
    // 邻接矩阵，行列索引对应“顶点索引”
    adjMat [][]int
}

func newGraphAdjMat(vertices []int, edges [][]int) *graphAdjMat {
    // 添加顶点
    n := len(vertices)
    adjMat := make([][]int, n)
    for i := range adjMat {
        adjMat[i] = make([]int, n)
    }
    // 初始化图
    g := &graphAdjMat{
        vertices: vertices,
        adjMat:   adjMat,
    }
    // 添加边
    // 请注意，edges 元素代表顶点索引，即对应 vertices 元素索引
    for i := range edges {
        g.addEdge(edges[i][0], edges[i][1])
    }
    return g
}

/* 获取顶点数量 */
func (g *graphAdjMat) size() int {
    return len(g.vertices)
}

/* 添加顶点 */
func (g *graphAdjMat) addVertex(val int) {
    n := g.size()
    // 向顶点列表中添加新顶点的值
    g.vertices = append(g.vertices, val)
    // 在邻接矩阵中添加一行
    newRow := make([]int, n)
    g.adjMat = append(g.adjMat, newRow)
    // 在邻接矩阵中添加一列
    for i := range g.adjMat {
        g.adjMat[i] = append(g.adjMat[i], 0)
    }
}

/* 删除顶点 */
func (g *graphAdjMat) removeVertex(index int) {
    if index >= g.size() {
        return
    }
    // 在顶点列表中移除索引 index 的顶点
    g.vertices = append(g.vertices[:index], g.vertices[index+1:]...)
    // 在邻接矩阵中删除索引 index 的行
    g.adjMat = append(g.adjMat[:index], g.adjMat[index+1:]...)
    // 在邻接矩阵中删除索引 index 的列
    for i := range g.adjMat {
        g.adjMat[i] = append(g.adjMat[i][:index], g.adjMat[i][index+1:]...)
    }
}

/* 添加边 */
// 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
func (g *graphAdjMat) addEdge(i, j int) {
    // 索引越界与相等处理
    if i < 0 || j < 0 || i >= g.size() || j >= g.size() || i == j {
        fmt.Errorf("%s", "Index Out Of Bounds Exception")
    }
    // 在无向图中，邻接矩阵沿主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
    g.adjMat[i][j] = 1
    g.adjMat[j][i] = 1
}

/* 删除边 */
// 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
func (g *graphAdjMat) removeEdge(i, j int) {
    // 索引越界与相等处理
    if i < 0 || j < 0 || i >= g.size() || j >= g.size() || i == j {
        fmt.Errorf("%s", "Index Out Of Bounds Exception")
    }
    g.adjMat[i][j] = 0
    g.adjMat[j][i] = 0
}
graph_adjacency_matrix.js
graph_adjacency_matrix.ts
graph_adjacency_matrix.c
graph_adjacency_matrix.cs
[class]{GraphAdjMat}-[func]{}
graph_adjacency_matrix.swift
/* 基于邻接矩阵实现的无向图类 */
class GraphAdjMat {
    private var vertices: [Int] // 顶点列表，元素代表“顶点值”，索引代表“顶点索引”
    private var adjMat: [[Int]] // 邻接矩阵，行列索引对应“顶点索引”

    /* 构造函数 */
    init(vertices: [Int], edges: [[Int]]) {
        self.vertices = []
        adjMat = []
        // 添加顶点
        for val in vertices {
            addVertex(val: val)
        }
        // 添加边
        // 请注意，edges 元素代表顶点索引，即对应 vertices 元素索引
        for e in edges {
            addEdge(i: e[0], j: e[1])
        }
    }

    /* 获取顶点数量 */
    func size() -> Int {
        vertices.count
    }

    /* 添加顶点 */
    func addVertex(val: Int) {
        let n = size()
        // 向顶点列表中添加新顶点的值
        vertices.append(val)
        // 在邻接矩阵中添加一行
        let newRow = Array(repeating: 0, count: n)
        adjMat.append(newRow)
        // 在邻接矩阵中添加一列
        for i in adjMat.indices {
            adjMat[i].append(0)
        }
    }

    /* 删除顶点 */
    func removeVertex(index: Int) {
        if index >= size() {
            fatalError("越界")
        }
        // 在顶点列表中移除索引 index 的顶点
        vertices.remove(at: index)
        // 在邻接矩阵中删除索引 index 的行
        adjMat.remove(at: index)
        // 在邻接矩阵中删除索引 index 的列
        for i in adjMat.indices {
            adjMat[i].remove(at: index)
        }
    }

    /* 添加边 */
    // 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
    func addEdge(i: Int, j: Int) {
        // 索引越界与相等处理
        if i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j {
            fatalError("越界")
        }
        // 在无向图中，邻接矩阵沿主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
        adjMat[i][j] = 1
        adjMat[j][i] = 1
    }

    /* 删除边 */
    // 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
    func removeEdge(i: Int, j: Int) {
        // 索引越界与相等处理
        if i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j {
            fatalError("越界")
        }
        adjMat[i][j] = 0
        adjMat[j][i] = 0
    }
}
graph_adjacency_matrix.zig

9.2.2. 基于邻接表的实现

设图的顶点总数为 \(n\) 、边总数为 \(m\) ，则有：

  • 添加边：在顶点对应链表的尾部添加边即可，使用 \(O(1)\) 时间。因为是无向图，所以需要同时添加两个方向的边。
  • 删除边：在顶点对应链表中查询与删除指定边，使用 \(O(m)\) 时间。与添加边一样，需要同时删除两个方向的边。
  • 添加顶点：在邻接表中添加一个链表即可，并以新增顶点为链表头结点，使用 \(O(1)\) 时间。
  • 删除顶点：需要遍历整个邻接表，删除包含指定顶点的所有边，使用 \(O(n + m)\) 时间。
  • 初始化：需要在邻接表中建立 \(n\) 个结点和 \(2m\) 条边，使用 \(O(n + m)\) 时间。

adjacency_list_initialization

adjacency_list_add_edge

adjacency_list_remove_edge

adjacency_list_add_vertex

adjacency_list_remove_vertex

基于邻接表实现图的代码如下所示。

graph_adjacency_list.java
/* 顶点类 */
class Vertex {
    int val;
    public Vertex(int val) {
        this.val = val;
    }
}

/* 基于邻接表实现的无向图类 */
class GraphAdjList {
    // 请注意，vertices 和 adjList 中存储的都是 Vertex 对象
    Map<Vertex, Set<Vertex>> adjList; // 邻接表（使用哈希表实现）

    /* 构造函数 */
    public GraphAdjList(Vertex[][] edges) {
        this.adjList = new HashMap<>();
        // 添加所有顶点和边
        for (Vertex[] edge : edges) {
            addVertex(edge[0]);
            addVertex(edge[1]);
            addEdge(edge[0], edge[1]);
        }
    }

    /* 获取顶点数量 */
    public int size() {
        return adjList.size();
    }

    /* 添加边 */
    public void addEdge(Vertex vet1, Vertex vet2) {
        if (!adjList.containsKey(vet1) || !adjList.containsKey(vet2) || vet1 == vet2)
            throw new IllegalArgumentException();
        // 添加边 vet1 - vet2
        adjList.get(vet1).add(vet2);
        adjList.get(vet2).add(vet1);
    }

    /* 删除边 */
    public void removeEdge(Vertex vet1, Vertex vet2) {
        if (!adjList.containsKey(vet1) || !adjList.containsKey(vet2) || vet1 == vet2)
            throw new IllegalArgumentException();
        // 删除边 vet1 - vet2
        adjList.get(vet1).remove(vet2);
        adjList.get(vet2).remove(vet1);
    }

    /* 添加顶点 */
    public void addVertex(Vertex vet) {
        if (adjList.containsKey(vet))
            return;
        // 在邻接表中添加一个新链表（即 HashSet）
        adjList.put(vet, new HashSet<>());
    }

    /* 删除顶点 */
    public void removeVertex(Vertex vet) {
        if (!adjList.containsKey(vet))
            throw new IllegalArgumentException();
        // 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表（即 HashSet）
        adjList.remove(vet);
        // 遍历其它顶点的链表（即 HashSet），删除所有包含 vet 的边
        for (Set<Vertex> set : adjList.values()) {
            set.remove(vet);
        }
    }

    /* 打印邻接表 */
    public void print() {
        System.out.println("邻接表 =");
        for (Map.Entry<Vertex, Set<Vertex>> entry : adjList.entrySet()) {
            List<Integer> tmp = new ArrayList<>();
            for (Vertex vertex : entry.getValue())
                tmp.add(vertex.val);
            System.out.println(entry.getKey().val + ": " + tmp + ",");
        }
    }
}
graph_adjacency_list.cpp
graph_adjacency_list.py
graph_adjacency_list.go
/* 顶点类 */
type vertex struct {
    val int
}

func newVertex(val int) vertex {
    return vertex{
        val: val,
    }
}

/* 基于邻接表实现的无向图类 */
type graphAdjList struct {
    // 请注意，vertices 和 adjList 中存储的都是 Vertex 对象
    // 邻接表（使用哈希表实现）, 使用哈希表模拟集合
    adjList map[vertex]map[vertex]struct{}
}

/* 构造函数 */
func newGraphAdjList(edges [][]vertex) *graphAdjList {
    g := &graphAdjList{
        adjList: make(map[vertex]map[vertex]struct{}),
    }
    // 添加所有顶点和边
    for _, edge := range edges {
        g.addVertex(edge[0])
        g.addVertex(edge[1])
        g.addEdge(edge[0], edge[1])
    }
    return g
}

/* 获取顶点数量 */
func (g *graphAdjList) size() int {
    return len(g.adjList)
}

/* 添加边 */
func (g *graphAdjList) addEdge(vet1 vertex, vet2 vertex) {
    _, ok1 := g.adjList[vet1]
    _, ok2 := g.adjList[vet2]
    if !ok1 || !ok2 || vet1 == vet2 {
        panic("error")
    }
    // 添加边 vet1 - vet2, 添加匿名 struct{},
    g.adjList[vet1][vet2] = struct{}{}
    g.adjList[vet2][vet1] = struct{}{}
}

/* 删除边 */
func (g *graphAdjList) removeEdge(vet1 vertex, vet2 vertex) {
    _, ok1 := g.adjList[vet1]
    _, ok2 := g.adjList[vet2]
    if !ok1 || !ok2 || vet1 == vet2 {
        panic("error")
    }
    // 删除边 vet1 - vet2, 借助 delete 来删除 map 中的键
    delete(g.adjList[vet1], vet2)
    delete(g.adjList[vet2], vet1)
}

/* 添加顶点 */
func (g *graphAdjList) addVertex(vet vertex) {
    _, ok := g.adjList[vet]
    if ok {
        return
    }
    // 在邻接表中添加一个新链表（即 set）
    g.adjList[vet] = make(map[vertex]struct{})
}

/* 删除顶点 */
func (g *graphAdjList) removeVertex(vet vertex) {
    _, ok := g.adjList[vet]
    if !ok {
        panic("error")
    }
    // 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表
    delete(g.adjList, vet)
    // 遍历其它顶点的链表（即 Set），删除所有包含 vet 的边
    for _, set := range g.adjList {
        // 操作
        delete(set, vet)
    }
}
graph_adjacency_list.js
graph_adjacency_list.ts
graph_adjacency_list.c
graph_adjacency_list.cs
[class]{Vertex}-[func]{}

[class]{GraphAdjList}-[func]{}
graph_adjacency_list.swift
/* 顶点类 */
class Vertex: Hashable {
    var val: Int

    init(val: Int) {
        self.val = val
    }

    static func == (lhs: Vertex, rhs: Vertex) -> Bool {
        lhs.val == rhs.val
    }

    func hash(into hasher: inout Hasher) {
        hasher.combine(val)
    }
}

/* 基于邻接表实现的无向图类 */
class GraphAdjList {
    // 请注意，vertices 和 adjList 中存储的都是 Vertex 对象
    private var adjList: [Vertex: Set<Vertex>] // 邻接表（使用哈希表实现）

    init(edges: [[Vertex]]) {
        adjList = [:]
        // 添加所有顶点和边
        for edge in edges {
            addVertex(vet: edge[0])
            addVertex(vet: edge[1])
            addEdge(vet1: edge[0], vet2: edge[1])
        }
    }

    /* 获取顶点数量 */
    func size() -> Int {
        adjList.count
    }

    /* 添加边 */
    func addEdge(vet1: Vertex, vet2: Vertex) {
        if adjList[vet1] == nil || adjList[vet2] == nil || vet1 == vet2 {
            fatalError("参数错误")
        }
        // 添加边 vet1 - vet2
        adjList[vet1]?.insert(vet2)
        adjList[vet2]?.insert(vet1)
    }

    /* 删除边 */
    func removeEdge(vet1: Vertex, vet2: Vertex) {
        if adjList[vet1] == nil || adjList[vet2] == nil || vet1 == vet2 {
            fatalError("参数错误")
        }
        // 删除边 vet1 - vet2
        adjList[vet1]?.remove(vet2)
        adjList[vet2]?.remove(vet1)
    }

    /* 添加顶点 */
    func addVertex(vet: Vertex) {
        if adjList[vet] != nil {
            return
        }
        // 在邻接表中添加一个新链表（即 HashSet）
        adjList[vet] = []
    }

    /* 删除顶点 */
    func removeVertex(vet: Vertex) {
        if adjList[vet] == nil {
            fatalError("参数错误")
        }
        // 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表（即 HashSet）
        adjList.removeValue(forKey: vet)
        // 遍历其它顶点的链表（即 HashSet），删除所有包含 vet 的边
        for key in adjList.keys {
            adjList[key]?.remove(vet)
        }
    }
}
graph_adjacency_list.zig

9.2.3. 效率对比

设图中共有 \(n\) 个顶点和 \(m\) 条边，下表为邻接矩阵和邻接表的时间和空间效率对比。

邻接矩阵 邻接表（链表） 邻接表（哈希表）
判断是否邻接 \(O(1)\) \(O(m)\) \(O(1)\)
添加边 \(O(1)\) \(O(1)\) \(O(1)\)
删除边 \(O(1)\) \(O(m)\) \(O(1)\)
添加顶点 \(O(n)\) \(O(1)\) \(O(1)\)
删除顶点 \(O(n^2)\) \(O(n + m)\) \(O(n)\)
内存空间占用 \(O(n^2)\) \(O(n + m)\) \(O(n + m)\)

观察上表，貌似邻接表（哈希表）的时间与空间效率最优。但实际上，在邻接矩阵中操作边的效率更高，只需要一次数组访问或赋值操作即可。总结以上，邻接矩阵体现“以空间换时间”，邻接表体现“以时间换空间”。

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