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15.3.   最大容量问题

Question

输入一个数组 \(ht\) ，数组中的每个元素代表一个垂直隔板的高度。数组中的任意两个隔板，以及它们之间的空间可以组成一个容器。

容器的容量等于高度和宽度的乘积（即面积），其中高度由较短的隔板决定，宽度是两个隔板的数组索引之差。

请在数组中选择两个隔板，使得组成的容器的容量最大，返回最大容量。

最大容量问题的示例数据

图：最大容量问题的示例数据

容器由任意两个隔板围成，因此本题的状态为两个隔板的索引，记为 \([i, j]\) 。

根据题意，容量等于高度乘以宽度，其中高度由短板决定，宽度是两隔板的索引之差。设容量为 \(cap[i, j]\) ，则可得计算公式：

\[ cap[i, j] = \min(ht[i], ht[j]) \times (j - i) \]

设数组长度为 \(n\) ，两个隔板的组合数量（即状态总数）为 \(C_n^2 = \frac{n(n - 1)}{2}\) 个。最直接地，我们可以穷举所有状态，从而求得最大容量，时间复杂度为 \(O(n^2)\) 。

贪心策略确定

这道题还有更高效率的解法。如下图所示，现选取一个状态 \([i, j]\) ，其满足索引 \(i < j\) 且高度 \(ht[i] < ht[j]\) ，即 \(i\) 为短板、 \(j\) 为长板。

初始状态

图：初始状态

我们发现，如果此时将长板 \(j\) 向短板 \(i\) 靠近，则容量一定变小。这是因为在移动长板 \(j\) 后：

  • 宽度 \(j-i\) 肯定变小。
  • 高度由短板决定，因此高度只可能不变（ \(i\) 仍为短板）或变小（移动后的 \(j\) 成为短板）。

向内移动长板后的状态

图：向内移动长板后的状态

反向思考，我们只有向内收缩短板 \(i\) ，才有可能使容量变大。因为虽然宽度一定变小，但高度可能会变大（移动后的短板 \(i\) 可能会变长）。

向内移动长板后的状态

图：向内移动长板后的状态

由此便可推出本题的贪心策略：

  1. 初始状态下，指针 \(i\) , \(j\) 分列与数组两端。
  2. 计算当前状态的容量 \(cap[i, j]\) ，并更新最大容量。
  3. 比较板 \(i\) 和 板 \(j\) 的高度，并将短板向内移动一格。
  4. 循环执行第 2. , 3. 步，直至 \(i\) 和 \(j\) 相遇时结束。

最大容量问题的贪心过程

max_capacity_greedy_step2

max_capacity_greedy_step3

max_capacity_greedy_step4

max_capacity_greedy_step5

max_capacity_greedy_step6

max_capacity_greedy_step7

max_capacity_greedy_step8

max_capacity_greedy_step9

图：最大容量问题的贪心过程

代码实现

代码循环最多 \(n\) 轮，因此时间复杂度为 \(O(n)\) 。

变量 \(i\) , \(j\) , \(res\) 使用常数大小额外空间，因此空间复杂度为 \(O(1)\) 。

max_capacity.java
/* 最大容量：贪心 */
int maxCapacity(int[] ht) {
    // 初始化 i, j 分列数组两端
    int i = 0, j = ht.length - 1;
    // 初始最大容量为 0
    int res = 0;
    // 循环贪心选择，直至两板相遇
    while (i < j) {
        // 更新最大容量
        int cap = Math.min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
        res = Math.max(res, cap);
        // 向内移动短板
        if (ht[i] < ht[j]) {
            i++;
        } else {
            j--;
        }
    }
    return res;
}
max_capacity.cpp
/* 最大容量：贪心 */
int maxCapacity(vector<int> &ht) {
    // 初始化 i, j 分列数组两端
    int i = 0, j = ht.size() - 1;
    // 初始最大容量为 0
    int res = 0;
    // 循环贪心选择，直至两板相遇
    while (i < j) {
        // 更新最大容量
        int cap = min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
        res = max(res, cap);
        // 向内移动短板
        if (ht[i] < ht[j]) {
            i++;
        } else {
            j--;
        }
    }
    return res;
}
max_capacity.py
def max_capacity(ht: list[int]) -> int:
    """最大容量：贪心"""
    # 初始化 i, j 分列数组两端
    i, j = 0, len(ht) - 1
    # 初始最大容量为 0
    res = 0
    # 循环贪心选择，直至两板相遇
    while i < j:
        # 更新最大容量
        cap = min(ht[i], ht[j]) * (j - i)
        res = max(res, cap)
        # 向内移动短板
        if ht[i] < ht[j]:
            i += 1
        else:
            j -= 1
    return res
max_capacity.go
/* 最大容量：贪心 */
func maxCapacity(ht []int) int {
    // 初始化 i, j 分列数组两端
    i, j := 0, len(ht)-1
    // 初始最大容量为 0
    res := 0
    // 循环贪心选择，直至两板相遇
    for i < j {
        // 更新最大容量
        capacity := int(math.Min(float64(ht[i]), float64(ht[j]))) * (j - i)
        res = int(math.Max(float64(res), float64(capacity)))
        // 向内移动短板
        if ht[i] < ht[j] {
            i++
        } else {
            j--
        }
    }
    return res
}
max_capacity.js
[class]{}-[func]{maxCapacity}
max_capacity.ts
[class]{}-[func]{maxCapacity}
max_capacity.c
[class]{}-[func]{maxCapacity}
max_capacity.cs
/* 最大容量：贪心 */
int maxCapacity(int[] ht) {
    // 初始化 i, j 分列数组两端
    int i = 0, j = ht.Length - 1;
    // 初始最大容量为 0
    int res = 0;
    // 循环贪心选择，直至两板相遇
    while (i < j) {
        // 更新最大容量
        int cap = Math.Min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
        res = Math.Max(res, cap);
        // 向内移动短板
        if (ht[i] < ht[j]) {
            i++;
        } else {
            j--;
        }
    }
    return res;
}
max_capacity.swift
[class]{}-[func]{maxCapacity}
max_capacity.zig
[class]{}-[func]{maxCapacity}
max_capacity.dart
/* 最大容量：贪心 */
int maxCapacity(List<int> ht) {
  // 初始化 i, j 分列数组两端
  int i = 0, j = ht.length - 1;
  // 初始最大容量为 0
  int res = 0;
  // 循环贪心选择，直至两板相遇
  while (i < j) {
    // 更新最大容量
    int cap = min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
    res = max(res, cap);
    // 向内移动短板
    if (ht[i] < ht[j]) {
      i++;
    } else {
      j--;
    }
  }
  return res;
}
max_capacity.rs
/* 最大容量：贪心 */
fn max_capacity(ht: &[i32]) -> i32 {
    // 初始化 i, j 分列数组两端
    let mut i = 0;
    let mut j = ht.len() - 1;
    // 初始最大容量为 0
    let mut res = 0;
    // 循环贪心选择，直至两板相遇
    while i < j {
        // 更新最大容量
        let cap = std::cmp::min(ht[i], ht[j]) * (j - i) as i32;
        res = std::cmp::max(res, cap);
        // 向内移动短板
        if ht[i] < ht[j] {
            i += 1;
        } else {
            j -= 1;
        }
    }
    res
}

正确性证明

之所以贪心比穷举更快，是因为每轮的贪心选择都会“跳过”一些状态。

比如在状态 \(cap[i, j]\) 下，\(i\) 为短板、\(j\) 为长板。若贪心地将短板 \(i\) 向内移动一格，会导致以下状态被“跳过”。这意味着之后无法验证这些状态的容量大小。

\[ cap[i, i+1], cap[i, i+2], \cdots, cap[i, j-2], cap[i, j-1] \]

移动短板导致被跳过的状态

图：移动短板导致被跳过的状态

观察发现，这些被跳过的状态实际上就是将长板 \(j\) 向内移动的所有状态。而在第二步中，我们已经证明内移长板一定会导致容量变小。也就是说，被跳过的状态都不可能是最优解，跳过它们不会导致错过最优解。

以上的分析说明，移动短板的操作是“安全”的，贪心策略是有效的。

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