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11.4.   插入排序

「插入排序 Insertion Sort」是一种简单的排序算法，它的工作原理与手动整理一副牌的过程非常相似。

具体来说，我们在未排序区间选择一个基准元素，将该元素与其左侧已排序区间的元素逐一比较大小，并将该元素插入到正确的位置。

回忆数组的元素插入操作，设基准元素为 base ，我们需要将从目标索引到 base 之间的所有元素向右移动一位，然后再将 base 赋值给目标索引。

单次插入操作

Fig. 单次插入操作

11.4.1.   算法流程

插入排序的整体流程如下：

  1. 初始状态下，数组的第 1 个元素已完成排序。
  2. 选取数组的第 2 个元素作为 base ，将其插入到正确位置后，数组的前 2 个元素已排序。
  3. 选取第 3 个元素作为 base ，将其插入到正确位置后，数组的前 3 个元素已排序。
  4. 以此类推，在最后一轮中，选取最后一个元素作为 base ，将其插入到正确位置后，所有元素均已排序。

插入排序流程

Fig. 插入排序流程

insertion_sort.java
/* 插入排序 */
void insertionSort(int[] nums) {
    // 外循环：已排序元素数量为 1, 2, ..., n
    for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
        int base = nums[i], j = i - 1;
        // 内循环：将 base 插入到已排序部分的正确位置
        while (j >= 0 && nums[j] > base) {
            nums[j + 1] = nums[j]; // 将 nums[j] 向右移动一位
            j--;
        }
        nums[j + 1] = base;        // 将 base 赋值到正确位置
    }
}
insertion_sort.cpp
/* 插入排序 */
void insertionSort(vector<int> &nums) {
    // 外循环：已排序元素数量为 1, 2, ..., n
    for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
        int base = nums[i], j = i - 1;
        // 内循环：将 base 插入到已排序部分的正确位置
        while (j >= 0 && nums[j] > base) {
            nums[j + 1] = nums[j]; // 将 nums[j] 向右移动一位
            j--;
        }
        nums[j + 1] = base; // 将 base 赋值到正确位置
    }
}
insertion_sort.py
def insertion_sort(nums: list[int]) -> None:
    """插入排序"""
    # 外循环：已排序区间为 [0, i-1]
    for i in range(1, len(nums)):
        base = nums[i]
        j = i - 1
        # 内循环：将 base 插入到已排序区间 [0, i-1] 中的正确位置
        while j >= 0 and nums[j] > base:
            nums[j + 1] = nums[j]  # 将 nums[j] 向右移动一位
            j -= 1
        nums[j + 1] = base  # 将 base 赋值到正确位置
insertion_sort.go
/* 插入排序 */
func insertionSort(nums []int) {
    // 外循环：未排序区间为 [0, i]
    for i := 1; i < len(nums); i++ {
        base := nums[i]
        j := i - 1
        // 内循环：将 base 插入到已排序部分的正确位置
        for j >= 0 && nums[j] > base {
            nums[j+1] = nums[j] // 将 nums[j] 向右移动一位
            j--
        }
        nums[j+1] = base // 将 base 赋值到正确位置
    }
}
insertion_sort.js
/* 插入排序 */
function insertionSort(nums) {
    // 外循环：已排序元素数量为 1, 2, ..., n
    for (let i = 1; i < nums.length; i++) {
        let base = nums[i],
            j = i - 1;
        // 内循环：将 base 插入到已排序部分的正确位置
        while (j >= 0 && nums[j] > base) {
            nums[j + 1] = nums[j]; // 将 nums[j] 向右移动一位
            j--;
        }
        nums[j + 1] = base; // 将 base 赋值到正确位置
    }
}
insertion_sort.ts
/* 插入排序 */
function insertionSort(nums: number[]): void {
    // 外循环：已排序元素数量为 1, 2, ..., n
    for (let i = 1; i < nums.length; i++) {
        const base = nums[i];
        let j = i - 1;
        // 内循环：将 base 插入到已排序部分的正确位置
        while (j >= 0 && nums[j] > base) {
            nums[j + 1] = nums[j]; // 将 nums[j] 向右移动一位
            j--;
        }
        nums[j + 1] = base; // 将 base 赋值到正确位置
    }
}
insertion_sort.c
/* 插入排序 */
void insertionSort(int nums[], int size) {
    // 外循环：已排序元素数量为 1, 2, ..., n
    for (int i = 1; i < size; i++) {
        int base = nums[i], j = i - 1;
        // 内循环：将 base 插入到已排序部分的正确位置
        while (j >= 0 && nums[j] > base) {
            // 将 nums[j] 向右移动一位
            nums[j + 1] = nums[j];
            j--;
        }
        // 将 base 赋值到正确位置
        nums[j + 1] = base;
    }
}
insertion_sort.cs
/* 插入排序 */
void insertionSort(int[] nums) {
    // 外循环：已排序元素数量为 1, 2, ..., n
    for (int i = 1; i < nums.Length; i++) {
        int bas = nums[i], j = i - 1;
        // 内循环：将 base 插入到已排序部分的正确位置
        while (j >= 0 && nums[j] > bas) {
            nums[j + 1] = nums[j]; // 将 nums[j] 向右移动一位
            j--;
        }
        nums[j + 1] = bas;         // 将 base 赋值到正确位置
    }
}
insertion_sort.swift
/* 插入排序 */
func insertionSort(nums: inout [Int]) {
    // 外循环：已排序元素数量为 1, 2, ..., n
    for i in stride(from: 1, to: nums.count, by: 1) {
        let base = nums[i]
        var j = i - 1
        // 内循环：将 base 插入到已排序部分的正确位置
        while j >= 0, nums[j] > base {
            nums[j + 1] = nums[j] // 将 nums[j] 向右移动一位
            j -= 1
        }
        nums[j + 1] = base // 将 base 赋值到正确位置
    }
}
insertion_sort.zig
// 插入排序
fn insertionSort(nums: []i32) void {
    // 外循环：已排序元素数量为 1, 2, ..., n
    var i: usize = 1;
    while (i < nums.len) : (i += 1) {
        var base = nums[i];
        var j: usize = i;
        // 内循环：将 base 插入到已排序部分的正确位置
        while (j >= 1 and nums[j - 1] > base) : (j -= 1) {
            nums[j] = nums[j - 1];  // 将 nums[j] 向右移动一位
        }
        nums[j] = base;             // 将 base 赋值到正确位置
    }
}

11.4.2.   算法特性

  • 时间复杂度 \(O(n^2)\) 、自适应排序 ：最差情况下，每次插入操作分别需要循环 \(n - 1\) , \(n-2\) , \(\cdots\) , \(2\) , \(1\) 次，求和得到 \(\frac{(n - 1) n}{2}\) ，因此时间复杂度为 \(O(n^2)\) 。在遇到有序数据时，插入操作会提前终止。当输入数组完全有序时，插入排序达到最佳时间复杂度 \(O(n)\) 。
  • 空间复杂度 \(O(1)\) 、原地排序 ：指针 \(i\) , \(j\) 使用常数大小的额外空间。
  • 稳定排序：在插入操作过程中，我们会将元素插入到相等元素的右侧，不会改变它们的顺序。

11.4.3.   插入排序优势

插入排序的时间复杂度为 \(O(n^2)\) ，而我们即将学习的快速排序的时间复杂度为 \(O(n \log n)\) 。尽管插入排序的时间复杂度相比快速排序更高，但在数据量较小的情况下，插入排序通常更快。

这个结论与线性查找和二分查找的适用情况的结论类似。快速排序这类 \(O(n \log n)\) 的算法属于基于分治的排序算法，往往包含更多单元计算操作。而在数据量较小时，\(n^2\) 和 \(n \log n\) 的数值比较接近，复杂度不占主导作用；每轮中的单元计算操作数量起到决定性因素。

实际上，许多编程语言（例如 Java）的内置排序函数都采用了插入排序，大致思路为：对于长数组，采用基于分治的排序算法，例如快速排序；对于短数组，直接使用插入排序。

虽然冒泡排序、选择排序和插入排序的时间复杂度都为 \(O(n^2)\) ，但在实际情况中，插入排序的使用频率显著高于冒泡排序和选择排序。这是因为：

  • 冒泡排序基于元素交换实现，需要借助一个临时变量，共涉及 3 个单元操作；插入排序基于元素赋值实现，仅需 1 个单元操作。因此，冒泡排序的计算开销通常比插入排序更高。
  • 选择排序在任何情况下的时间复杂度都为 \(O(n^2)\) 。如果给定一组部分有序的数据，插入排序通常比选择排序效率更高。
  • 选择排序不稳定，无法应用于多级排序。

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