--- comments: true --- # 8.3.   Top-K 问题 !!! question 给定一个长度为 $n$ 无序数组 `nums` ,请返回数组中前 $k$ 大的元素。 对于该问题,我们先介绍两种思路比较直接的解法,再介绍效率更高的堆解法。 ## 8.3.1.   方法一:遍历选择 我们可以进行 $k$ 轮遍历,分别在每轮中提取第 $1$ , $2$ , $\cdots$ , $k$ 大的元素,时间复杂度为 $O(nk)$ 。 该方法只适用于 $k \ll n$ 的情况,因为当 $k$ 与 $n$ 比较接近时,其时间复杂度趋向于 $O(n^2)$ ,非常耗时。 ![遍历寻找最大的 k 个元素](top_k.assets/top_k_traversal.png)

Fig. 遍历寻找最大的 k 个元素

!!! tip 当 $k = n$ 时,我们可以得到从大到小的序列,等价于「选择排序」算法。 ## 8.3.2.   方法二:排序 我们可以对数组 `nums` 进行排序,并返回最右边的 $k$ 个元素,时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。 显然,该方法“超额”完成任务了,因为我们只需要找出最大的 $k$ 个元素即可,而不需要排序其他元素。 ![排序寻找最大的 k 个元素](top_k.assets/top_k_sorting.png)

Fig. 排序寻找最大的 k 个元素

## 8.3.3.   方法三:堆 我们可以基于堆更加高效地解决 Top-K 问题,流程如下: 1. 初始化一个小顶堆,其堆顶元素最小。 2. 先将数组的前 $k$ 个元素依次入堆。 3. 从第 $k + 1$ 个元素开始,若当前元素大于堆顶元素,则将堆顶元素出堆,并将当前元素入堆。 4. 遍历完成后,堆中保存的就是最大的 $k$ 个元素。 === "<1>" ![基于堆寻找最大的 k 个元素](top_k.assets/top_k_heap_step1.png) === "<2>" ![top_k_heap_step2](top_k.assets/top_k_heap_step2.png) === "<3>" ![top_k_heap_step3](top_k.assets/top_k_heap_step3.png) === "<4>" ![top_k_heap_step4](top_k.assets/top_k_heap_step4.png) === "<5>" ![top_k_heap_step5](top_k.assets/top_k_heap_step5.png) === "<6>" ![top_k_heap_step6](top_k.assets/top_k_heap_step6.png) === "<7>" ![top_k_heap_step7](top_k.assets/top_k_heap_step7.png) === "<8>" ![top_k_heap_step8](top_k.assets/top_k_heap_step8.png) === "<9>" ![top_k_heap_step9](top_k.assets/top_k_heap_step9.png) 总共执行了 $n$ 轮入堆和出堆,堆的最大长度为 $k$ ,因此时间复杂度为 $O(n \log k)$ 。该方法的效率很高,当 $k$ 较小时,时间复杂度趋向 $O(n)$ ;当 $k$ 较大时,时间复杂度不会超过 $O(n \log n)$ 。 另外,该方法适用于动态数据流的使用场景。在不断加入数据时,我们可以持续维护堆内的元素,从而实现最大 $k$ 个元素的动态更新。 === "Java" ```java title="top_k.java" /* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */ Queue topKHeap(int[] nums, int k) { Queue heap = new PriorityQueue(); // 将数组的前 k 个元素入堆 for (int i = 0; i < k; i++) { heap.add(nums[i]); } // 从第 k+1 个元素开始,保持堆的长度为 k for (int i = k; i < nums.length; i++) { // 若当前元素大于堆顶元素,则将堆顶元素出堆、当前元素入堆 if (nums[i] > heap.peek()) { heap.poll(); heap.add(nums[i]); } } return heap; } ``` === "C++" ```cpp title="top_k.cpp" /* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */ priority_queue, greater> topKHeap(vector &nums, int k) { priority_queue, greater> heap; // 将数组的前 k 个元素入堆 for (int i = 0; i < k; i++) { heap.push(nums[i]); } // 从第 k+1 个元素开始,保持堆的长度为 k for (int i = k; i < nums.size(); i++) { // 若当前元素大于堆顶元素,则将堆顶元素出堆、当前元素入堆 if (nums[i] > heap.top()) { heap.pop(); heap.push(nums[i]); } } return heap; } ``` === "Python" ```python title="top_k.py" def top_k_heap(nums: list[int], k: int) -> list[int]: """基于堆查找数组中最大的 k 个元素""" heap = [] # 将数组的前 k 个元素入堆 for i in range(k): heapq.heappush(heap, nums[i]) # 从第 k+1 个元素开始,保持堆的长度为 k for i in range(k, len(nums)): # 若当前元素大于堆顶元素,则将堆顶元素出堆、当前元素入堆 if nums[i] > heap[0]: heapq.heappop(heap) heapq.heappush(heap, nums[i]) return heap ``` === "Go" ```go title="top_k.go" /* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */ func topKHeap(nums []int, k int) *minHeap { h := &minHeap{} heap.Init(h) // 将数组的前 k 个元素入堆 for i := 0; i < k; i++ { heap.Push(h, nums[i]) } // 从第 k+1 个元素开始,保持堆的长度为 k for i := k; i < len(nums); i++ { // 若当前元素大于堆顶元素,则将堆顶元素出堆、当前元素入堆 if nums[i] > h.Top().(int) { heap.Pop(h) heap.Push(h, nums[i]) } } return h } ``` === "JavaScript" ```javascript title="top_k.js" [class]{}-[func]{topKHeap} ``` === "TypeScript" ```typescript title="top_k.ts" [class]{}-[func]{topKHeap} ``` === "C" ```c title="top_k.c" [class]{}-[func]{topKHeap} ``` === "C#" ```csharp title="top_k.cs" [class]{top_k}-[func]{topKHeap} ``` === "Swift" ```swift title="top_k.swift" /* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */ func topKHeap(nums: [Int], k: Int) -> [Int] { // 将数组的前 k 个元素入堆 var heap = Array(nums.prefix(k)) // 从第 k+1 个元素开始,保持堆的长度为 k for i in stride(from: k, to: nums.count, by: 1) { // 若当前元素大于堆顶元素,则将堆顶元素出堆、当前元素入堆 if nums[i] > heap.first! { heap.removeFirst() heap.insert(nums[i], at: 0) } } return heap } ``` === "Zig" ```zig title="top_k.zig" [class]{}-[func]{topKHeap} ``` === "Dart" ```dart title="top_k.dart" [class]{}-[func]{top_k_heap} ```