# 堆 堆（heap）是一种满足特定条件的完全二叉树，主要可分为两种类型，如下图所示。 - 小顶堆（min heap）：任意节点的值 $\leq$ 其子节点的值。 - 大顶堆（max heap）：任意节点的值 $\geq$ 其子节点的值。 ![小顶堆与大顶堆](heap.assets/min_heap_and_max_heap.png) 堆作为完全二叉树的一个特例，具有以下特性。 - 最底层节点靠左填充，其他层的节点都被填满。 - 我们将二叉树的根节点称为“堆顶”，将底层最靠右的节点称为“堆底”。 - 对于大顶堆（小顶堆），堆顶元素（根节点）的值是最大（最小）的。 ## 堆的常用操作 需要指出的是，许多编程语言提供的是优先队列（priority queue），这是一种抽象的数据结构，定义为具有优先级排序的队列。 实际上，**堆通常用于实现优先队列，大顶堆相当于元素按从大到小的顺序出队的优先队列**。从使用角度来看，我们可以将“优先队列”和“堆”看作等价的数据结构。因此，本书对两者不做特别区分，统一称作“堆”。 堆的常用操作见下表，方法名需要根据编程语言来确定。

表   堆的操作效率

| 方法名 | 描述 | 时间复杂度 | | ----------- | ------------------------------------------------ | ----------- | | `push()` | 元素入堆 | $O(\log n)$ | | `pop()` | 堆顶元素出堆 | $O(\log n)$ | | `peek()` | 访问堆顶元素（对于大 / 小顶堆分别为最大 / 小值） | $O(1)$ | | `size()` | 获取堆的元素数量 | $O(1)$ | | `isEmpty()` | 判断堆是否为空 | $O(1)$ | 在实际应用中，我们可以直接使用编程语言提供的堆类（或优先队列类）。 类似于排序算法中的“从小到大排列”和“从大到小排列”，我们可以通过设置一个 `flag` 或修改 `Comparator` 实现“小顶堆”与“大顶堆”之间的转换。代码如下所示： === "Python" ```python title="heap.py" # 初始化小顶堆 min_heap, flag = [], 1 # 初始化大顶堆 max_heap, flag = [], -1 # Python 的 heapq 模块默认实现小顶堆 # 考虑将“元素取负”后再入堆，这样就可以将大小关系颠倒，从而实现大顶堆 # 在本示例中，flag = 1 时对应小顶堆，flag = -1 时对应大顶堆 # 元素入堆 heapq.heappush(max_heap, flag * 1) heapq.heappush(max_heap, flag * 3) heapq.heappush(max_heap, flag * 2) heapq.heappush(max_heap, flag * 5) heapq.heappush(max_heap, flag * 4) # 获取堆顶元素 peek: int = flag * max_heap[0] # 5 # 堆顶元素出堆 # 出堆元素会形成一个从大到小的序列 val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 5 val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 4 val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 3 val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 2 val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 1 # 获取堆大小 size: int = len(max_heap) # 判断堆是否为空 is_empty: bool = not max_heap # 输入列表并建堆 min_heap: list[int] = [1, 3, 2, 5, 4] heapq.heapify(min_heap) ``` === "C++" ```cpp title="heap.cpp" /* 初始化堆 */ // 初始化小顶堆 priority_queue, greater> minHeap; // 初始化大顶堆 priority_queue, less> maxHeap; /* 元素入堆 */ maxHeap.push(1); maxHeap.push(3); maxHeap.push(2); maxHeap.push(5); maxHeap.push(4); /* 获取堆顶元素 */ int peek = maxHeap.top(); // 5 /* 堆顶元素出堆 */ // 出堆元素会形成一个从大到小的序列 maxHeap.pop(); // 5 maxHeap.pop(); // 4 maxHeap.pop(); // 3 maxHeap.pop(); // 2 maxHeap.pop(); // 1 /* 获取堆大小 */ int size = maxHeap.size(); /* 判断堆是否为空 */ bool isEmpty = maxHeap.empty(); /* 输入列表并建堆 */ vector input{1, 3, 2, 5, 4}; priority_queue, greater> minHeap(input.begin(), input.end()); ``` === "Java" ```java title="heap.java" /* 初始化堆 */ // 初始化小顶堆 Queue minHeap = new PriorityQueue<>(); // 初始化大顶堆（使用 lambda 表达式修改 Comparator 即可） Queue maxHeap = new PriorityQueue<>((a, b) -> b - a); /* 元素入堆 */ maxHeap.offer(1); maxHeap.offer(3); maxHeap.offer(2); maxHeap.offer(5); maxHeap.offer(4); /* 获取堆顶元素 */ int peek = maxHeap.peek(); // 5 /* 堆顶元素出堆 */ // 出堆元素会形成一个从大到小的序列 peek = maxHeap.poll(); // 5 peek = maxHeap.poll(); // 4 peek = maxHeap.poll(); // 3 peek = maxHeap.poll(); // 2 peek = maxHeap.poll(); // 1 /* 获取堆大小 */ int size = maxHeap.size(); /* 判断堆是否为空 */ boolean isEmpty = maxHeap.isEmpty(); /* 输入列表并建堆 */ minHeap = new PriorityQueue<>(Arrays.asList(1, 3, 2, 5, 4)); ``` === "C#" ```csharp title="heap.cs" /* 初始化堆 */ // 初始化小顶堆 PriorityQueue minHeap = new(); // 初始化大顶堆（使用 lambda 表达式修改 Comparator 即可） PriorityQueue maxHeap = new(Comparer.Create((x, y) => y - x)); /* 元素入堆 */ maxHeap.Enqueue(1, 1); maxHeap.Enqueue(3, 3); maxHeap.Enqueue(2, 2); maxHeap.Enqueue(5, 5); maxHeap.Enqueue(4, 4); /* 获取堆顶元素 */ int peek = maxHeap.Peek();//5 /* 堆顶元素出堆 */ // 出堆元素会形成一个从大到小的序列 peek = maxHeap.Dequeue(); // 5 peek = maxHeap.Dequeue(); // 4 peek = maxHeap.Dequeue(); // 3 peek = maxHeap.Dequeue(); // 2 peek = maxHeap.Dequeue(); // 1 /* 获取堆大小 */ int size = maxHeap.Count; /* 判断堆是否为空 */ bool isEmpty = maxHeap.Count == 0; /* 输入列表并建堆 */ minHeap = new PriorityQueue([(1, 1), (3, 3), (2, 2), (5, 5), (4, 4)]); ``` === "Go" ```go title="heap.go" // Go 语言中可以通过实现 heap.Interface 来构建整数大顶堆 // 实现 heap.Interface 需要同时实现 sort.Interface type intHeap []any // Push heap.Interface 的方法，实现推入元素到堆 func (h *intHeap) Push(x any) { // Push 和 Pop 使用 pointer receiver 作为参数 // 因为它们不仅会对切片的内容进行调整，还会修改切片的长度。 *h = append(*h, x.(int)) } // Pop heap.Interface 的方法，实现弹出堆顶元素 func (h *intHeap) Pop() any { // 待出堆元素存放在最后 last := (*h)[len(*h)-1] *h = (*h)[:len(*h)-1] return last } // Len sort.Interface 的方法 func (h *intHeap) Len() int { return len(*h) } // Less sort.Interface 的方法 func (h *intHeap) Less(i, j int) bool { // 如果实现小顶堆，则需要调整为小于号 return (*h)[i].(int) > (*h)[j].(int) } // Swap sort.Interface 的方法 func (h *intHeap) Swap(i, j int) { (*h)[i], (*h)[j] = (*h)[j], (*h)[i] } // Top 获取堆顶元素 func (h *intHeap) Top() any { return (*h)[0] } /* Driver Code */ func TestHeap(t *testing.T) { /* 初始化堆 */ // 初始化大顶堆 maxHeap := &intHeap{} heap.Init(maxHeap) /* 元素入堆 */ // 调用 heap.Interface 的方法，来添加元素 heap.Push(maxHeap, 1) heap.Push(maxHeap, 3) heap.Push(maxHeap, 2) heap.Push(maxHeap, 4) heap.Push(maxHeap, 5) /* 获取堆顶元素 */ top := maxHeap.Top() fmt.Printf("堆顶元素为 %d\n", top) /* 堆顶元素出堆 */ // 调用 heap.Interface 的方法，来移除元素 heap.Pop(maxHeap) // 5 heap.Pop(maxHeap) // 4 heap.Pop(maxHeap) // 3 heap.Pop(maxHeap) // 2 heap.Pop(maxHeap) // 1 /* 获取堆大小 */ size := len(*maxHeap) fmt.Printf("堆元素数量为 %d\n", size) /* 判断堆是否为空 */ isEmpty := len(*maxHeap) == 0 fmt.Printf("堆是否为空 %t\n", isEmpty) } ``` === "Swift" ```swift title="heap.swift" /* 初始化堆 */ // Swift 的 Heap 类型同时支持最大堆和最小堆，且需要引入 swift-collections var heap = Heap() /* 元素入堆 */ heap.insert(1) heap.insert(3) heap.insert(2) heap.insert(5) heap.insert(4) /* 获取堆顶元素 */ var peek = heap.max()! /* 堆顶元素出堆 */ peek = heap.removeMax() // 5 peek = heap.removeMax() // 4 peek = heap.removeMax() // 3 peek = heap.removeMax() // 2 peek = heap.removeMax() // 1 /* 获取堆大小 */ let size = heap.count /* 判断堆是否为空 */ let isEmpty = heap.isEmpty /* 输入列表并建堆 */ let heap2 = Heap([1, 3, 2, 5, 4]) ``` === "JS" ```javascript title="heap.js" // JavaScript 未提供内置 Heap 类 ``` === "TS" ```typescript title="heap.ts" // TypeScript 未提供内置 Heap 类 ``` === "Dart" ```dart title="heap.dart" // Dart 未提供内置 Heap 类 ``` === "Rust" ```rust title="heap.rs" use std::collections::BinaryHeap; use std::cmp::Reverse; /* 初始化堆 */ // 初始化小顶堆 let mut min_heap = BinaryHeap::>::new(); // 初始化大顶堆 let mut max_heap = BinaryHeap::new(); /* 元素入堆 */ max_heap.push(1); max_heap.push(3); max_heap.push(2); max_heap.push(5); max_heap.push(4); /* 获取堆顶元素 */ let peek = max_heap.peek().unwrap(); // 5 /* 堆顶元素出堆 */ // 出堆元素会形成一个从大到小的序列 let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 5 let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 4 let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 3 let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 2 let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 1 /* 获取堆大小 */ let size = max_heap.len(); /* 判断堆是否为空 */ let is_empty = max_heap.is_empty(); /* 输入列表并建堆 */ let min_heap = BinaryHeap::from(vec![Reverse(1), Reverse(3), Reverse(2), Reverse(5), Reverse(4)]); ``` === "C" ```c title="heap.c" // C 未提供内置 Heap 类 ``` === "Kotlin" ```kotlin title="heap.kt" /* 初始化堆 */ // 初始化小顶堆 var minHeap = PriorityQueue() // 初始化大顶堆（使用 lambda 表达式修改 Comparator 即可） val maxHeap = PriorityQueue { a: Int, b: Int -> b - a } /* 元素入堆 */ maxHeap.offer(1) maxHeap.offer(3) maxHeap.offer(2) maxHeap.offer(5) maxHeap.offer(4) /* 获取堆顶元素 */ var peek = maxHeap.peek() // 5 /* 堆顶元素出堆 */ // 出堆元素会形成一个从大到小的序列 peek = maxHeap.poll() // 5 peek = maxHeap.poll() // 4 peek = maxHeap.poll() // 3 peek = maxHeap.poll() // 2 peek = maxHeap.poll() // 1 /* 获取堆大小 */ val size = maxHeap.size /* 判断堆是否为空 */ val isEmpty = maxHeap.isEmpty() /* 输入列表并建堆 */ minHeap = PriorityQueue(mutableListOf(1, 3, 2, 5, 4)) ``` === "Ruby" ```ruby title="heap.rb" ``` === "Zig" ```zig title="heap.zig" ``` ??? pythontutor "可视化运行" https://pythontutor.com/render.html#code=import%20heapq%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E5%B0%8F%E9%A1%B6%E5%A0%86%0A%20%20%20%20min_heap,%20flag%20%3D%20%5B%5D,%201%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E5%A4%A7%E9%A1%B6%E5%A0%86%0A%20%20%20%20max_heap,%20flag%20%3D%20%5B%5D,%20-1%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20Python%20%E7%9A%84%20heapq%20%E6%A8%A1%E5%9D%97%E9%BB%98%E8%AE%A4%E5%AE%9E%E7%8E%B0%E5%B0%8F%E9%A1%B6%E5%A0%86%0A%20%20%20%20%23%20%E8%80%83%E8%99%91%E5%B0%86%E2%80%9C%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%8F%96%E8%B4%9F%E2%80%9D%E5%90%8E%E5%86%8D%E5%85%A5%E5%A0%86%EF%BC%8C%E8%BF%99%E6%A0%B7%E5%B0%B1%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E5%B0%86%E5%A4%A7%E5%B0%8F%E5%85%B3%E7%B3%BB%E9%A2%A0%E5%80%92%EF%BC%8C%E4%BB%8E%E8%80%8C%E5%AE%9E%E7%8E%B0%E5%A4%A7%E9%A1%B6%E5%A0%86%0A%20%20%20%20%23%20%E5%9C%A8%E6%9C%AC%E7%A4%BA%E4%BE%8B%E4%B8%AD%EF%BC%8Cflag%20%3D%201%20%E6%97%B6%E5%AF%B9%E5%BA%94%E5%B0%8F%E9%A1%B6%E5%A0%86%EF%BC%8Cflag%20%3D%20-1%20%E6%97%B6%E5%AF%B9%E5%BA%94%E5%A4%A7%E9%A1%B6%E5%A0%86%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%85%A5%E5%A0%86%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap,%20flag%20*%201%29%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap,%20flag%20*%203%29%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap,%20flag%20*%202%29%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap,%20flag%20*%205%29%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap,%20flag%20*%204%29%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8E%B7%E5%8F%96%E5%A0%86%E9%A1%B6%E5%85%83%E7%B4%A0%0A%20%20%20%20peek%20%3D%20flag%20*%20max_heap%5B0%5D%20%23%205%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E5%A0%86%E9%A1%B6%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%87%BA%E5%A0%86%0A%20%20%20%20%23%20%E5%87%BA%E5%A0%86%E5%85%83%E7%B4%A0%E4%BC%9A%E5%BD%A2%E6%88%90%E4%B8%80%E4%B8%AA%E4%BB%8E%E5%A4%A7%E5%88%B0%E5%B0%8F%E7%9A%84%E5%BA%8F%E5%88%97%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20*%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%205%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20*%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%204%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20*%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%203%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20*%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%202%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20*%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%201%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8E%B7%E5%8F%96%E5%A0%86%E5%A4%A7%E5%B0%8F%0A%20%20%20%20size%20%3D%20len%28max_heap%29%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%A4%E6%96%AD%E5%A0%86%E6%98%AF%E5%90%A6%E4%B8%BA%E7%A9%BA%0A%20%20%20%20is_empty%20%3D%20not%20max_heap%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E8%BE%93%E5%85%A5%E5%88%97%E8%A1%A8%E5%B9%B6%E5%BB%BA%E5%A0%86%0A%20%20%20%20min_heap%20%3D%20%5B1,%203,%202,%205,%204%5D%0A%20%20%20%20heapq.heapify%28min_heap%29&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&mode=display&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false ## 堆的实现 下文实现的是大顶堆。若要将其转换为小顶堆，只需将所有大小逻辑判断取逆（例如，将 $\geq$ 替换为 $\leq$ ）。感兴趣的读者可以自行实现。 ### 堆的存储与表示 “二叉树”章节讲过，完全二叉树非常适合用数组来表示。由于堆正是一种完全二叉树，**因此我们将采用数组来存储堆**。 当使用数组表示二叉树时，元素代表节点值，索引代表节点在二叉树中的位置。**节点指针通过索引映射公式来实现**。 如下图所示，给定索引 $i$ ，其左子节点的索引为 $2i + 1$ ，右子节点的索引为 $2i + 2$ ，父节点的索引为 $(i - 1) / 2$（向下整除）。当索引越界时，表示空节点或节点不存在。 ![堆的表示与存储](heap.assets/representation_of_heap.png) 我们可以将索引映射公式封装成函数，方便后续使用： ```src [file]{my_heap}-[class]{max_heap}-[func]{parent} ``` ### 访问堆顶元素 堆顶元素即为二叉树的根节点，也就是列表的首个元素： ```src [file]{my_heap}-[class]{max_heap}-[func]{peek} ``` ### 元素入堆 给定元素 `val` ，我们首先将其添加到堆底。添加之后，由于 `val` 可能大于堆中其他元素，堆的成立条件可能已被破坏，**因此需要修复从插入节点到根节点的路径上的各个节点**，这个操作被称为堆化（heapify）。 考虑从入堆节点开始，**从底至顶执行堆化**。如下图所示，我们比较插入节点与其父节点的值，如果插入节点更大，则将它们交换。然后继续执行此操作，从底至顶修复堆中的各个节点，直至越过根节点或遇到无须交换的节点时结束。 === "<1>" ![元素入堆步骤](heap.assets/heap_push_step1.png) === "<2>" ![heap_push_step2](heap.assets/heap_push_step2.png) === "<3>" ![heap_push_step3](heap.assets/heap_push_step3.png) === "<4>" ![heap_push_step4](heap.assets/heap_push_step4.png) === "<5>" ![heap_push_step5](heap.assets/heap_push_step5.png) === "<6>" ![heap_push_step6](heap.assets/heap_push_step6.png) === "<7>" ![heap_push_step7](heap.assets/heap_push_step7.png) === "<8>" ![heap_push_step8](heap.assets/heap_push_step8.png) === "<9>" ![heap_push_step9](heap.assets/heap_push_step9.png) 设节点总数为 $n$ ，则树的高度为 $O(\log n)$ 。由此可知，堆化操作的循环轮数最多为 $O(\log n)$ ，**元素入堆操作的时间复杂度为 $O(\log n)$** 。代码如下所示： ```src [file]{my_heap}-[class]{max_heap}-[func]{sift_up} ``` ### 堆顶元素出堆 堆顶元素是二叉树的根节点，即列表首元素。如果我们直接从列表中删除首元素，那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化，这将使得后续使用堆化进行修复变得困难。为了尽量减少元素索引的变动，我们采用以下操作步骤。 1. 交换堆顶元素与堆底元素（交换根节点与最右叶节点）。 2. 交换完成后，将堆底从列表中删除（注意，由于已经交换，因此实际上删除的是原来的堆顶元素）。 3. 从根节点开始，**从顶至底执行堆化**。 如下图所示，**“从顶至底堆化”的操作方向与“从底至顶堆化”相反**，我们将根节点的值与其两个子节点的值进行比较，将最大的子节点与根节点交换。然后循环执行此操作，直到越过叶节点或遇到无须交换的节点时结束。 === "<1>" ![堆顶元素出堆步骤](heap.assets/heap_pop_step1.png) === "<2>" ![heap_pop_step2](heap.assets/heap_pop_step2.png) === "<3>" ![heap_pop_step3](heap.assets/heap_pop_step3.png) === "<4>" ![heap_pop_step4](heap.assets/heap_pop_step4.png) === "<5>" ![heap_pop_step5](heap.assets/heap_pop_step5.png) === "<6>" ![heap_pop_step6](heap.assets/heap_pop_step6.png) === "<7>" ![heap_pop_step7](heap.assets/heap_pop_step7.png) === "<8>" ![heap_pop_step8](heap.assets/heap_pop_step8.png) === "<9>" ![heap_pop_step9](heap.assets/heap_pop_step9.png) === "<10>" ![heap_pop_step10](heap.assets/heap_pop_step10.png) 与元素入堆操作相似，堆顶元素出堆操作的时间复杂度也为 $O(\log n)$ 。代码如下所示： ```src [file]{my_heap}-[class]{max_heap}-[func]{sift_down} ``` ## 堆的常见应用 - **优先队列**：堆通常作为实现优先队列的首选数据结构，其入队和出队操作的时间复杂度均为 $O(\log n)$ ，而建队操作为 $O(n)$ ，这些操作都非常高效。 - **堆排序**：给定一组数据，我们可以用它们建立一个堆，然后不断地执行元素出堆操作，从而得到有序数据。然而，我们通常会使用一种更优雅的方式实现堆排序，详见“堆排序”章节。 - **获取最大的 $k$ 个元素**：这是一个经典的算法问题，同时也是一种典型应用，例如选择热度前 10 的新闻作为微博热搜，选取销量前 10 的商品等。