# 堆積 堆積（heap）是一種滿足特定條件的完全二元樹，主要可分為兩種型別，如下圖所示。 - 小頂堆積（min heap）：任意節點的值 $\leq$ 其子節點的值。 - 大頂堆積（max heap）：任意節點的值 $\geq$ 其子節點的值。 ![小頂堆積與大頂堆積](heap.assets/min_heap_and_max_heap.png) 堆積作為完全二元樹的一個特例，具有以下特性。 - 最底層節點靠左填充，其他層的節點都被填滿。 - 我們將二元樹的根節點稱為“堆積頂”，將底層最靠右的節點稱為“堆積底”。 - 對於大頂堆積（小頂堆積），堆積頂元素（根節點）的值是最大（最小）的。 ## 堆積的常用操作 需要指出的是，許多程式語言提供的是優先佇列（priority queue），這是一種抽象的資料結構，定義為具有優先順序排序的佇列。 實際上，**堆積通常用於實現優先佇列，大頂堆積相當於元素按從大到小的順序出列的優先佇列**。從使用角度來看，我們可以將“優先佇列”和“堆積”看作等價的資料結構。因此，本書對兩者不做特別區分，統一稱作“堆積”。 堆積的常用操作見下表，方法名需要根據程式語言來確定。

表   堆積的操作效率

| 方法名 | 描述 | 時間複雜度 | | ----------- | ------------------------------------------------ | ----------- | | `push()` | 元素入堆積 | $O(\log n)$ | | `pop()` | 堆積頂元素出堆積 | $O(\log n)$ | | `peek()` | 訪問堆積頂元素（對於大 / 小頂堆積分別為最大 / 小值） | $O(1)$ | | `size()` | 獲取堆積的元素數量 | $O(1)$ | | `isEmpty()` | 判斷堆積是否為空 | $O(1)$ | 在實際應用中，我們可以直接使用程式語言提供的堆積類別（或優先佇列類別）。 類似於排序演算法中的“從小到大排列”和“從大到小排列”，我們可以透過設定一個 `flag` 或修改 `Comparator` 實現“小頂堆積”與“大頂堆積”之間的轉換。程式碼如下所示： === "Python" ```python title="heap.py" # 初始化小頂堆積 min_heap, flag = [], 1 # 初始化大頂堆積 max_heap, flag = [], -1 # Python 的 heapq 模組預設實現小頂堆積 # 考慮將“元素取負”後再入堆積，這樣就可以將大小關係顛倒，從而實現大頂堆積 # 在本示例中，flag = 1 時對應小頂堆積，flag = -1 時對應大頂堆積 # 元素入堆積 heapq.heappush(max_heap, flag * 1) heapq.heappush(max_heap, flag * 3) heapq.heappush(max_heap, flag * 2) heapq.heappush(max_heap, flag * 5) heapq.heappush(max_heap, flag * 4) # 獲取堆積頂元素 peek: int = flag * max_heap[0] # 5 # 堆積頂元素出堆積 # 出堆積元素會形成一個從大到小的序列 val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 5 val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 4 val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 3 val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 2 val = flag * heapq.heappop(max_heap) # 1 # 獲取堆積大小 size: int = len(max_heap) # 判斷堆積是否為空 is_empty: bool = not max_heap # 輸入串列並建堆積 min_heap: list[int] = [1, 3, 2, 5, 4] heapq.heapify(min_heap) ``` === "C++" ```cpp title="heap.cpp" /* 初始化堆積 */ // 初始化小頂堆積 priority_queue, greater> minHeap; // 初始化大頂堆積 priority_queue, less> maxHeap; /* 元素入堆積 */ maxHeap.push(1); maxHeap.push(3); maxHeap.push(2); maxHeap.push(5); maxHeap.push(4); /* 獲取堆積頂元素 */ int peek = maxHeap.top(); // 5 /* 堆積頂元素出堆積 */ // 出堆積元素會形成一個從大到小的序列 maxHeap.pop(); // 5 maxHeap.pop(); // 4 maxHeap.pop(); // 3 maxHeap.pop(); // 2 maxHeap.pop(); // 1 /* 獲取堆積大小 */ int size = maxHeap.size(); /* 判斷堆積是否為空 */ bool isEmpty = maxHeap.empty(); /* 輸入串列並建堆積 */ vector input{1, 3, 2, 5, 4}; priority_queue, greater> minHeap(input.begin(), input.end()); ``` === "Java" ```java title="heap.java" /* 初始化堆積 */ // 初始化小頂堆積 Queue minHeap = new PriorityQueue<>(); // 初始化大頂堆積（使用 lambda 表示式修改 Comparator 即可） Queue maxHeap = new PriorityQueue<>((a, b) -> b - a); /* 元素入堆積 */ maxHeap.offer(1); maxHeap.offer(3); maxHeap.offer(2); maxHeap.offer(5); maxHeap.offer(4); /* 獲取堆積頂元素 */ int peek = maxHeap.peek(); // 5 /* 堆積頂元素出堆積 */ // 出堆積元素會形成一個從大到小的序列 peek = maxHeap.poll(); // 5 peek = maxHeap.poll(); // 4 peek = maxHeap.poll(); // 3 peek = maxHeap.poll(); // 2 peek = maxHeap.poll(); // 1 /* 獲取堆積大小 */ int size = maxHeap.size(); /* 判斷堆積是否為空 */ boolean isEmpty = maxHeap.isEmpty(); /* 輸入串列並建堆積 */ minHeap = new PriorityQueue<>(Arrays.asList(1, 3, 2, 5, 4)); ``` === "C#" ```csharp title="heap.cs" /* 初始化堆積 */ // 初始化小頂堆積 PriorityQueue minHeap = new(); // 初始化大頂堆積（使用 lambda 表示式修改 Comparator 即可） PriorityQueue maxHeap = new(Comparer.Create((x, y) => y - x)); /* 元素入堆積 */ maxHeap.Enqueue(1, 1); maxHeap.Enqueue(3, 3); maxHeap.Enqueue(2, 2); maxHeap.Enqueue(5, 5); maxHeap.Enqueue(4, 4); /* 獲取堆積頂元素 */ int peek = maxHeap.Peek();//5 /* 堆積頂元素出堆積 */ // 出堆積元素會形成一個從大到小的序列 peek = maxHeap.Dequeue(); // 5 peek = maxHeap.Dequeue(); // 4 peek = maxHeap.Dequeue(); // 3 peek = maxHeap.Dequeue(); // 2 peek = maxHeap.Dequeue(); // 1 /* 獲取堆積大小 */ int size = maxHeap.Count; /* 判斷堆積是否為空 */ bool isEmpty = maxHeap.Count == 0; /* 輸入串列並建堆積 */ minHeap = new PriorityQueue([(1, 1), (3, 3), (2, 2), (5, 5), (4, 4)]); ``` === "Go" ```go title="heap.go" // Go 語言中可以透過實現 heap.Interface 來構建整數大頂堆積 // 實現 heap.Interface 需要同時實現 sort.Interface type intHeap []any // Push heap.Interface 的方法，實現推入元素到堆積 func (h *intHeap) Push(x any) { // Push 和 Pop 使用 pointer receiver 作為參數 // 因為它們不僅會對切片的內容進行調整，還會修改切片的長度。 *h = append(*h, x.(int)) } // Pop heap.Interface 的方法，實現彈出堆積頂元素 func (h *intHeap) Pop() any { // 待出堆積元素存放在最後 last := (*h)[len(*h)-1] *h = (*h)[:len(*h)-1] return last } // Len sort.Interface 的方法 func (h *intHeap) Len() int { return len(*h) } // Less sort.Interface 的方法 func (h *intHeap) Less(i, j int) bool { // 如果實現小頂堆積，則需要調整為小於號 return (*h)[i].(int) > (*h)[j].(int) } // Swap sort.Interface 的方法 func (h *intHeap) Swap(i, j int) { (*h)[i], (*h)[j] = (*h)[j], (*h)[i] } // Top 獲取堆積頂元素 func (h *intHeap) Top() any { return (*h)[0] } /* Driver Code */ func TestHeap(t *testing.T) { /* 初始化堆積 */ // 初始化大頂堆積 maxHeap := &intHeap{} heap.Init(maxHeap) /* 元素入堆積 */ // 呼叫 heap.Interface 的方法，來新增元素 heap.Push(maxHeap, 1) heap.Push(maxHeap, 3) heap.Push(maxHeap, 2) heap.Push(maxHeap, 4) heap.Push(maxHeap, 5) /* 獲取堆積頂元素 */ top := maxHeap.Top() fmt.Printf("堆積頂元素為 %d\n", top) /* 堆積頂元素出堆積 */ // 呼叫 heap.Interface 的方法，來移除元素 heap.Pop(maxHeap) // 5 heap.Pop(maxHeap) // 4 heap.Pop(maxHeap) // 3 heap.Pop(maxHeap) // 2 heap.Pop(maxHeap) // 1 /* 獲取堆積大小 */ size := len(*maxHeap) fmt.Printf("堆積元素數量為 %d\n", size) /* 判斷堆積是否為空 */ isEmpty := len(*maxHeap) == 0 fmt.Printf("堆積是否為空 %t\n", isEmpty) } ``` === "Swift" ```swift title="heap.swift" /* 初始化堆積 */ // Swift 的 Heap 型別同時支持最大堆積和最小堆積，且需要引入 swift-collections var heap = Heap() /* 元素入堆積 */ heap.insert(1) heap.insert(3) heap.insert(2) heap.insert(5) heap.insert(4) /* 獲取堆積頂元素 */ var peek = heap.max()! /* 堆積頂元素出堆積 */ peek = heap.removeMax() // 5 peek = heap.removeMax() // 4 peek = heap.removeMax() // 3 peek = heap.removeMax() // 2 peek = heap.removeMax() // 1 /* 獲取堆積大小 */ let size = heap.count /* 判斷堆積是否為空 */ let isEmpty = heap.isEmpty /* 輸入串列並建堆積 */ let heap2 = Heap([1, 3, 2, 5, 4]) ``` === "JS" ```javascript title="heap.js" // JavaScript 未提供內建 Heap 類別 ``` === "TS" ```typescript title="heap.ts" // TypeScript 未提供內建 Heap 類別 ``` === "Dart" ```dart title="heap.dart" // Dart 未提供內建 Heap 類別 ``` === "Rust" ```rust title="heap.rs" use std::collections::BinaryHeap; use std::cmp::Reverse; /* 初始化堆積 */ // 初始化小頂堆積 let mut min_heap = BinaryHeap::>::new(); // 初始化大頂堆積 let mut max_heap = BinaryHeap::new(); /* 元素入堆積 */ max_heap.push(1); max_heap.push(3); max_heap.push(2); max_heap.push(5); max_heap.push(4); /* 獲取堆積頂元素 */ let peek = max_heap.peek().unwrap(); // 5 /* 堆積頂元素出堆積 */ // 出堆積元素會形成一個從大到小的序列 let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 5 let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 4 let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 3 let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 2 let peek = max_heap.pop().unwrap(); // 1 /* 獲取堆積大小 */ let size = max_heap.len(); /* 判斷堆積是否為空 */ let is_empty = max_heap.is_empty(); /* 輸入串列並建堆積 */ let min_heap = BinaryHeap::from(vec![Reverse(1), Reverse(3), Reverse(2), Reverse(5), Reverse(4)]); ``` === "C" ```c title="heap.c" // C 未提供內建 Heap 類別 ``` === "Kotlin" ```kotlin title="heap.kt" /* 初始化堆積 */ // 初始化小頂堆積 var minHeap = PriorityQueue() // 初始化大頂堆積（使用 lambda 表示式修改 Comparator 即可） val maxHeap = PriorityQueue { a: Int, b: Int -> b - a } /* 元素入堆積 */ maxHeap.offer(1) maxHeap.offer(3) maxHeap.offer(2) maxHeap.offer(5) maxHeap.offer(4) /* 獲取堆積頂元素 */ var peek = maxHeap.peek() // 5 /* 堆積頂元素出堆積 */ // 出堆積元素會形成一個從大到小的序列 peek = maxHeap.poll() // 5 peek = maxHeap.poll() // 4 peek = maxHeap.poll() // 3 peek = maxHeap.poll() // 2 peek = maxHeap.poll() // 1 /* 獲取堆積大小 */ val size = maxHeap.size /* 判斷堆積是否為空 */ val isEmpty = maxHeap.isEmpty() /* 輸入串列並建堆積 */ minHeap = PriorityQueue(mutableListOf(1, 3, 2, 5, 4)) ``` === "Ruby" ```ruby title="heap.rb" # Ruby 未提供內建 Heap 類別 ``` === "Zig" ```zig title="heap.zig" ``` ??? pythontutor "視覺化執行" https://pythontutor.com/render.html#code=import%20heapq%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E5%B0%8F%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20min_heap%2C%20flag%20%3D%20%5B%5D%2C%201%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E5%A4%A7%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20max_heap%2C%20flag%20%3D%20%5B%5D%2C%20-1%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20Python%20%E7%9A%84%20heapq%20%E6%A8%A1%E7%B5%84%E9%A0%90%E8%A8%AD%E5%AF%A6%E7%8F%BE%E5%B0%8F%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20%23%20%E8%80%83%E6%85%AE%E5%B0%87%E2%80%9C%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%8F%96%E8%B2%A0%E2%80%9D%E5%BE%8C%E5%86%8D%E5%85%A5%E5%A0%86%E7%A9%8D%EF%BC%8C%E9%80%99%E6%A8%A3%E5%B0%B1%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E5%B0%87%E5%A4%A7%E5%B0%8F%E9%97%9C%E4%BF%82%E9%A1%9B%E5%80%92%EF%BC%8C%E5%BE%9E%E8%80%8C%E5%AF%A6%E7%8F%BE%E5%A4%A7%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%9C%A8%E6%9C%AC%E7%A4%BA%E4%BE%8B%E4%B8%AD%EF%BC%8Cflag%20%3D%201%20%E6%99%82%E5%B0%8D%E6%87%89%E5%B0%8F%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%EF%BC%8Cflag%20%3D%20-1%20%E6%99%82%E5%B0%8D%E6%87%89%E5%A4%A7%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%85%A5%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap%2C%20flag%20%2A%201%29%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap%2C%20flag%20%2A%203%29%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap%2C%20flag%20%2A%202%29%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap%2C%20flag%20%2A%205%29%0A%20%20%20%20heapq.heappush%28max_heap%2C%20flag%20%2A%204%29%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8D%B2%E5%8F%96%E5%A0%86%E7%A9%8D%E9%A0%82%E5%85%83%E7%B4%A0%0A%20%20%20%20peek%20%3D%20flag%20%2A%20max_heap%5B0%5D%20%23%205%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E5%A0%86%E7%A9%8D%E9%A0%82%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%87%BA%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20%23%20%E5%87%BA%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%85%83%E7%B4%A0%E6%9C%83%E5%BD%A2%E6%88%90%E4%B8%80%E5%80%8B%E5%BE%9E%E5%A4%A7%E5%88%B0%E5%B0%8F%E7%9A%84%E5%BA%8F%E5%88%97%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20%2A%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%205%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20%2A%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%204%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20%2A%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%203%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20%2A%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%202%0A%20%20%20%20val%20%3D%20flag%20%2A%20heapq.heappop%28max_heap%29%20%23%201%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E7%8D%B2%E5%8F%96%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%A4%A7%E5%B0%8F%0A%20%20%20%20size%20%3D%20len%28max_heap%29%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%A4%E6%96%B7%E5%A0%86%E7%A9%8D%E6%98%AF%E5%90%A6%E7%82%BA%E7%A9%BA%0A%20%20%20%20is_empty%20%3D%20not%20max_heap%0A%20%20%20%20%0A%20%20%20%20%23%20%E8%BC%B8%E5%85%A5%E4%B8%B2%E5%88%97%E4%B8%A6%E5%BB%BA%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20min_heap%20%3D%20%5B1%2C%203%2C%202%2C%205%2C%204%5D%0A%20%20%20%20heapq.heapify%28min_heap%29&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&mode=display&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false ## 堆積的實現 下文實現的是大頂堆積。若要將其轉換為小頂堆積，只需將所有大小邏輯判斷進行逆轉（例如，將 $\geq$ 替換為 $\leq$ ）。感興趣的讀者可以自行實現。 ### 堆積的儲存與表示 “二元樹”章節講過，完全二元樹非常適合用陣列來表示。由於堆積正是一種完全二元樹，**因此我們將採用陣列來儲存堆積**。 當使用陣列表示二元樹時，元素代表節點值，索引代表節點在二元樹中的位置。**節點指標透過索引對映公式來實現**。 如下圖所示，給定索引 $i$ ，其左子節點的索引為 $2i + 1$ ，右子節點的索引為 $2i + 2$ ，父節點的索引為 $(i - 1) / 2$（向下整除）。當索引越界時，表示空節點或節點不存在。 ![堆積的表示與儲存](heap.assets/representation_of_heap.png) 我們可以將索引對映公式封裝成函式，方便後續使用： ```src [file]{my_heap}-[class]{max_heap}-[func]{parent} ``` ### 訪問堆積頂元素 堆積頂元素即為二元樹的根節點，也就是串列的首個元素： ```src [file]{my_heap}-[class]{max_heap}-[func]{peek} ``` ### 元素入堆積 給定元素 `val` ，我們首先將其新增到堆積底。新增之後，由於 `val` 可能大於堆積中其他元素，堆積的成立條件可能已被破壞，**因此需要修復從插入節點到根節點的路徑上的各個節點**，這個操作被稱為堆積化（heapify）。 考慮從入堆積節點開始，**從底至頂執行堆積化**。如下圖所示，我們比較插入節點與其父節點的值，如果插入節點更大，則將它們交換。然後繼續執行此操作，從底至頂修復堆積中的各個節點，直至越過根節點或遇到無須交換的節點時結束。 === "<1>" ![元素入堆積步驟](heap.assets/heap_push_step1.png) === "<2>" ![heap_push_step2](heap.assets/heap_push_step2.png) === "<3>" ![heap_push_step3](heap.assets/heap_push_step3.png) === "<4>" ![heap_push_step4](heap.assets/heap_push_step4.png) === "<5>" ![heap_push_step5](heap.assets/heap_push_step5.png) === "<6>" ![heap_push_step6](heap.assets/heap_push_step6.png) === "<7>" ![heap_push_step7](heap.assets/heap_push_step7.png) === "<8>" ![heap_push_step8](heap.assets/heap_push_step8.png) === "<9>" ![heap_push_step9](heap.assets/heap_push_step9.png) 設節點總數為 $n$ ，則樹的高度為 $O(\log n)$ 。由此可知，堆積化操作的迴圈輪數最多為 $O(\log n)$ ，**元素入堆積操作的時間複雜度為 $O(\log n)$** 。程式碼如下所示： ```src [file]{my_heap}-[class]{max_heap}-[func]{sift_up} ``` ### 堆積頂元素出堆積 堆積頂元素是二元樹的根節點，即串列首元素。如果我們直接從串列中刪除首元素，那麼二元樹中所有節點的索引都會發生變化，這將使得後續使用堆積化進行修復變得困難。為了儘量減少元素索引的變動，我們採用以下操作步驟。 1. 交換堆積頂元素與堆積底元素（交換根節點與最右葉節點）。 2. 交換完成後，將堆積底從串列中刪除（注意，由於已經交換，因此實際上刪除的是原來的堆積頂元素）。 3. 從根節點開始，**從頂至底執行堆積化**。 如下圖所示，**“從頂至底堆積化”的操作方向與“從底至頂堆積化”相反**，我們將根節點的值與其兩個子節點的值進行比較，將最大的子節點與根節點交換。然後迴圈執行此操作，直到越過葉節點或遇到無須交換的節點時結束。 === "<1>" ![堆積頂元素出堆積步驟](heap.assets/heap_pop_step1.png) === "<2>" ![heap_pop_step2](heap.assets/heap_pop_step2.png) === "<3>" ![heap_pop_step3](heap.assets/heap_pop_step3.png) === "<4>" ![heap_pop_step4](heap.assets/heap_pop_step4.png) === "<5>" ![heap_pop_step5](heap.assets/heap_pop_step5.png) === "<6>" ![heap_pop_step6](heap.assets/heap_pop_step6.png) === "<7>" ![heap_pop_step7](heap.assets/heap_pop_step7.png) === "<8>" ![heap_pop_step8](heap.assets/heap_pop_step8.png) === "<9>" ![heap_pop_step9](heap.assets/heap_pop_step9.png) === "<10>" ![heap_pop_step10](heap.assets/heap_pop_step10.png) 與元素入堆積操作相似，堆積頂元素出堆積操作的時間複雜度也為 $O(\log n)$ 。程式碼如下所示： ```src [file]{my_heap}-[class]{max_heap}-[func]{sift_down} ``` ## 堆積的常見應用 - **優先佇列**：堆積通常作為實現優先佇列的首選資料結構，其入列和出列操作的時間複雜度均為 $O(\log n)$ ，而建堆積操作為 $O(n)$ ，這些操作都非常高效。 - **堆積排序**：給定一組資料，我們可以用它們建立一個堆積，然後不斷地執行元素出堆積操作，從而得到有序資料。然而，我們通常會使用一種更優雅的方式實現堆積排序，詳見“堆積排序”章節。 - **獲取最大的 $k$ 個元素**：這是一個經典的演算法問題，同時也是一種典型應用，例如選擇熱度前 10 的新聞作為微博熱搜，選取銷量前 10 的商品等。