5.2.   队列

「队列 Queue」是一种遵循「先入先出 first in, first out」数据操作规则的线性数据结构。顾名思义，队列模拟的是排队现象，即外面的人不断加入队列尾部，而处于队列头部的人不断地离开。

我们将队列头部称为「队首」，队列尾部称为「队尾」，将把元素加入队尾的操作称为「入队」，删除队首元素的操作称为「出队」。

Fig. 队列的先入先出规则

5.2.1.   队列常用操作

队列的常用操作见下表。需要注意，不同编程语言的方法名是不同的，在这里我们采用与栈相同的方法命名。

方法名	描述	时间复杂度
push()	元素入队，即将元素添加至队尾	\(O(1)\)
pop()	队首元素出队	\(O(1)\)
peek()	访问队首元素	\(O(1)\)

我们可以直接使用编程语言实现好的队列类。

JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig

queue.java

/* 初始化队列 */
Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();

/* 元素入队 */
queue.offer(1);
queue.offer(3);
queue.offer(2);
queue.offer(5);
queue.offer(4);

/* 访问队首元素 */
int peek = queue.peek();

/* 元素出队 */
int pop = queue.poll();

/* 获取队列的长度 */
int size = queue.size();

/* 判断队列是否为空 */
boolean isEmpty = queue.isEmpty();

queue.cpp

/* 初始化队列 */
queue<int> queue;

/* 元素入队 */
queue.push(1);
queue.push(3);
queue.push(2);
queue.push(5);
queue.push(4);

/* 访问队首元素 */
int front = queue.front();

/* 元素出队 */
queue.pop();

/* 获取队列的长度 */
int size = queue.size();

/* 判断队列是否为空 */
bool empty = queue.empty();

queue.py

""" 初始化队列 """
# 在 Python 中，我们一般将双向队列类 deque 看作队列使用
# 虽然 queue.Queue() 是纯正的队列类，但不太好用，因此不建议
que: Deque[int] = collections.deque()

""" 元素入队 """
que.append(1)
que.append(3)
que.append(2)
que.append(5)
que.append(4)

""" 访问队首元素 """
front: int = que[0];

""" 元素出队 """
pop: int = que.popleft()

""" 获取队列的长度 """
size: int = len(que)

""" 判断队列是否为空 """
is_empty: bool = len(que) == 0

queue_test.go

/* 初始化队列 */
// 在 Go 中，将 list 作为队列来使用
queue := list.New()

/* 元素入队 */
queue.PushBack(1)
queue.PushBack(3)
queue.PushBack(2)
queue.PushBack(5)
queue.PushBack(4)

/* 访问队首元素 */
peek := queue.Front()

/* 元素出队 */
pop := queue.Front()
queue.Remove(pop)

/* 获取队列的长度 */
size := queue.Len()

/* 判断队列是否为空 */
isEmpty := queue.Len() == 0

queue.js

/* 初始化队列 */
// JavaScript 没有内置的队列，可以把 Array 当作队列来使用
const queue = [];

/* 元素入队 */
queue.push(1);
queue.push(3);
queue.push(2);
queue.push(5);
queue.push(4);

/* 访问队首元素 */
const peek = queue[0];

/* 元素出队 */
// 底层是数组，因此 shift() 方法的时间复杂度为 O(n)
const pop = queue.shift();

/* 获取队列的长度 */
const size = queue.length;

/* 判断队列是否为空 */
const empty = queue.length === 0;

queue.ts

/* 初始化队列 */
// TypeScript 没有内置的队列，可以把 Array 当作队列来使用 
const queue: number[] = [];

/* 元素入队 */
queue.push(1);
queue.push(3);
queue.push(2);
queue.push(5);
queue.push(4);

/* 访问队首元素 */
const peek = queue[0];

/* 元素出队 */
// 底层是数组，因此 shift() 方法的时间复杂度为 O(n)
const pop = queue.shift();

/* 获取队列的长度 */
const size = queue.length;

/* 判断队列是否为空 */
const empty = queue.length === 0;

queue.c

queue.cs

/* 初始化队列 */
Queue<int> queue = new();

/* 元素入队 */
queue.Enqueue(1);
queue.Enqueue(3);
queue.Enqueue(2);
queue.Enqueue(5);
queue.Enqueue(4);

/* 访问队首元素 */
int peek = queue.Peek();

/* 元素出队 */
int pop = queue.Dequeue();

/* 获取队列的长度 */
int size = queue.Count();

/* 判断队列是否为空 */
bool isEmpty = queue.Count() == 0;

queue.swift

/* 初始化队列 */
// Swift 没有内置的队列类，可以把 Array 当作队列来使用
var queue: [Int] = []

/* 元素入队 */
queue.append(1)
queue.append(3)
queue.append(2)
queue.append(5)
queue.append(4)

/* 访问队首元素 */
let peek = queue.first!

/* 元素出队 */
// 由于是数组，因此 removeFirst 的复杂度为 O(n)
let pool = queue.removeFirst()

/* 获取队列的长度 */
let size = queue.count

/* 判断队列是否为空 */
let isEmpty = queue.isEmpty

queue.zig

5.2.2.   队列实现

队列需要一种可以在一端添加，并在另一端删除的数据结构，也可以使用链表或数组来实现。

基于链表的实现

我们将链表的「头结点」和「尾结点」分别看作是队首和队尾，并规定队尾只可添加结点，队首只可删除结点。

LinkedListQueuepush()pop()

以下是使用链表实现队列的示例代码。

JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig

linkedlist_queue.java

/* 基于链表实现的队列 */
class LinkedListQueue {
    private ListNode front, rear;  // 头结点 front ，尾结点 rear 
    private int queSize = 0;

    public LinkedListQueue() {
        front = null;
        rear = null;
    }

    /* 获取队列的长度 */
    public int size() {
        return queSize;
    }

    /* 判断队列是否为空 */
    public boolean isEmpty() {
        return size() == 0;
    }

    /* 入队 */
    public void push(int num) {
        // 尾结点后添加 num
        ListNode node = new ListNode(num);
        // 如果队列为空，则令头、尾结点都指向该结点
        if (front == null) {
            front = node;
            rear = node;
        // 如果队列不为空，则将该结点添加到尾结点后
        } else {
            rear.next = node;
            rear = node;
        }
        queSize++;
    }

    /* 出队 */
    public int pop() {
        int num = peek();
        // 删除头结点
        front = front.next;
        queSize--;
        return num;
    }

    /* 访问队首元素 */
    public int peek() {
        if (size() == 0)
            throw new EmptyStackException();
        return front.val;
    }

    /* 将链表转化为 Array 并返回 */
    public int[] toArray() {
        ListNode node = front;
        int[] res = new int[size()];
        for (int i = 0; i < res.length; i++) {
            res[i] = node.val;
            node = node.next;
        }
        return res;
    }
}

linkedlist_queue.cpp

/* 基于链表实现的队列 */
class LinkedListQueue {
private:
    ListNode *front, *rear;  // 头结点 front ，尾结点 rear 
    int queSize;

public:
    LinkedListQueue() {
        front = nullptr;
        rear = nullptr;
        queSize = 0;
    }

    ~LinkedListQueue() {
        // 遍历链表删除结点，释放内存
        freeMemoryLinkedList(front);
    }

    /* 获取队列的长度 */
    int size() {
        return queSize;
    }

    /* 判断队列是否为空 */
    bool empty() {
        return queSize == 0;
    }

    /* 入队 */
    void push(int num) {
        // 尾结点后添加 num
        ListNode* node = new ListNode(num);
        // 如果队列为空，则令头、尾结点都指向该结点
        if (front == nullptr) {
            front = node;
            rear = node;
        }
        // 如果队列不为空，则将该结点添加到尾结点后
        else {
            rear->next = node;
            rear = node;
        }
        queSize++;
    }

    /* 出队 */
    void pop() {
        int num = peek();
        // 删除头结点
        ListNode *tmp = front;
        front = front->next;
        // 释放内存
        delete tmp; 
        queSize--;
    }

    /* 访问队首元素 */
    int peek() {
        if (size() == 0)
            throw out_of_range("队列为空");
        return front->val;
    }

    /* 将链表转化为 Vector 并返回 */
    vector<int> toVector() {
        ListNode* node = front;
        vector<int> res(size());
        for (int i = 0; i < res.size(); i++) {
            res[i] = node->val;
            node = node->next;
        }
        return res;
    }
};

linkedlist_queue.py

class LinkedListQueue:
    """ 基于链表实现的队列 """
    def __init__(self):
        """ 构造方法 """
        self.__front: ListNode | None = None  # 头结点 front
        self.__rear: ListNode | None = None   # 尾结点 rear
        self.__size: int = 0

    def size(self) -> int:
        """ 获取队列的长度 """
        return self.__size

    def is_empty(self) -> bool:
        """ 判断队列是否为空 """
        return not self.__front

    def push(self, num: int) -> None:
        """ 入队 """
        # 尾结点后添加 num
        node = ListNode(num)
        # 如果队列为空，则令头、尾结点都指向该结点
        if self.__front is None:
            self.__front = node
            self.__rear = node
        # 如果队列不为空，则将该结点添加到尾结点后
        else:
            self.__rear.next = node
            self.__rear = node
        self.__size += 1

    def pop(self) -> int:
        """ 出队 """
        num = self.peek()
        # 删除头结点
        self.__front = self.__front.next
        self.__size -= 1
        return num

    def peek(self) -> int:
        """ 访问队首元素 """
        if self.size() == 0:
            print("队列为空")
            return False
        return self.__front.val

    def to_list(self) -> list[int]:
        """ 转化为列表用于打印 """
        queue = []
        temp = self.__front
        while temp:
            queue.append(temp.val)
            temp = temp.next
        return queue

linkedlist_queue.go

/* 基于链表实现的队列 */
type linkedListQueue struct {
    // 使用内置包 list 来实现队列
    data *list.List
}

/* 初始化队列 */
func newLinkedListQueue() *linkedListQueue {
    return &linkedListQueue{
        data: list.New(),
    }
}

/* 入队 */
func (s *linkedListQueue) push(value any) {
    s.data.PushBack(value)
}

/* 出队 */
func (s *linkedListQueue) pop() any {
    if s.isEmpty() {
        return nil
    }
    e := s.data.Front()
    s.data.Remove(e)
    return e.Value
}

/* 访问队首元素 */
func (s *linkedListQueue) peek() any {
    if s.isEmpty() {
        return nil
    }
    e := s.data.Front()
    return e.Value
}

/* 获取队列的长度 */
func (s *linkedListQueue) size() int {
    return s.data.Len()
}

/* 判断队列是否为空 */
func (s *linkedListQueue) isEmpty() bool {
    return s.data.Len() == 0
}

/* 获取 List 用于打印 */
func (s *linkedListQueue) toList() *list.List {
    return s.data
}

linkedlist_queue.js

/* 基于链表实现的队列 */
class LinkedListQueue {
    #front;  // 头结点 #front
    #rear;   // 尾结点 #rear
    #queSize = 0;

    constructor() {
        this.#front = null;
        this.#rear = null;
    }

    /* 获取队列的长度 */
    get size() {
        return this.#queSize;
    }

    /* 判断队列是否为空 */
    isEmpty() {
        return this.size === 0;
    }

    /* 入队 */
    push(num) {
        // 尾结点后添加 num
        const node = new ListNode(num);
        // 如果队列为空，则令头、尾结点都指向该结点
        if (!this.#front) {
            this.#front = node;
            this.#rear = node;
            // 如果队列不为空，则将该结点添加到尾结点后
        } else {
            this.#rear.next = node;
            this.#rear = node;
        }
        this.#queSize++;
    }

    /* 出队 */
    pop() {
        const num = this.peek();
        // 删除头结点
        this.#front = this.#front.next;
        this.#queSize--;
        return num;
    }

    /* 访问队首元素 */
    peek() {
        if (this.size === 0)
            throw new Error("队列为空");
        return this.#front.val;
    }

    /* 将链表转化为 Array 并返回 */
    toArray() {
        let node = this.#front;
        const res = new Array(this.size);
        for (let i = 0; i < res.length; i++) {
            res[i] = node.val;
            node = node.next;
        }
        return res;
    }
}

linkedlist_queue.ts

/* 基于链表实现的队列 */
class LinkedListQueue {
    private front: ListNode | null; // 头结点 front
    private rear: ListNode | null; // 尾结点 rear
    private queSize: number = 0;

    constructor() {
        this.front = null;
        this.rear = null;
    }

    /* 获取队列的长度 */
    get size(): number {
        return this.queSize;
    }

    /* 判断队列是否为空 */
    isEmpty(): boolean {
        return this.size === 0;
    }

    /* 入队 */
    push(num: number): void {
        // 尾结点后添加 num
        const node = new ListNode(num);
        // 如果队列为空，则令头、尾结点都指向该结点
        if (!this.front) {
            this.front = node;
            this.rear = node;
            // 如果队列不为空，则将该结点添加到尾结点后
        } else {
            this.rear!.next = node;
            this.rear = node;
        }
        this.queSize++;
    }

    /* 出队 */
    pop(): number {
        const num = this.peek();
        if (!this.front) throw new Error('队列为空');
        // 删除头结点
        this.front = this.front.next;
        this.queSize--;
        return num;
    }

    /* 访问队首元素 */
    peek(): number {
        if (this.size === 0) throw new Error('队列为空');
        return this.front!.val;
    }

    /* 将链表转化为 Array 并返回 */
    toArray(): number[] {
        let node = this.front;
        const res = new Array<number>(this.size);
        for (let i = 0; i < res.length; i++) {
            res[i] = node!.val;
            node = node!.next;
        }
        return res;
    }
}

linkedlist_queue.c

[class]{linkedListQueue}-[func]{}

linkedlist_queue.cs

/* 基于链表实现的队列 */
class LinkedListQueue
{
    private ListNode? front, rear;  // 头结点 front ，尾结点 rear 
    private int queSize = 0;

    public LinkedListQueue()
    {
        front = null;
        rear = null;
    }

    /* 获取队列的长度 */
    public int size()
    {
        return queSize;
    }

    /* 判断队列是否为空 */
    public bool isEmpty()
    {
        return size() == 0;
    }

    /* 入队 */
    public void push(int num)
    {
        // 尾结点后添加 num
        ListNode node = new ListNode(num);
        // 如果队列为空，则令头、尾结点都指向该结点
        if (front == null)
        {
            front = node;
            rear = node;
            // 如果队列不为空，则将该结点添加到尾结点后
        }
        else if (rear != null)
        {
            rear.next = node;
            rear = node;
        }
        queSize++;
    }

    /* 出队 */
    public int pop()
    {
        int num = peek();
        // 删除头结点
        front = front?.next;
        queSize--;
        return num;
    }

    /* 访问队首元素 */
    public int peek()
    {
        if (size() == 0 || front == null)
            throw new Exception();
        return front.val;
    }

    /* 将链表转化为 Array 并返回 */
    public int[] toArray()
    {
        if (front == null)
            return Array.Empty<int>();

        ListNode node = front;
        int[] res = new int[size()];
        for (int i = 0; i < res.Length; i++)
        {
            res[i] = node.val;
            node = node.next;
        }
        return res;
    }
}

linkedlist_queue.swift

/* 基于链表实现的队列 */
class LinkedListQueue {
    private var front: ListNode? // 头结点
    private var rear: ListNode? // 尾结点
    private var _size = 0

    init() {}

    /* 获取队列的长度 */
    func size() -> Int {
        _size
    }

    /* 判断队列是否为空 */
    func isEmpty() -> Bool {
        size() == 0
    }

    /* 入队 */
    func push(num: Int) {
        // 尾结点后添加 num
        let node = ListNode(x: num)
        // 如果队列为空，则令头、尾结点都指向该结点
        if front == nil {
            front = node
            rear = node
        }
        // 如果队列不为空，则将该结点添加到尾结点后
        else {
            rear?.next = node
            rear = node
        }
        _size += 1
    }

    /* 出队 */
    @discardableResult
    func pop() -> Int {
        let num = peek()
        // 删除头结点
        front = front?.next
        _size -= 1
        return num
    }

    /* 访问队首元素 */
    func peek() -> Int {
        if isEmpty() {
            fatalError("队列为空")
        }
        return front!.val
    }

    /* 将链表转化为 Array 并返回 */
    func toArray() -> [Int] {
        var node = front
        var res = Array(repeating: 0, count: size())
        for i in res.indices {
            res[i] = node!.val
            node = node?.next
        }
        return res
    }
}

linkedlist_queue.zig

// 基于链表实现的队列
fn LinkedListQueue(comptime T: type) type {
    return struct {
        const Self = @This();

        front: ?*inc.ListNode(T) = null,                // 头结点 front
        rear: ?*inc.ListNode(T) = null,                 // 尾结点 rear
        que_size: usize = 0,                             // 队列的长度
        mem_arena: ?std.heap.ArenaAllocator = null,
        mem_allocator: std.mem.Allocator = undefined,   // 内存分配器

        // 构造方法（分配内存+初始化队列）
        pub fn init(self: *Self, allocator: std.mem.Allocator) !void {
            if (self.mem_arena == null) {
                self.mem_arena = std.heap.ArenaAllocator.init(allocator);
                self.mem_allocator = self.mem_arena.?.allocator();
            }
            self.front = null;
            self.rear = null;
            self.que_size = 0;
        }

        // 析构方法（释放内存）
        pub fn deinit(self: *Self) void {
            if (self.mem_arena == null) return;
            self.mem_arena.?.deinit();
        }

        // 获取队列的长度
        pub fn size(self: *Self) usize {
            return self.que_size;
        }

        // 判断队列是否为空
        pub fn isEmpty(self: *Self) bool {
            return self.size() == 0;
        }

        // 访问队首元素
        pub fn peek(self: *Self) T {
            if (self.size() == 0) @panic("队列为空");
            return self.front.?.val;
        }  

        // 入队
        pub fn push(self: *Self, num: T) !void {
            // 尾结点后添加 num
            var node = try self.mem_allocator.create(inc.ListNode(T));
            node.init(num);
            // 如果队列为空，则令头、尾结点都指向该结点
            if (self.front == null) {
                self.front = node;
                self.rear = node;
            // 如果队列不为空，则将该结点添加到尾结点后
            } else {
                self.rear.?.next = node;
                self.rear = node;
            }
            self.que_size += 1;
        } 

        // 出队
        pub fn pop(self: *Self) T {
            var num = self.peek();
            // 删除头结点
            self.front = self.front.?.next;
            self.que_size -= 1;
            return num;
        } 

        // 将链表转换为数组
        pub fn toArray(self: *Self) ![]T {
            var node = self.front;
            var res = try self.mem_allocator.alloc(T, self.size());
            std.mem.set(T, res, @as(T, 0));
            var i: usize = 0;
            while (i < res.len) : (i += 1) {
                res[i] = node.?.val;
                node = node.?.next;
            }
            return res;
        }
    };
}

基于数组的实现

数组的删除首元素的时间复杂度为 \(O(n)\) ，这会导致出队操作效率低下。然而，我们可以采取下述的巧妙方法来避免这个问题。

考虑借助一个变量 front 来指向队首元素的索引，并维护变量 queSize 来记录队列长度。我们定义 rear = front + queSize ，该公式计算出来的 rear 指向“队尾元素索引 \(+1\) ”的位置。

在该设计下，数组中包含元素的有效区间为 [front, rear - 1] ，进而

• 对于入队操作，将输入元素赋值给 rear 索引处，并将 queSize 自增 \(1\) 即可；
• 对于出队操作，仅需将 front 自增 \(1\) ，并将 queSize 自减 \(1\) 即可；

观察发现，入队与出队操作都仅需单次操作即可完成，时间复杂度皆为 \(O(1)\) 。

ArrayQueuepush()pop()

细心的同学可能会发现一个问题：在不断入队与出队的过程中，front 和 rear 都在向右移动，在到达数组尾部后就无法继续移动了。为解决此问题，我们考虑将数组看作是首尾相接的，这样的数组被称为「环形数组」。

对于环形数组，我们需要令 front 或 rear 在越过数组尾部后，直接绕回到数组头部接续遍历。这种周期性规律可以通过「取余操作」来实现，详情请见以下代码。

JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig

array_queue.java

/* 基于环形数组实现的队列 */
class ArrayQueue {
    private int[] nums;  // 用于存储队列元素的数组
    private int front;   // 队首指针，指向队首元素
    private int queSize; // 队列长度

    public ArrayQueue(int capacity) {
        nums = new int[capacity];
        front = queSize = 0;
    }

    /* 获取队列的容量 */
    public int capacity() {
        return nums.length;
    }

    /* 获取队列的长度 */
    public int size() {
        return queSize;
    }

    /* 判断队列是否为空 */
    public boolean isEmpty() {
        return queSize == 0;
    }

    /* 入队 */
    public void push(int num) {
        if (queSize == capacity()) {
            System.out.println("队列已满");
            return;
        }
        // 计算尾指针，指向队尾索引 + 1
        // 通过取余操作，实现 rear 越过数组尾部后回到头部
        int rear = (front + queSize) % capacity();
        // 将 num 添加至队尾
        nums[rear] = num;
        queSize++;
    }

    /* 出队 */
    public int pop() {
        int num = peek();
        // 队首指针向后移动一位，若越过尾部则返回到数组头部
        front = (front + 1) % capacity();
        queSize--;
        return num;
    }

    /* 访问队首元素 */
    public int peek() {
        if (isEmpty())
            throw new EmptyStackException();
        return nums[front];
    }

    /* 返回数组 */
    public int[] toArray() {
        // 仅转换有效长度范围内的列表元素
        int[] res = new int[queSize];
        for (int i = 0, j = front; i < queSize; i++, j++) {
            res[i] = nums[j % capacity()];
        }
        return res;
    }
}

array_queue.cpp

/* 基于环形数组实现的队列 */
class ArrayQueue {
private:
    int *nums;       // 用于存储队列元素的数组
    int front;       // 队首指针，指向队首元素
    int queSize;     // 队列长度
    int queCapacity; // 队列容量

public:
    ArrayQueue(int capacity) {
        // 初始化数组
        nums = new int[capacity];
        queCapacity = capacity;
        front = queSize = 0;
    }

    ~ArrayQueue() {
        delete[] nums;
    }

    /* 获取队列的容量 */
    int capacity() {
        return queCapacity;
    }

    /* 获取队列的长度 */
    int size() {
        return queSize;
    }

    /* 判断队列是否为空 */
    bool empty() {
        return size() == 0;
    }

    /* 入队 */
    void push(int num) {
        if (queSize == queCapacity) {
            cout << "队列已满" << endl;
            return;
        }
        // 计算队尾指针，指向队尾索引 + 1
        // 通过取余操作，实现 rear 越过数组尾部后回到头部
        int rear = (front + queSize) % queCapacity;
        // 将 num 添加至队尾
        nums[rear] = num;
        queSize++;
    }

    /* 出队 */
    void pop() {
        int num = peek();
        // 队首指针向后移动一位，若越过尾部则返回到数组头部
        front = (front + 1) % queCapacity;
        queSize--;
    }

    /* 访问队首元素 */
    int peek() {
        if (empty())
            throw out_of_range("队列为空");
        return nums[front];
    }

    /* 将数组转化为 Vector 并返回 */
    vector<int> toVector() {
        // 仅转换有效长度范围内的列表元素
        vector<int> arr(queSize);
        for (int i = 0, j = front; i < queSize; i++, j++) {
            arr[i] = nums[j % queCapacity];
        }
        return arr;
    }
};

array_queue.py

class ArrayQueue:
    """ 基于环形数组实现的队列 """
    def __init__(self, size: int) -> None:
        """ 构造方法 """
        self.__nums: list[int] = [0] * size  # 用于存储队列元素的数组
        self.__front: int = 0          # 队首指针，指向队首元素
        self.__size: int = 0           # 队列长度

    def capacity(self) -> int:
        """ 获取队列的容量 """
        return len(self.__nums)

    def size(self) -> int:
        """ 获取队列的长度 """
        return self.__size

    def is_empty(self) -> bool:
        """ 判断队列是否为空 """
        return self.__size == 0

    def push(self, num: int) -> None:
        """ 入队 """
        assert self.__size < self.capacity(), "队列已满"
        # 计算尾指针，指向队尾索引 + 1
        # 通过取余操作，实现 rear 越过数组尾部后回到头部
        rear: int = (self.__front + self.__size) % self.capacity()
        # 将 num 添加至队尾
        self.__nums[rear] = num
        self.__size += 1

    def pop(self) -> int:
        """ 出队 """
        num: int = self.peek()
        # 队首指针向后移动一位，若越过尾部则返回到数组头部
        self.__front = (self.__front + 1) % self.capacity()
        self.__size -= 1
        return num

    def peek(self) -> int:
        """ 访问队首元素 """
        assert not self.is_empty(), "队列为空"
        return self.__nums[self.__front]

    def to_list(self) -> list[int]:
        """ 返回列表用于打印 """
        res: list[int] = [0] * self.size()
        j: int = self.__front
        for i in range(self.size()):
            res[i] = self.__nums[(j % self.capacity())]
            j += 1
        return res

array_queue.go

/* 基于环形数组实现的队列 */
type arrayQueue struct {
    nums        []int // 用于存储队列元素的数组
    front       int   // 队首指针，指向队首元素
    queSize     int   // 队列长度
    queCapacity int   // 队列容量（即最大容纳元素数量）
}

/* 初始化队列 */
func newArrayQueue(queCapacity int) *arrayQueue {
    return &arrayQueue{
        nums:        make([]int, queCapacity),
        queCapacity: queCapacity,
        front:       0,
        queSize:     0,
    }
}

/* 获取队列的长度 */
func (q *arrayQueue) size() int {
    return q.queSize
}

/* 判断队列是否为空 */
func (q *arrayQueue) isEmpty() bool {
    return q.queSize == 0
}

/* 入队 */
func (q *arrayQueue) push(num int) {
    // 当 rear == queCapacity 表示队列已满
    if q.queSize == q.queCapacity {
        return
    }
    // 计算尾指针，指向队尾索引 + 1
    // 通过取余操作，实现 rear 越过数组尾部后回到头部
    rear := (q.front + q.queSize) % q.queCapacity
    // 将 num 添加至队尾
    q.nums[rear] = num
    q.queSize++
}

/* 出队 */
func (q *arrayQueue) pop() any {
    num := q.peek()
    // 队首指针向后移动一位，若越过尾部则返回到数组头部
    q.front = (q.front + 1) % q.queCapacity
    q.queSize--
    return num
}

/* 访问队首元素 */
func (q *arrayQueue) peek() any {
    if q.isEmpty() {
        return nil
    }
    return q.nums[q.front]
}

/* 获取 Slice 用于打印 */
func (q *arrayQueue) toSlice() []int {
    rear := (q.front + q.queSize)
    if rear >= q.queCapacity {
        rear %= q.queCapacity
        return append(q.nums[q.front:], q.nums[:rear]...)
    }
    return q.nums[q.front:rear]
}

array_queue.js

/* 基于环形数组实现的队列 */
class ArrayQueue {
    #nums;         // 用于存储队列元素的数组
    #front = 0;    // 队首指针，指向队首元素
    #queSize = 0;  // 队列长度

    constructor(capacity) {
        this.#nums = new Array(capacity);
    }

    /* 获取队列的容量 */
    get capacity() {
        return this.#nums.length;
    }

    /* 获取队列的长度 */
    get size() {
        return this.#queSize;
    }

    /* 判断队列是否为空 */
    empty() {
        return this.#queSize == 0;
    }

    /* 入队 */
    push(num) {
        if (this.size == this.capacity) {
            console.log("队列已满");
            return;
        }
        // 计算尾指针，指向队尾索引 + 1
        // 通过取余操作，实现 rear 越过数组尾部后回到头部
        const rear = (this.#front + this.size) % this.capacity;
        // 将 num 添加至队尾
        this.#nums[rear] = num;
        this.#queSize++;
    }

    /* 出队 */
    pop() {
        const num = this.peek();
        // 队首指针向后移动一位，若越过尾部则返回到数组头部
        this.#front = (this.#front + 1) % this.capacity;
        this.#queSize--;
        return num;
    }

    /* 访问队首元素 */
    peek() {
        if (this.empty())
            throw new Error("队列为空");
        return this.#nums[this.#front];
    }

    /* 返回 Array */
    toArray() {
        // 仅转换有效长度范围内的列表元素
        const arr = new Array(this.size);
        for (let i = 0, j = this.#front; i < this.size; i++, j++) {
            arr[i] = this.#nums[j % this.capacity];
        }
        return arr;
    }
}

array_queue.ts

/* 基于环形数组实现的队列 */
class ArrayQueue {
    private nums: number[];  // 用于存储队列元素的数组
    private front: number;   // 队首指针，指向队首元素
    private queSize: number; // 队列长度

    constructor(capacity: number) {
        this.nums = new Array(capacity);
        this.front = this.queSize = 0;
    }

    /* 获取队列的容量 */
    get capacity(): number {
        return this.nums.length;
    }

    /* 获取队列的长度 */
    get size(): number {
        return this.queSize;
    }

    /* 判断队列是否为空 */
    empty(): boolean {
        return this.queSize == 0;
    }

    /* 入队 */
    push(num: number): void {
        if (this.size == this.capacity) {
            console.log("队列已满");
            return;
        }
        // 计算尾指针，指向队尾索引 + 1
        // 通过取余操作，实现 rear 越过数组尾部后回到头部
        const rear = (this.front + this.queSize) % this.capacity;
        // 将 num 添加至队尾
        this.nums[rear] = num;
        this.queSize++;
    }

    /* 出队 */
    pop(): number {
        const num = this.peek();
        // 队首指针向后移动一位，若越过尾部则返回到数组头部
        this.front = (this.front + 1) % this.capacity;
        this.queSize--;
        return num;
    }

    /* 访问队首元素 */
    peek(): number {
        if (this.empty())
            throw new Error("队列为空");
        return this.nums[this.front];
    }

    /* 返回 Array */
    toArray(): number[] {
        // 仅转换有效长度范围内的列表元素
        const arr = new Array(this.size);
        for (let i = 0, j = this.front; i < this.size; i++, j++) {
            arr[i] = this.nums[j % this.capacity];
        }
        return arr;
    }
}

array_queue.c

[class]{arrayQueue}-[func]{}

array_queue.cs

/* 基于环形数组实现的队列 */
class ArrayQueue
{
    private int[] nums;  // 用于存储队列元素的数组
    private int front;   // 队首指针，指向队首元素
    private int queSize; // 队列长度

    public ArrayQueue(int capacity)
    {
        nums = new int[capacity];
        front = queSize = 0;
    }

    /* 获取队列的容量 */
    public int capacity()
    {
        return nums.Length;
    }

    /* 获取队列的长度 */
    public int size()
    {
        return queSize;
    }

    /* 判断队列是否为空 */
    public bool isEmpty()
    {
        return queSize == 0;
    }

    /* 入队 */
    public void push(int num)
    {
        if (queSize == capacity())
        {
            Console.WriteLine("队列已满");
            return;
        }
        // 计算尾指针，指向队尾索引 + 1
        // 通过取余操作，实现 rear 越过数组尾部后回到头部
        int rear = (front + queSize) % capacity();
        // 将 num 添加至队尾
        nums[rear] = num;
        queSize++;
    }

    /* 出队 */
    public int pop()
    {
        int num = peek();
        // 队首指针向后移动一位，若越过尾部则返回到数组头部
        front = (front + 1) % capacity();
        queSize--;
        return num;
    }

    /* 访问队首元素 */
    public int peek()
    {
        if (isEmpty())
            throw new Exception();
        return nums[front];
    }

    /* 返回数组 */
    public int[] toArray()
    {
        // 仅转换有效长度范围内的列表元素
        int[] res = new int[queSize];
        for (int i = 0, j = front; i < queSize; i++, j++)
        {
            res[i] = nums[j % this.capacity()];
        }
        return res;
    }
}

array_queue.swift

/* 基于环形数组实现的队列 */
class ArrayQueue {
    private var nums: [Int] // 用于存储队列元素的数组
    private var front = 0 // 队首指针，指向队首元素
    private var queSize = 0 // 队列长度

    init(capacity: Int) {
        // 初始化数组
        nums = Array(repeating: 0, count: capacity)
    }

    /* 获取队列的容量 */
    func capacity() -> Int {
        nums.count
    }

    /* 获取队列的长度 */
    func size() -> Int {
        queSize
    }

    /* 判断队列是否为空 */
    func isEmpty() -> Bool {
        queSize == 0
    }

    /* 入队 */
    func push(num: Int) {
        if size() == capacity() {
            print("队列已满")
            return
        }
        // 计算尾指针，指向队尾索引 + 1
        // 通过取余操作，实现 rear 越过数组尾部后回到头部
        let rear = (front + queSize) % capacity()
        // 将 num 添加至队尾
        nums[rear] = num
        queSize += 1
    }

    /* 出队 */
    @discardableResult
    func pop() -> Int {
        let num = peek()
        // 队首指针向后移动一位，若越过尾部则返回到数组头部
        front = (front + 1) % capacity()
        queSize -= 1
        return num
    }

    /* 访问队首元素 */
    func peek() -> Int {
        if isEmpty() {
            fatalError("队列为空")
        }
        return nums[front]
    }

    /* 返回数组 */
    func toArray() -> [Int] {
        // 仅转换有效长度范围内的列表元素
        var res = Array(repeating: 0, count: queSize)
        for (i, j) in sequence(first: (0, front), next: { $0 < self.queSize - 1 ? ($0 + 1, $1 + 1) : nil }) {
            res[i] = nums[j % capacity()]
        }
        return res
    }
}

array_queue.zig

// 基于环形数组实现的队列
fn ArrayQueue(comptime T: type) type {
    return struct {
        const Self = @This();

        nums: []T = undefined,                          // 用于存储队列元素的数组     
        cap: usize = 0,                                 // 队列容量
        front: usize = 0,                               // 队首指针，指向队首元素
        que_size: usize = 0,                             // 尾指针，指向队尾 + 1
        mem_arena: ?std.heap.ArenaAllocator = null,
        mem_allocator: std.mem.Allocator = undefined,   // 内存分配器

        // 构造方法（分配内存+初始化数组）
        pub fn init(self: *Self, allocator: std.mem.Allocator, cap: usize) !void {
            if (self.mem_arena == null) {
                self.mem_arena = std.heap.ArenaAllocator.init(allocator);
                self.mem_allocator = self.mem_arena.?.allocator();
            }
            self.cap = cap;
            self.nums = try self.mem_allocator.alloc(T, self.cap);
            std.mem.set(T, self.nums, @as(T, 0));
        }

        // 析构方法（释放内存）
        pub fn deinit(self: *Self) void {
            if (self.mem_arena == null) return;
            self.mem_arena.?.deinit();
        }

        // 获取队列的容量
        pub fn capacity(self: *Self) usize {
            return self.cap;
        }

        // 获取队列的长度
        pub fn size(self: *Self) usize {
            return self.que_size;
        }

        // 判断队列是否为空
        pub fn isEmpty(self: *Self) bool {
            return self.que_size == 0;
        }

        // 入队
        pub fn push(self: *Self, num: T) !void {
            if (self.size() == self.capacity()) {
                std.debug.print("队列已满\n", .{});
                return;
            }
            // 计算尾指针，指向队尾索引 + 1
            // 通过取余操作，实现 rear 越过数组尾部后回到头部
            var rear = (self.front + self.que_size) % self.capacity();
            // 将 num 添加至队尾
            self.nums[rear] = num;
            self.que_size += 1;
        } 

        // 出队
        pub fn pop(self: *Self) T {
            var num = self.peek();
            // 队首指针向后移动一位，若越过尾部则返回到数组头部
            self.front = (self.front + 1) % self.capacity();
            self.que_size -= 1;
            return num;
        } 

        // 访问队首元素
        pub fn peek(self: *Self) T {
            if (self.isEmpty()) @panic("队列为空");
            return self.nums[self.front];
        } 

        // 返回数组
        pub fn toArray(self: *Self) ![]T {
            // 仅转换有效长度范围内的列表元素
            var res = try self.mem_allocator.alloc(T, self.size());
            std.mem.set(T, res, @as(T, 0));
            var i: usize = 0;
            var j: usize = self.front;
            while (i < self.size()) : ({ i += 1; j += 1; }) {
                res[i] = self.nums[j % self.capacity()];
            }
            return res;
        }
    };
}

以上实现的队列仍存在局限性，即长度不可变。不过这个问题很容易解决，我们可以将数组替换为列表（即动态数组），从而引入扩容机制。有兴趣的同学可以尝试自行实现。

5.2.3.   两种实现对比

与栈的结论一致，在此不再赘述。

5.2.4.   队列典型应用

• 淘宝订单。购物者下单后，订单就被加入到队列之中，随后系统再根据顺序依次处理队列中的订单。在双十一时，在短时间内会产生海量的订单，如何处理「高并发」则是工程师们需要重点思考的问题。
• 各种待办事项。任何需要实现“先来后到”的功能，例如打印机的任务队列、餐厅的出餐队列等等。

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