--- comments: true --- # 7.2 二元樹走訪從物理結構的角度來看，樹是一種基於鏈結串列的資料結構，因此其走訪方式是透過指標逐個訪問節點。然而，樹是一種非線性資料結構，這使得走訪樹比走訪鏈結串列更加複雜，需要藉助搜尋演算法來實現。二元樹常見的走訪方式包括層序走訪、前序走訪、中序走訪和後序走訪等。 ## 7.2.1 層序走訪如圖 7-9 所示，層序走訪（level-order traversal）從頂部到底部逐層走訪二元樹，並在每一層按照從左到右的順序訪問節點。層序走訪本質上屬於廣度優先走訪（breadth-first traversal），也稱廣度優先搜尋（breadth-first search, BFS），它體現了一種“一圈一圈向外擴展”的逐層走訪方式。 ![二元樹的層序走訪](binary_tree_traversal.assets/binary_tree_bfs.png){ class="animation-figure" }

圖 7-9 二元樹的層序走訪

### 1. 程式碼實現廣度優先走訪通常藉助“佇列”來實現。佇列遵循“先進先出”的規則，而廣度優先走訪則遵循“逐層推進”的規則，兩者背後的思想是一致的。實現程式碼如下： === "Python" ```python title="binary_tree_bfs.py" def level_order(root: TreeNode | None) -> list[int]: """層序走訪""" # 初始化佇列，加入根節點 queue: deque[TreeNode] = deque() queue.append(root) # 初始化一個串列，用於儲存走訪序列 res = [] while queue: node: TreeNode = queue.popleft() # 隊列出隊 res.append(node.val) # 儲存節點值 if node.left is not None: queue.append(node.left) # 左子節點入列 if node.right is not None: queue.append(node.right) # 右子節點入列 return res ``` === "C++" ```cpp title="binary_tree_bfs.cpp" /* 層序走訪 */ vector levelOrder(TreeNode *root) { // 初始化佇列，加入根節點 queue queue; queue.push(root); // 初始化一個串列，用於儲存走訪序列 vector vec; while (!queue.empty()) { TreeNode *node = queue.front(); queue.pop(); // 隊列出隊 vec.push_back(node->val); // 儲存節點值 if (node->left != nullptr) queue.push(node->left); // 左子節點入列 if (node->right != nullptr) queue.push(node->right); // 右子節點入列 } return vec; } ``` === "Java" ```java title="binary_tree_bfs.java" /* 層序走訪 */ List levelOrder(TreeNode root) { // 初始化佇列，加入根節點 Queue queue = new LinkedList<>(); queue.add(root); // 初始化一個串列，用於儲存走訪序列 List list = new ArrayList<>(); while (!queue.isEmpty()) { TreeNode node = queue.poll(); // 隊列出隊 list.add(node.val); // 儲存節點值 if (node.left != null) queue.offer(node.left); // 左子節點入列 if (node.right != null) queue.offer(node.right); // 右子節點入列 } return list; } ``` === "C#" ```csharp title="binary_tree_bfs.cs" /* 層序走訪 */ List LevelOrder(TreeNode root) { // 初始化佇列，加入根節點 Queue queue = new(); queue.Enqueue(root); // 初始化一個串列，用於儲存走訪序列 List list = []; while (queue.Count != 0) { TreeNode node = queue.Dequeue(); // 隊列出隊 list.Add(node.val!.Value); // 儲存節點值 if (node.left != null) queue.Enqueue(node.left); // 左子節點入列 if (node.right != null) queue.Enqueue(node.right); // 右子節點入列 } return list; } ``` === "Go" ```go title="binary_tree_bfs.go" /* 層序走訪 */ func levelOrder(root *TreeNode) []any { // 初始化佇列，加入根節點 queue := list.New() queue.PushBack(root) // 初始化一個切片，用於儲存走訪序列 nums := make([]any, 0) for queue.Len() > 0 { // 隊列出隊 node := queue.Remove(queue.Front()).(*TreeNode) // 儲存節點值 nums = append(nums, node.Val) if node.Left != nil { // 左子節點入列 queue.PushBack(node.Left) } if node.Right != nil { // 右子節點入列 queue.PushBack(node.Right) } } return nums } ``` === "Swift" ```swift title="binary_tree_bfs.swift" /* 層序走訪 */ func levelOrder(root: TreeNode) -> [Int] { // 初始化佇列，加入根節點 var queue: [TreeNode] = [root] // 初始化一個串列，用於儲存走訪序列 var list: [Int] = [] while !queue.isEmpty { let node = queue.removeFirst() // 隊列出隊 list.append(node.val) // 儲存節點值 if let left = node.left { queue.append(left) // 左子節點入列 } if let right = node.right { queue.append(right) // 右子節點入列 } } return list } ``` === "JS" ```javascript title="binary_tree_bfs.js" /* 層序走訪 */ function levelOrder(root) { // 初始化佇列，加入根節點 const queue = [root]; // 初始化一個串列，用於儲存走訪序列 const list = []; while (queue.length) { let node = queue.shift(); // 隊列出隊 list.push(node.val); // 儲存節點值 if (node.left) queue.push(node.left); // 左子節點入列 if (node.right) queue.push(node.right); // 右子節點入列 } return list; } ``` === "TS" ```typescript title="binary_tree_bfs.ts" /* 層序走訪 */ function levelOrder(root: TreeNode | null): number[] { // 初始化佇列，加入根節點 const queue = [root]; // 初始化一個串列，用於儲存走訪序列 const list: number[] = []; while (queue.length) { let node = queue.shift() as TreeNode; // 隊列出隊 list.push(node.val); // 儲存節點值 if (node.left) { queue.push(node.left); // 左子節點入列 } if (node.right) { queue.push(node.right); // 右子節點入列 } } return list; } ``` === "Dart" ```dart title="binary_tree_bfs.dart" /* 層序走訪 */ List levelOrder(TreeNode? root) { // 初始化佇列，加入根節點 Queue queue = Queue(); queue.add(root); // 初始化一個串列，用於儲存走訪序列 List res = []; while (queue.isNotEmpty) { TreeNode? node = queue.removeFirst(); // 隊列出隊 res.add(node!.val); // 儲存節點值 if (node.left != null) queue.add(node.left); // 左子節點入列 if (node.right != null) queue.add(node.right); // 右子節點入列 } return res; } ``` === "Rust" ```rust title="binary_tree_bfs.rs" /* 層序走訪 */ fn level_order(root: &Rc>) -> Vec { // 初始化佇列，加入根節點 let mut que = VecDeque::new(); que.push_back(root.clone()); // 初始化一個串列，用於儲存走訪序列 let mut vec = Vec::new(); while let Some(node) = que.pop_front() { // 隊列出隊 vec.push(node.borrow().val); // 儲存節點值 if let Some(left) = node.borrow().left.as_ref() { que.push_back(left.clone()); // 左子節點入列 } if let Some(right) = node.borrow().right.as_ref() { que.push_back(right.clone()); // 右子節點入列 }; } vec } ``` === "C" ```c title="binary_tree_bfs.c" /* 層序走訪 */ int *levelOrder(TreeNode *root, int *size) { /* 輔助佇列 */ int front, rear; int index, *arr; TreeNode *node; TreeNode **queue; /* 輔助佇列 */ queue = (TreeNode **)malloc(sizeof(TreeNode *) * MAX_SIZE); // 佇列指標 front = 0, rear = 0; // 加入根節點 queue[rear++] = root; // 初始化一個串列，用於儲存走訪序列 /* 輔助陣列 */ arr = (int *)malloc(sizeof(int) * MAX_SIZE); // 陣列指標 index = 0; while (front < rear) { // 隊列出隊 node = queue[front++]; // 儲存節點值 arr[index++] = node->val; if (node->left != NULL) { // 左子節點入列 queue[rear++] = node->left; } if (node->right != NULL) { // 右子節點入列 queue[rear++] = node->right; } } // 更新陣列長度的值 *size = index; arr = realloc(arr, sizeof(int) * (*size)); // 釋放輔助陣列空間 free(queue); return arr; } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="binary_tree_bfs.kt" /* 層序走訪 */ fun levelOrder(root: TreeNode?): MutableList { // 初始化佇列，加入根節點 val queue = LinkedList() queue.add(root) // 初始化一個串列，用於儲存走訪序列 val list = mutableListOf() while (queue.isNotEmpty()) { val node = queue.poll() // 隊列出隊 list.add(node?._val!!) // 儲存節點值 if (node.left != null) queue.offer(node.left) // 左子節點入列 if (node.right != null) queue.offer(node.right) // 右子節點入列 } return list } ``` === "Ruby" ```ruby title="binary_tree_bfs.rb" ### 層序走訪 ### def level_order(root) # 初始化佇列，加入根節點 queue = [root] # 初始化一個串列，用於儲存走訪序列 res = [] while !queue.empty? node = queue.shift # 隊列出隊 res << node.val # 儲存節點值 queue << node.left unless node.left.nil? # 左子節點入列 queue << node.right unless node.right.nil? # 右子節點入列 end res end ``` === "Zig" ```zig title="binary_tree_bfs.zig" // 層序走訪 fn levelOrder(comptime T: type, mem_allocator: std.mem.Allocator, root: *inc.TreeNode(T)) !std.ArrayList(T) { // 初始化佇列，加入根節點 const L = std.TailQueue(*inc.TreeNode(T)); var queue = L{}; var root_node = try mem_allocator.create(L.Node); root_node.data = root; queue.append(root_node); // 初始化一個串列，用於儲存走訪序列 var list = std.ArrayList(T).init(std.heap.page_allocator); while (queue.len > 0) { var queue_node = queue.popFirst().?; // 隊列出隊 var node = queue_node.data; try list.append(node.val); // 儲存節點值 if (node.left != null) { var tmp_node = try mem_allocator.create(L.Node); tmp_node.data = node.left.?; queue.append(tmp_node); // 左子節點入列 } if (node.right != null) { var tmp_node = try mem_allocator.create(L.Node); tmp_node.data = node.right.?; queue.append(tmp_node); // 右子節點入列 } } return list; } ``` ??? 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### 2. 複雜度分析 - **時間複雜度為 $O(n)$** ：所有節點被訪問一次，使用 $O(n)$ 時間，其中 $n$ 為節點數量。 - **空間複雜度為 $O(n)$** ：在最差情況下，即滿二元樹時，走訪到最底層之前，佇列中最多同時存在 $(n + 1) / 2$ 個節點，佔用 $O(n)$ 空間。 ## 7.2.2 前序、中序、後序走訪相應地，前序、中序和後序走訪都屬於深度優先走訪（depth-first traversal），也稱深度優先搜尋（depth-first search, DFS），它體現了一種“先走到盡頭，再回溯繼續”的走訪方式。圖 7-10 展示了對二元樹進行深度優先走訪的工作原理。**深度優先走訪就像是繞著整棵二元樹的外圍“走”一圈**，在每個節點都會遇到三個位置，分別對應前序走訪、中序走訪和後序走訪。 ![二元搜尋樹的前序、中序、後序走訪](binary_tree_traversal.assets/binary_tree_dfs.png){ class="animation-figure" }

圖 7-10 二元搜尋樹的前序、中序、後序走訪

### 1. 程式碼實現深度優先搜尋通常基於遞迴實現： === "Python" ```python title="binary_tree_dfs.py" def pre_order(root: TreeNode | None): """前序走訪""" if root is None: return # 訪問優先順序：根節點 -> 左子樹 -> 右子樹 res.append(root.val) pre_order(root=root.left) pre_order(root=root.right) def in_order(root: TreeNode | None): """中序走訪""" if root is None: return # 訪問優先順序：左子樹 -> 根節點 -> 右子樹 in_order(root=root.left) res.append(root.val) in_order(root=root.right) def post_order(root: TreeNode | None): """後序走訪""" if root is None: return # 訪問優先順序：左子樹 -> 右子樹 -> 根節點 post_order(root=root.left) post_order(root=root.right) res.append(root.val) ``` === "C++" ```cpp title="binary_tree_dfs.cpp" /* 前序走訪 */ void preOrder(TreeNode *root) { if (root == nullptr) return; // 訪問優先順序：根節點 -> 左子樹 -> 右子樹 vec.push_back(root->val); preOrder(root->left); preOrder(root->right); } /* 中序走訪 */ void inOrder(TreeNode *root) { if (root == nullptr) return; // 訪問優先順序：左子樹 -> 根節點 -> 右子樹 inOrder(root->left); vec.push_back(root->val); inOrder(root->right); } /* 後序走訪 */ void postOrder(TreeNode *root) { if (root == nullptr) return; // 訪問優先順序：左子樹 -> 右子樹 -> 根節點 postOrder(root->left); postOrder(root->right); vec.push_back(root->val); } ``` === "Java" ```java title="binary_tree_dfs.java" /* 前序走訪 */ void preOrder(TreeNode root) { if (root == null) return; // 訪問優先順序：根節點 -> 左子樹 -> 右子樹 list.add(root.val); preOrder(root.left); preOrder(root.right); } /* 中序走訪 */ void inOrder(TreeNode root) { if (root == null) return; // 訪問優先順序：左子樹 -> 根節點 -> 右子樹 inOrder(root.left); list.add(root.val); inOrder(root.right); } /* 後序走訪 */ void postOrder(TreeNode root) { if (root == null) return; // 訪問優先順序：左子樹 -> 右子樹 -> 根節點 postOrder(root.left); postOrder(root.right); list.add(root.val); } ``` === "C#" ```csharp title="binary_tree_dfs.cs" /* 前序走訪 */ void PreOrder(TreeNode? root) { if (root == null) return; // 訪問優先順序：根節點 -> 左子樹 -> 右子樹 list.Add(root.val!.Value); PreOrder(root.left); PreOrder(root.right); } /* 中序走訪 */ void InOrder(TreeNode? root) { if (root == null) return; // 訪問優先順序：左子樹 -> 根節點 -> 右子樹 InOrder(root.left); list.Add(root.val!.Value); InOrder(root.right); } /* 後序走訪 */ void PostOrder(TreeNode? root) { if (root == null) return; // 訪問優先順序：左子樹 -> 右子樹 -> 根節點 PostOrder(root.left); PostOrder(root.right); list.Add(root.val!.Value); } ``` === "Go" ```go title="binary_tree_dfs.go" /* 前序走訪 */ func preOrder(node *TreeNode) { if node == nil { return } // 訪問優先順序：根節點 -> 左子樹 -> 右子樹 nums = append(nums, node.Val) preOrder(node.Left) preOrder(node.Right) } /* 中序走訪 */ func inOrder(node *TreeNode) { if node == nil { return } // 訪問優先順序：左子樹 -> 根節點 -> 右子樹 inOrder(node.Left) nums = append(nums, node.Val) inOrder(node.Right) } /* 後序走訪 */ func postOrder(node *TreeNode) { if node == nil { return } // 訪問優先順序：左子樹 -> 右子樹 -> 根節點 postOrder(node.Left) postOrder(node.Right) nums = append(nums, node.Val) } ``` === "Swift" ```swift title="binary_tree_dfs.swift" /* 前序走訪 */ func preOrder(root: TreeNode?) { guard let root = root else { return } // 訪問優先順序：根節點 -> 左子樹 -> 右子樹 list.append(root.val) preOrder(root: root.left) preOrder(root: root.right) } /* 中序走訪 */ func inOrder(root: TreeNode?) { guard let root = root else { return } // 訪問優先順序：左子樹 -> 根節點 -> 右子樹 inOrder(root: root.left) list.append(root.val) inOrder(root: root.right) } /* 後序走訪 */ func postOrder(root: TreeNode?) { guard let root = root else { return } // 訪問優先順序：左子樹 -> 右子樹 -> 根節點 postOrder(root: root.left) postOrder(root: root.right) list.append(root.val) } ``` === "JS" ```javascript title="binary_tree_dfs.js" /* 前序走訪 */ function preOrder(root) { if (root === null) return; // 訪問優先順序：根節點 -> 左子樹 -> 右子樹 list.push(root.val); preOrder(root.left); preOrder(root.right); } /* 中序走訪 */ function inOrder(root) { if (root === null) return; // 訪問優先順序：左子樹 -> 根節點 -> 右子樹 inOrder(root.left); list.push(root.val); inOrder(root.right); } /* 後序走訪 */ function postOrder(root) { if (root === null) return; // 訪問優先順序：左子樹 -> 右子樹 -> 根節點 postOrder(root.left); postOrder(root.right); list.push(root.val); } ``` === "TS" ```typescript title="binary_tree_dfs.ts" /* 前序走訪 */ function preOrder(root: TreeNode | null): void { if (root === null) { return; } // 訪問優先順序：根節點 -> 左子樹 -> 右子樹 list.push(root.val); preOrder(root.left); preOrder(root.right); } /* 中序走訪 */ function inOrder(root: TreeNode | null): void { if (root === null) { return; } // 訪問優先順序：左子樹 -> 根節點 -> 右子樹 inOrder(root.left); list.push(root.val); inOrder(root.right); } /* 後序走訪 */ function postOrder(root: TreeNode | null): void { if (root === null) { return; } // 訪問優先順序：左子樹 -> 右子樹 -> 根節點 postOrder(root.left); postOrder(root.right); list.push(root.val); } ``` === "Dart" ```dart title="binary_tree_dfs.dart" /* 前序走訪 */ void preOrder(TreeNode? node) { if (node == null) return; // 訪問優先順序：根節點 -> 左子樹 -> 右子樹 list.add(node.val); preOrder(node.left); preOrder(node.right); } /* 中序走訪 */ void inOrder(TreeNode? node) { if (node == null) return; // 訪問優先順序：左子樹 -> 根節點 -> 右子樹 inOrder(node.left); list.add(node.val); inOrder(node.right); } /* 後序走訪 */ void postOrder(TreeNode? node) { if (node == null) return; // 訪問優先順序：左子樹 -> 右子樹 -> 根節點 postOrder(node.left); postOrder(node.right); list.add(node.val); } ``` === "Rust" ```rust title="binary_tree_dfs.rs" /* 前序走訪 */ fn pre_order(root: Option<&Rc>>) -> Vec { let mut result = vec![]; if let Some(node) = root { // 訪問優先順序：根節點 -> 左子樹 -> 右子樹 result.push(node.borrow().val); result.extend(pre_order(node.borrow().left.as_ref())); result.extend(pre_order(node.borrow().right.as_ref())); } result } /* 中序走訪 */ fn in_order(root: Option<&Rc>>) -> Vec { let mut result = vec![]; if let Some(node) = root { // 訪問優先順序：左子樹 -> 根節點 -> 右子樹 result.extend(in_order(node.borrow().left.as_ref())); result.push(node.borrow().val); result.extend(in_order(node.borrow().right.as_ref())); } result } /* 後序走訪 */ fn post_order(root: Option<&Rc>>) -> Vec { let mut result = vec![]; if let Some(node) = root { // 訪問優先順序：左子樹 -> 右子樹 -> 根節點 result.extend(post_order(node.borrow().left.as_ref())); result.extend(post_order(node.borrow().right.as_ref())); result.push(node.borrow().val); } result } ``` === "C" ```c title="binary_tree_dfs.c" /* 前序走訪 */ void preOrder(TreeNode *root, int *size) { if (root == NULL) return; // 訪問優先順序：根節點 -> 左子樹 -> 右子樹 arr[(*size)++] = root->val; preOrder(root->left, size); preOrder(root->right, size); } /* 中序走訪 */ void inOrder(TreeNode *root, int *size) { if (root == NULL) return; // 訪問優先順序：左子樹 -> 根節點 -> 右子樹 inOrder(root->left, size); arr[(*size)++] = root->val; inOrder(root->right, size); } /* 後序走訪 */ void postOrder(TreeNode *root, int *size) { if (root == NULL) return; // 訪問優先順序：左子樹 -> 右子樹 -> 根節點 postOrder(root->left, size); postOrder(root->right, size); arr[(*size)++] = root->val; } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="binary_tree_dfs.kt" /* 前序走訪 */ fun preOrder(root: TreeNode?) { if (root == null) return // 訪問優先順序：根節點 -> 左子樹 -> 右子樹 list.add(root._val) preOrder(root.left) preOrder(root.right) } /* 中序走訪 */ fun inOrder(root: TreeNode?) { if (root == null) return // 訪問優先順序：左子樹 -> 根節點 -> 右子樹 inOrder(root.left) list.add(root._val) inOrder(root.right) } /* 後序走訪 */ fun postOrder(root: TreeNode?) { if (root == null) return // 訪問優先順序：左子樹 -> 右子樹 -> 根節點 postOrder(root.left) postOrder(root.right) list.add(root._val) } ``` === "Ruby" ```ruby title="binary_tree_dfs.rb" ### 前序走訪 ### def pre_order(root) return if root.nil? # 訪問優先順序：根節點 -> 左子樹 -> 右子樹 $res << root.val pre_order(root.left) pre_order(root.right) end ### 中序走訪 ### def in_order(root) return if root.nil? # 訪問優先順序：左子樹 -> 根節點 -> 右子樹 in_order(root.left) $res << root.val in_order(root.right) end ### 後序走訪 ### def post_order(root) return if root.nil? # 訪問優先順序：左子樹 -> 右子樹 -> 根節點 post_order(root.left) post_order(root.right) $res << root.val end ``` === "Zig" ```zig title="binary_tree_dfs.zig" // 前序走訪 fn preOrder(comptime T: type, root: ?*inc.TreeNode(T)) !void { if (root == null) return; // 訪問優先順序：根節點 -> 左子樹 -> 右子樹 try list.append(root.?.val); try preOrder(T, root.?.left); try preOrder(T, root.?.right); } // 中序走訪 fn inOrder(comptime T: type, root: ?*inc.TreeNode(T)) !void { if (root == null) return; // 訪問優先順序：左子樹 -> 根節點 -> 右子樹 try inOrder(T, root.?.left); try list.append(root.?.val); try inOrder(T, root.?.right); } // 後序走訪 fn postOrder(comptime T: type, root: ?*inc.TreeNode(T)) !void { if (root == null) return; // 訪問優先順序：左子樹 -> 右子樹 -> 根節點 try postOrder(T, root.?.left); try postOrder(T, root.?.right); try list.append(root.?.val); } ``` ??? 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!!! tip 深度優先搜尋也可以基於迭代實現，有興趣的讀者可以自行研究。圖 7-11 展示了前序走訪二元樹的遞迴過程，其可分為“遞”和“迴”兩個逆向的部分。 1. “遞”表示開啟新方法，程式在此過程中訪問下一個節點。 2. “迴”表示函式返回，代表當前節點已經訪問完畢。 === "<1>" ![前序走訪的遞迴過程](binary_tree_traversal.assets/preorder_step1.png){ class="animation-figure" } === "<2>" ![preorder_step2](binary_tree_traversal.assets/preorder_step2.png){ class="animation-figure" } === "<3>" ![preorder_step3](binary_tree_traversal.assets/preorder_step3.png){ class="animation-figure" } === "<4>" ![preorder_step4](binary_tree_traversal.assets/preorder_step4.png){ class="animation-figure" } === "<5>" ![preorder_step5](binary_tree_traversal.assets/preorder_step5.png){ class="animation-figure" } === "<6>" ![preorder_step6](binary_tree_traversal.assets/preorder_step6.png){ class="animation-figure" } === "<7>" ![preorder_step7](binary_tree_traversal.assets/preorder_step7.png){ class="animation-figure" } === "<8>" ![preorder_step8](binary_tree_traversal.assets/preorder_step8.png){ class="animation-figure" } === "<9>" ![preorder_step9](binary_tree_traversal.assets/preorder_step9.png){ class="animation-figure" } === "<10>" ![preorder_step10](binary_tree_traversal.assets/preorder_step10.png){ class="animation-figure" } === "<11>" ![preorder_step11](binary_tree_traversal.assets/preorder_step11.png){ class="animation-figure" }

圖 7-11 前序走訪的遞迴過程

### 2. 複雜度分析 - **時間複雜度為 $O(n)$** ：所有節點被訪問一次，使用 $O(n)$ 時間。 - **空間複雜度為 $O(n)$** ：在最差情況下，即樹退化為鏈結串列時，遞迴深度達到 $n$ ，系統佔用 $O(n)$ 堆疊幀空間。