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# 13.1.   初探动态规划

动态规划（Dynamic Programming）是一种用于解决复杂问题的优化算法，它把一个问题分解为一系列更小的子问题，并把子问题的解存储起来以供后续使用，从而避免了重复计算，提升了解题效率。

在本节中，我们先从一个动态规划经典例题入手，学习动态规划是如何高效地求解问题的，包括：

1. 如何暴力求解动态规划问题，什么是重叠子问题。
2. 如何向暴力搜索引入记忆化处理，从而优化时间复杂度。
3. 从递归解法引出动态规划解法，以及如何优化空间复杂度。

!!! question "爬楼梯"

    给定一个共有 $n$ 阶的楼梯，你每步可以上 $1$ 阶或者 $2$ 阶，请问有多少种方案可以爬到楼顶。

如下图所示，对于一个 $3$ 阶楼梯，共有 $3$ 种方案可以爬到楼顶。

![爬到第 3 阶的方案数量](intro_to_dynamic_programming.assets/climbing_stairs_example.png)

<p align="center"> Fig. 爬到第 3 阶的方案数量 </p>

**不考虑效率的前提下，动态规划问题理论上都可以使用回溯算法解决**，因为回溯算法本质上就是穷举，它能够遍历决策树的所有可能的状态，并从中记录需要的解。

对于本题，我们可以将爬楼梯想象为一个多轮选择的过程：从地面出发，每轮选择上 $1$ 阶或 $2$ 阶，每当到达楼梯顶部时就将方案数量加 $1$ 。

=== "Java"

    ```java title="climbing_stairs_backtrack.java"
    /* 回溯 */
    void backtrack(List<Integer> choices, int state, int n, List<Integer> res) {
        // 当爬到第 n 阶时，方案数量加 1
        if (state == n)
            res.set(0, res.get(0) + 1);
        // 遍历所有选择
        for (Integer choice : choices) {
            // 剪枝：不允许越过第 n 阶
            if (state + choice > n)
                break;
            // 尝试：做出选择，更新状态
            backtrack(choices, state + choice, n, res);
            // 回退
        }
    }

    /* 爬楼梯：回溯 */
    int climbingStairsBacktrack(int n) {
        List<Integer> choices = Arrays.asList(1, 2); // 可选择向上爬 1 或 2 阶
        int state = 0; // 从第 0 阶开始爬
        List<Integer> res = new ArrayList<>();
        res.add(0); // 使用 res[0] 记录方案数量
        backtrack(choices, state, n, res);
        return res.get(0);
    }
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="climbing_stairs_backtrack.cpp"
    /* 回溯 */
    void backtrack(vector<int> &choices, int state, int n, vector<int> &res) {
        // 当爬到第 n 阶时，方案数量加 1
        if (state == n)
            res[0]++;
        // 遍历所有选择
        for (auto &choice : choices) {
            // 剪枝：不允许越过第 n 阶
            if (state + choice > n)
                break;
            // 尝试：做出选择，更新状态
            backtrack(choices, state + choice, n, res);
            // 回退
        }
    }

    /* 爬楼梯：回溯 */
    int climbingStairsBacktrack(int n) {
        vector<int> choices = {1, 2}; // 可选择向上爬 1 或 2 阶
        int state = 0;                // 从第 0 阶开始爬
        vector<int> res = {0};        // 使用 res[0] 记录方案数量
        backtrack(choices, state, n, res);
        return res[0];
    }
    ```

=== "Python"

    ```python title="climbing_stairs_backtrack.py"
    def backtrack(choices: list[int], state: int, n: int, res: list[int]) -> int:
        """回溯"""
        # 当爬到第 n 阶时，方案数量加 1
        if state == n:
            res[0] += 1
        # 遍历所有选择
        for choice in choices:
            # 剪枝：不允许越过第 n 阶
            if state + choice > n:
                break
            # 尝试：做出选择，更新状态
            backtrack(choices, state + choice, n, res)
            # 回退

    def climbing_stairs_backtrack(n: int) -> int:
        """爬楼梯：回溯"""
        choices = [1, 2]  # 可选择向上爬 1 或 2 阶
        state = 0  # 从第 0 阶开始爬
        res = [0]  # 使用 res[0] 记录方案数量
        backtrack(choices, state, n, res)
        return res[0]
    ```

=== "Go"

    ```go title="climbing_stairs_backtrack.go"
    [class]{}-[func]{backtrack}

    [class]{}-[func]{climbingStairsBacktrack}
    ```

=== "JavaScript"

    ```javascript title="climbing_stairs_backtrack.js"
    [class]{}-[func]{backtrack}

    [class]{}-[func]{climbingStairsBacktrack}
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title="climbing_stairs_backtrack.ts"
    [class]{}-[func]{backtrack}

    [class]{}-[func]{climbingStairsBacktrack}
    ```

=== "C"

    ```c title="climbing_stairs_backtrack.c"
    [class]{}-[func]{backtrack}

    [class]{}-[func]{climbingStairsBacktrack}
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="climbing_stairs_backtrack.cs"
    [class]{climbing_stairs_backtrack}-[func]{backtrack}

    [class]{climbing_stairs_backtrack}-[func]{climbingStairsBacktrack}
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="climbing_stairs_backtrack.swift"
    [class]{}-[func]{backtrack}

    [class]{}-[func]{climbingStairsBacktrack}
    ```

=== "Zig"

    ```zig title="climbing_stairs_backtrack.zig"
    [class]{}-[func]{backtrack}

    [class]{}-[func]{climbingStairsBacktrack}
    ```

=== "Dart"

    ```dart title="climbing_stairs_backtrack.dart"
    [class]{}-[func]{backtrack}

    [class]{}-[func]{climbingStairsBacktrack}
    ```

## 13.1.1. &nbsp; 方法一：暴力搜索

然而，爬楼梯并不是典型的回溯问题，更适合从分治的角度进行解析。在分治算法中，原问题被分解为较小的子问题，通过组合子问题的解得到原问题的解。例如，归并排序将一个长数组从顶至底地划分为两个短数组，再从底至顶地将已排序的短数组进行排序。

对于本题，设爬到第 $i$ 阶共有 $dp[i]$ 种方案，那么 $dp[i]$ 就是原问题，其子问题包括:

$$
dp[i-1] , dp[i-2] , \cdots , dp[2] , dp[1]
$$

由于每轮只能上 $1$ 阶或 $2$ 阶，因此当我们站在第 $i$ 阶楼梯上时，上一轮只可能站在第 $i - 1$ 阶或第 $i - 2$ 阶上，换句话说，我们只能从第 $i -1$ 阶或第 $i - 2$ 阶前往第 $i$ 阶。因此，**爬到第 $i - 1$ 阶的方案数加上爬到第 $i - 2$ 阶的方案数就等于爬到第 $i$ 阶的方案数**，即：

$$
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
$$

![方案数量递推公式](intro_to_dynamic_programming.assets/climbing_stairs_state_transfer.png)

<p align="center"> Fig. 方案数量递推公式 </p>

基于此递推公式，我们可以写出递归代码：以 $dp[n]$ 为起始点，**从顶至底地将一个较大问题拆解为两个较小问题**，直至到达最小子问题 $dp[1]$ 和 $dp[2]$ 时返回。其中，最小子问题的解是已知的，即爬到第 $1$ , $2$ 阶分别有 $1$ , $2$ 种方案。

以下代码与回溯解法一样，都属于深度优先搜索，但它比回溯算法更加简洁，这体现了从分治角度考虑这道题的优势。

=== "Java"

    ```java title="climbing_stairs_dfs.java"
    /* 搜索 */
    int dfs(int i) {
        // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
        if (i == 1 || i == 2)
            return i;
        // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
        int count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2);
        return count;
    }

    /* 爬楼梯：搜索 */
    int climbingStairsDFS(int n) {
        return dfs(n);
    }
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="climbing_stairs_dfs.cpp"
    /* 搜索 */
    int dfs(int i) {
        // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
        if (i == 1 || i == 2)
            return i;
        // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
        int count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2);
        return count;
    }

    /* 爬楼梯：搜索 */
    int climbingStairsDFS(int n) {
        return dfs(n);
    }
    ```

=== "Python"

    ```python title="climbing_stairs_dfs.py"
    def dfs(i: int) -> int:
        """搜索"""
        # 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
        if i == 1 or i == 2:
            return i
        # dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
        count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2)
        return count

    def climbing_stairs_dfs(n: int) -> int:
        """爬楼梯：搜索"""
        return dfs(n)
    ```

=== "Go"

    ```go title="climbing_stairs_dfs.go"
    [class]{}-[func]{dfs}

    [class]{}-[func]{climbingStairsDFS}
    ```

=== "JavaScript"

    ```javascript title="climbing_stairs_dfs.js"
    [class]{}-[func]{dfs}

    [class]{}-[func]{climbingStairsDFS}
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title="climbing_stairs_dfs.ts"
    [class]{}-[func]{dfs}

    [class]{}-[func]{climbingStairsDFS}
    ```

=== "C"

    ```c title="climbing_stairs_dfs.c"
    [class]{}-[func]{dfs}

    [class]{}-[func]{climbingStairsDFS}
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="climbing_stairs_dfs.cs"
    [class]{climbing_stairs_dfs}-[func]{dfs}

    [class]{climbing_stairs_dfs}-[func]{climbingStairsDFS}
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="climbing_stairs_dfs.swift"
    [class]{}-[func]{dfs}

    [class]{}-[func]{climbingStairsDFS}
    ```

=== "Zig"

    ```zig title="climbing_stairs_dfs.zig"
    [class]{}-[func]{dfs}

    [class]{}-[func]{climbingStairsDFS}
    ```

=== "Dart"

    ```dart title="climbing_stairs_dfs.dart"
    [class]{}-[func]{dfs}

    [class]{}-[func]{climbingStairsDFS}
    ```

下图展示了该方法形成的递归树。对于问题 $dp[n]$ ，递归树的深度为 $n$ ，时间复杂度为 $O(2^n)$ 。指数阶的运行时间增长地非常快，如果我们输入一个比较大的 $n$ ，则会陷入漫长的等待之中。

![爬楼梯对应递归树](intro_to_dynamic_programming.assets/climbing_stairs_dfs_tree.png)

<p align="center"> Fig. 爬楼梯对应递归树 </p>

实际上，**指数阶的时间复杂度是由于「重叠子问题」导致的**。例如，问题 $dp[9]$ 被分解为子问题 $dp[8]$ 和 $dp[7]$ ，问题 $dp[8]$ 被分解为子问题 $dp[7]$ 和 $dp[6]$ ，两者都包含子问题 $dp[7]$ ，而子问题中又包含更小的重叠子问题，子子孙孙无穷尽也，绝大部分计算资源都浪费在这些重叠的问题上。

## 13.1.2. &nbsp; 方法二：记忆化搜索

为了提升算法效率，**我们希望所有的重叠子问题都只被计算一次**。具体来说，考虑借助一个数组 `mem` 来记录每个子问题的解，并在搜索过程中这样做：

- 当首次计算 $dp[i]$ 时，我们将其记录至 `mem[i]` ，以便之后使用；
- 当再次需要计算 $dp[i]$ 时，我们便可直接从 `mem[i]` 中获取结果，从而将重叠子问题剪枝；

=== "Java"

    ```java title="climbing_stairs_dfs_mem.java"
    /* 记忆化搜索 */
    int dfs(int i, int[] mem) {
        // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
        if (i == 1 || i == 2)
            return i;
        // 若存在记录 dp[i] ，则直接返回之
        if (mem[i] != -1)
            return mem[i];
        // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
        int count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem);
        // 记录 dp[i]
        mem[i] = count;
        return count;
    }

    /* 爬楼梯：记忆化搜索 */
    int climbingStairsDFSMem(int n) {
        // mem[i] 记录爬到第 i 阶的方案总数，-1 代表无记录
        int[] mem = new int[n + 1];
        Arrays.fill(mem, -1);
        return dfs(n, mem);
    }
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="climbing_stairs_dfs_mem.cpp"
    /* 记忆化搜索 */
    int dfs(int i, vector<int> &mem) {
        // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
        if (i == 1 || i == 2)
            return i;
        // 若存在记录 dp[i] ，则直接返回之
        if (mem[i] != -1)
            return mem[i];
        // dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
        int count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem);
        // 记录 dp[i]
        mem[i] = count;
        return count;
    }

    /* 爬楼梯：记忆化搜索 */
    int climbingStairsDFSMem(int n) {
        // mem[i] 记录爬到第 i 阶的方案总数，-1 代表无记录
        vector<int> mem(n + 1, -1);
        return dfs(n, mem);
    }
    ```

=== "Python"

    ```python title="climbing_stairs_dfs_mem.py"
    def dfs(i: int, mem: list[int]) -> int:
        """记忆化搜索"""
        # 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之
        if i == 1 or i == 2:
            return i
        # 若存在记录 dp[i] ，则直接返回之
        if mem[i] != -1:
            return mem[i]
        # dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
        count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem)
        # 记录 dp[i]
        mem[i] = count
        return count

    def climbing_stairs_dfs_mem(n: int) -> int:
        """爬楼梯：记忆化搜索"""
        # mem[i] 记录爬到第 i 阶的方案总数，-1 代表无记录
        mem = [-1] * (n + 1)
        return dfs(n, mem)
    ```

=== "Go"

    ```go title="climbing_stairs_dfs_mem.go"
    [class]{}-[func]{dfs}

    [class]{}-[func]{climbingStairsDFSMem}
    ```

=== "JavaScript"

    ```javascript title="climbing_stairs_dfs_mem.js"
    [class]{}-[func]{dfs}

    [class]{}-[func]{climbingStairsDFSMem}
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title="climbing_stairs_dfs_mem.ts"
    [class]{}-[func]{dfs}

    [class]{}-[func]{climbingStairsDFSMem}
    ```

=== "C"

    ```c title="climbing_stairs_dfs_mem.c"
    [class]{}-[func]{dfs}

    [class]{}-[func]{climbingStairsDFSMem}
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="climbing_stairs_dfs_mem.cs"
    [class]{climbing_stairs_dfs_mem}-[func]{dfs}

    [class]{climbing_stairs_dfs_mem}-[func]{climbingStairsDFSMem}
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="climbing_stairs_dfs_mem.swift"
    [class]{}-[func]{dfs}

    [class]{}-[func]{climbingStairsDFSMem}
    ```

=== "Zig"

    ```zig title="climbing_stairs_dfs_mem.zig"
    [class]{}-[func]{dfs}

    [class]{}-[func]{climbingStairsDFSMem}
    ```

=== "Dart"

    ```dart title="climbing_stairs_dfs_mem.dart"
    [class]{}-[func]{dfs}

    [class]{}-[func]{climbingStairsDFSMem}
    ```

观察下图，**经过记忆化处理后，所有重叠子问题都只需被计算一次，时间复杂度被优化至 $O(n)$** ，这是一个巨大的飞跃。实际上，如果不考虑递归带来的额外开销，记忆化搜索解法已经几乎等同于动态规划解法的时间效率。

![记忆化搜索对应递归树](intro_to_dynamic_programming.assets/climbing_stairs_dfs_memo_tree.png)

<p align="center"> Fig. 记忆化搜索对应递归树 </p>

## 13.1.3. &nbsp; 方法三：动态规划

**记忆化搜索是一种“从顶至底”的方法**：我们从原问题（根节点）开始，递归地将较大子问题分解为较小子问题，直至解已知的最小子问题（叶节点）；最终通过回溯将子问题的解逐层收集，得到原问题的解。

**我们也可以直接“从底至顶”进行求解**，得到标准的动态规划解法：从最小子问题开始，迭代地求解较大子问题，直至得到原问题的解。

由于没有回溯过程，动态规划可以直接基于循环实现。我们初始化一个数组 `dp` 来存储子问题的解，从最小子问题开始，逐步求解较大子问题。在以下代码中，数组 `dp` 起到了记忆化搜索中数组 `mem` 相同的记录作用。

=== "Java"

    ```java title="climbing_stairs_dp.java"
    /* 爬楼梯：动态规划 */
    int climbingStairsDP(int n) {
        if (n == 1 || n == 2)
            return n;
        // 初始化 dp 列表，用于存储子问题的解
        int[] dp = new int[n + 1];
        // 初始状态：预设最小子问题的解
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        // 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
    }
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="climbing_stairs_dp.cpp"
    /* 爬楼梯：动态规划 */
    int climbingStairsDP(int n) {
        if (n == 1 || n == 2)
            return n;
        // 初始化 dp 列表，用于存储子问题的解
        vector<int> dp(n + 1);
        // 初始状态：预设最小子问题的解
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        // 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
    }
    ```

=== "Python"

    ```python title="climbing_stairs_dp.py"
    def climbing_stairs_dp(n: int) -> int:
        """爬楼梯：动态规划"""
        if n == 1 or n == 2:
            return n
        # 初始化 dp 列表，用于存储子问题的解
        dp = [0] * (n + 1)
        # 初始状态：预设最小子问题的解
        dp[1], dp[2] = 1, 2
        # 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
        for i in range(3, n + 1):
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
        return dp[n]
    ```

=== "Go"

    ```go title="climbing_stairs_dp.go"
    [class]{}-[func]{climbingStairsDP}
    ```

=== "JavaScript"

    ```javascript title="climbing_stairs_dp.js"
    [class]{}-[func]{climbingStairsDP}
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title="climbing_stairs_dp.ts"
    [class]{}-[func]{climbingStairsDP}
    ```

=== "C"

    ```c title="climbing_stairs_dp.c"
    [class]{}-[func]{climbingStairsDP}
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="climbing_stairs_dp.cs"
    [class]{climbing_stairs_dp}-[func]{climbingStairsDP}
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="climbing_stairs_dp.swift"
    [class]{}-[func]{climbingStairsDP}
    ```

=== "Zig"

    ```zig title="climbing_stairs_dp.zig"
    [class]{}-[func]{climbingStairsDP}
    ```

=== "Dart"

    ```dart title="climbing_stairs_dp.dart"
    [class]{}-[func]{climbingStairsDP}
    ```

与回溯算法一样，动态规划也使用“状态”概念来表示问题求解的某个特定阶段，每个状态都对应一个子问题以及相应的局部最优解。例如对于爬楼梯问题，状态定义为当前所在楼梯阶数。**动态规划的常用术语包括**：

- 将 $dp$ 数组称为「状态列表」，$dp[i]$ 代表第 $i$ 个状态的解；
- 将最简单子问题对应的状态（即第 $1$ , $2$ 阶楼梯）称为「初始状态」；
- 将递推公式 $dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]$ 称为「状态转移方程」；

![爬楼梯的动态规划过程](intro_to_dynamic_programming.assets/climbing_stairs_dp.png)

<p align="center"> Fig. 爬楼梯的动态规划过程 </p>

细心的你可能发现，**由于 $dp[i]$ 只与 $dp[i-1]$ 和 $dp[i-2]$ 有关，因此我们无需使用一个数组 `dp` 来存储所有状态**，而只需两个变量滚动前进即可。如以下代码所示，由于省去了数组 `dp` 占用的空间，因此空间复杂度从 $O(n)$ 降低至 $O(1)$ 。

=== "Java"

    ```java title="climbing_stairs_dp.java"
    /* 爬楼梯：状态压缩后的动态规划 */
    int climbingStairsDPComp(int n) {
        if (n == 1 || n == 2)
            return n;
        int a = 1, b = 2;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            int tmp = b;
            b = a + b;
            a = tmp;
        }
        return b;
    }
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="climbing_stairs_dp.cpp"
    /* 爬楼梯：状态压缩后的动态规划 */
    int climbingStairsDPComp(int n) {
        if (n == 1 || n == 2)
            return n;
        int a = 1, b = 2;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            int tmp = b;
            b = a + b;
            a = tmp;
        }
        return b;
    }
    ```

=== "Python"

    ```python title="climbing_stairs_dp.py"
    def climbing_stairs_dp_comp(n: int) -> int:
        """爬楼梯：状态压缩后的动态规划"""
        if n == 1 or n == 2:
            return n
        a, b = 1, 2
        for _ in range(3, n + 1):
            a, b = b, a + b
        return b
    ```

=== "Go"

    ```go title="climbing_stairs_dp.go"
    [class]{}-[func]{climbingStairsDPComp}
    ```

=== "JavaScript"

    ```javascript title="climbing_stairs_dp.js"
    [class]{}-[func]{climbingStairsDPComp}
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title="climbing_stairs_dp.ts"
    [class]{}-[func]{climbingStairsDPComp}
    ```

=== "C"

    ```c title="climbing_stairs_dp.c"
    [class]{}-[func]{climbingStairsDPComp}
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="climbing_stairs_dp.cs"
    [class]{climbing_stairs_dp}-[func]{climbingStairsDPComp}
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="climbing_stairs_dp.swift"
    [class]{}-[func]{climbingStairsDPComp}
    ```

=== "Zig"

    ```zig title="climbing_stairs_dp.zig"
    [class]{}-[func]{climbingStairsDPComp}
    ```

=== "Dart"

    ```dart title="climbing_stairs_dp.dart"
    [class]{}-[func]{climbingStairsDPComp}
    ```

**我们将这种空间优化技巧称为「状态压缩」**。在许多动态规划问题中，当前状态仅与前面有限个状态有关，不必保存所有的历史状态，这时我们可以应用状态压缩，只保留必要的状态，通过“降维”来节省内存空间。