10.2. 二分查找边界¶

在上一节中，题目规定数组中所有元素都是唯一的。如果目标元素在数组中多次出现，上节介绍的方法只能保证返回其中一个目标元素的索引，而无法确定该索引的左边和右边还有多少目标元素。

Question

给定一个长度为 \(n\) 的有序数组 nums ，数组可能包含重复元素。请查找并返回元素 target 在数组中首次出现的索引。若数组中不包含该元素，则返回 \(-1\) 。

10.2.1. 简单方法¶

为了查找数组中最左边的 target ，我们可以分为两步：

进行二分查找，定位到任意一个 target 的索引，记为 \(k\) ；
以索引 \(k\) 为起始点，向左进行线性遍历，找到最左边的 target 返回即可。

线性查找最左边的元素

Fig. 线性查找最左边的元素

这个方法虽然有效，但由于包含线性查找，其时间复杂度可能会劣化至 \(O(n)\) 。

10.2.2. 二分方法¶

实际上，我们可以仅通过二分查找解决以上问题。整体算法流程不变，先计算中点索引 \(m\) ，再判断 target 和 nums[m] 大小关系：

当 nums[m] < target 或 nums[m] > target 时，说明还没有找到 target ，因此采取与上节代码相同的缩小区间操作，从而使指针 \(i\) 和 \(j\) 向 target 靠近。
当 nums[m] == target 时，说明“小于 target 的元素”在区间 \([i, m - 1]\) 中，因此采用 \(j = m - 1\) 来缩小区间，从而使指针 \(j\) 向小于 target 的元素靠近。

二分查找完成后，\(i\) 指向最左边的 target ，\(j\) 指向首个小于 target 的元素，因此返回索引 \(i\) 即可。

注意，数组可能不包含目标元素 target 。因此在函数返回前，我们需要先判断 nums[i] 与 target 是否相等，以及索引 \(i\) 是否越界。

JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig

binary_search_edge.java

/* 二分查找最左一个元素 */
int binarySearchLeftEdge(int[] nums, int target) {
    int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target)
            i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
        else if (nums[m] > target)
            j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
        else
            j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
    }
    if (i == nums.length || nums[i] != target)
        return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
    return i;
}

binary_search_edge.cpp

/* 二分查找最左一个元素 */
int binarySearchLeftEdge(vector<int> &nums, int target) {
    int i = 0, j = nums.size() - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
    while (i <= j) {
        int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target)
            i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
        else if (nums[m] > target)
            j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
        else
            j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
    }
    if (i == nums.size() || nums[i] != target)
        return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
    return i;
}

binary_search_edge.py

def binary_search_left_edge(nums: list[int], target: int) -> int:
    """二分查找最左一个元素"""
    # 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
    i, j = 0, len(nums) - 1
    while i <= j:
        m = (i + j) // 2  # 计算中点索引 m
        if nums[m] < target:
            i = m + 1  # target 在区间 [m+1, j] 中
        elif nums[m] > target:
            j = m - 1  # target 在区间 [i, m-1] 中
        else:
            j = m - 1  # 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
    if i == len(nums) or nums[i] != target:
        return -1  # 未找到目标元素，返回 -1
    return i

binary_search_edge.go

[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}

binary_search_edge.js

[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}

binary_search_edge.ts

[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}

binary_search_edge.c

[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}

binary_search_edge.cs

[class]{binary_search_edge}-[func]{binarySearchLeftEdge}

binary_search_edge.swift

[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}

binary_search_edge.zig

[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}

10.2.3. 查找右边界¶

类似地，我们也可以二分查找最右边的 target 。当 nums[m] == target 时，说明大于 target 的元素在区间 \([m + 1, j]\) 中，因此执行 i = m + 1 ，使得指针 \(i\) 向大于 target 的元素靠近。

完成二分后，\(i\) 指向首个大于 target 的元素，\(j\) 指向最右边的 target ，因此返回索引 \(j\) 即可。