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15.4.   最大切分乘积问题

Question

给定一个正整数 \(n\) ，将其切分为至少两个正整数的和，求切分后所有整数的乘积最大是多少。

最大切分乘积的问题定义

Fig. 最大切分乘积的问题定义

假设我们将 \(n\) 切分为 \(m\) 个整数因子，其中第 \(i\) 个因子记为 \(n_i\) ，即

\[ n = \sum_{i=1}^{m}n_i \]

本题目标是求得所有整数因子的最大乘积，即

\[ \max(\prod_{i=1}^{m}n_i) \]

我们需要思考的是：切分数量 \(m\) 应该多大，每个 \(n_i\) 应该是多少？

贪心策略确定

根据经验，两个整数的和往往比它们的积更小。假设从 \(n\) 中分出一个因子 \(2\) ，则它们的乘积为 \(2(n-2)\) 。我们将该乘积与 \(n\) 作比较：

\[ \begin{aligned} 2(n-2) & \geq n \newline 2n - n - 4 & \geq 0 \newline n & \geq 4 \end{aligned} \]

当 \(n \geq 4\) 时，切分出一个 \(2\) 后乘积会变大，这说明大于等于 \(4\) 的整数都应该被切分。

贪心策略一：如果切分方案中包含 \(\geq 4\) 的因子，那么它就应该被继续切分。最终的切分方案只应出现 \(1\) , \(2\) , \(3\) 这三种因子。

切分导致乘积变大

Fig. 切分导致乘积变大

接下来思考哪个因子是最优的。在 \(1\) , \(2\) , \(3\) 这三个因子中，显然 \(1\) 是最差的，因为 \(1 \times (n-1) < n\) 恒成立，切分出 \(1\) 会导致乘积减小。

我们发现，当 \(n = 6\) 时，有 \(3 \times 3 > 2 \times 2 \times 2\) 。这意味着切分出 \(3\) 比切分出 \(2\) 更优。

贪心策略二：在切分方案中，最多只应存在两个 \(2\) 。因为三个 \(2\) 可以被替换为两个 \(3\) ，从而获得更大的乘积。

最优切分因子

Fig. 最优切分因子

总结以上，可推出贪心策略：

  1. 输入整数 \(n\) ，从其不断地切分出因子 \(3\) ，直至余数为 \(0\) , \(1\) , \(2\) 。
  2. 当余数为 \(0\) 时，代表 \(n\) 是 \(3\) 的倍数，因此不做任何处理。
  3. 当余数为 \(2\) 时，不继续划分，保留之。
  4. 当余数为 \(1\) 时，由于 \(2 \times 2 > 1 \times 3\) ，因此应将最后一个 \(3\) 替换为 \(2\) 。

代码实现

在代码中，我们无需开启循环来切分，可以直接利用向下整除得到 \(3\) 的个数 \(a\) ，用取模运算得到余数 \(b\) ，即：

\[ n = 3 a + b \]

需要单独处理边界情况：当 \(n \leq 3\) 时，必须拆分出一个 \(1\) ，乘积为 \(1 \times (n - 1)\) 。

max_product_cutting.java
/* 最大切分乘积：贪心 */
int maxProductCutting(int n) {
    // 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
    if (n <= 3) {
        return 1 * (n - 1);
    }
    // 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
    int a = n / 3;
    int b = n % 3;
    if (b == 1) {
        // 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
        return (int) Math.pow(3, a - 1) * 2 * 2;
    }
    if (b == 2) {
        // 当余数为 2 时，不做处理
        return (int) Math.pow(3, a) * 2;
    }
    // 当余数为 0 时，不做处理
    return (int) Math.pow(3, a);
}
max_product_cutting.cpp
/* 最大切分乘积：贪心 */
int maxProductCutting(int n) {
    // 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
    if (n <= 3) {
        return 1 * (n - 1);
    }
    // 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
    int a = n / 3;
    int b = n % 3;
    if (b == 1) {
        // 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
        return (int)pow(3, a - 1) * 2 * 2;
    }
    if (b == 2) {
        // 当余数为 2 时，不做处理
        return (int)pow(3, a) * 2;
    }
    // 当余数为 0 时，不做处理
    return (int)pow(3, a);
}
max_product_cutting.py
def max_product_cutting(n: int) -> int:
    """最大切分乘积：贪心"""
    # 当 n <= 3 时，必须切分出一个 1
    if n <= 3:
        return 1 * (n - 1)
    # 贪心地切分出 3 ，a 为 3 的个数，b 为余数
    a, b = n // 3, n % 3
    if b == 1:
        # 当余数为 1 时，将一对 1 * 3 转化为 2 * 2
        return int(math.pow(3, a - 1)) * 2 * 2
    if b == 2:
        # 当余数为 2 时，不做处理
        return int(math.pow(3, a)) * 2
    # 当余数为 0 时，不做处理
    return int(math.pow(3, a))
max_product_cutting.go
[class]{}-[func]{maxProductCutting}
max_product_cutting.js
[class]{}-[func]{maxProductCutting}
max_product_cutting.ts
[class]{}-[func]{maxProductCutting}
max_product_cutting.c
[class]{}-[func]{maxProductCutting}
max_product_cutting.cs
[class]{max_product_cutting}-[func]{maxProductCutting}
max_product_cutting.swift
[class]{}-[func]{maxProductCutting}
max_product_cutting.zig
[class]{}-[func]{maxProductCutting}
max_product_cutting.dart
[class]{}-[func]{maxProductCutting}

最大切分乘积的计算方法

Fig. 最大切分乘积的计算方法

时间复杂度取决于编程语言的幂运算的实现方法。以 Python 为例，常用的幂计算函数有三种：

  • 运算符 ** 和函数 pow() 的时间复杂度均为 \(O(\log⁡ a)\) ；
  • 函数 math.pow() 内部调用 C 语言库的 pow() 函数，其执行浮点取幂，时间复杂度为 \(O(1)\) 。

变量 \(a\) , \(b\) 使用常数大小的额外空间，因此空间复杂度为 \(O(1)\) 。

正确性证明

使用反证法，只分析 \(n \geq 3\) 的情况。

  1. 所有因子 \(\leq 3\) :假设最优切分方案中存在 \(\geq 4\) 的因子 \(x\) ，那么一定可以将其继续划分为 \(2(x-2)\) ，从而获得更大的乘积。这与假设矛盾。
  2. 切分方案不包含 \(1\) :假设最优切分方案中存在一个因子 \(1\) ，那么它一定可以合并入另外一个因子中，以获取更大乘积。这与假设矛盾。
  3. 切分方案最多包含两个 \(2\) ：假设最优切分方案中包含三个 \(2\) ，那么一定可以替换为两个 \(3\) ，乘积更大。这与假设矛盾。

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