12.3. 汉诺塔问题¶
在归并排序和构建二叉树中，我们将原问题分解为两个规模为原问题一半的子问题。然而，对于即将介绍的汉诺塔问题，我们采用不同的分解策略。
Question
给定三根柱子，记为 A , B , C 。起始状态下，柱子 A 上套着 \(n\) 个圆盘，它们从上到下按照从小到大的顺序排列。我们的任务是要把这 \(n\) 个圆盘移到柱子 C 上，并保持它们的原有顺序不变。在移动圆盘的过程中，需要遵守以下规则：
- 圆盘只能从一个柱子顶部拿出，从另一个柱子顶部放入；
- 每次只能移动一个圆盘；
- 小圆盘必须时刻位于大圆盘之上；
Fig. 汉诺塔问题示例
在本文中，我们将规模为 \(i\) 的汉诺塔问题记做 \(f(i)\) 。例如 \(f(3)\) 代表将 \(3\) 个圆盘从 A 移动至 C 的汉诺塔问题。
先考虑最简单的情况：对于问题 \(f(1)\) ，即当只有一个圆盘时，则将它直接从 A 移动至 C 即可。
对于问题 \(f(2)\) ，即当有两个圆盘时，由于要时刻满足小圆盘在大圆盘之上，因此需要借助 B 来完成移动，包括三步：
- 先将上面的小圆盘从
A移至B； - 再将大圆盘从
A移至C； - 最后将小圆盘从
B移至C；
如下图所示，对于小圆盘的移动，我们称 C 为目标柱、B 为缓冲柱。
对于问题 \(f(3)\) ，即当有三个圆盘时，情况变得稍微复杂了一些。由于已知 \(f(1)\) 和 \(f(2)\) 的解，我们可以从分治角度思考，将 A 顶部的两个圆盘看做一个整体，并执行以下步骤：
- 令
B为目标柱、C为缓冲柱，将两个圆盘从A移动至B； - 将
A中剩余的一个圆盘从A移动至C； - 令
C为目标柱、A为缓冲柱，将两个圆盘从B移动至C；
这样三个圆盘就被顺利地从 A 移动至 C 了。
本质上看，我们将问题 \(f(3)\) 划分为两个子问题 \(f(2)\) 和子问题 \(f(1)\)。按顺序解决这三个子问题之后，原问题随之得到解决。以上分析说明了子问题的独立性，以及解是可以合并的。
至此，我们可总结出汉诺塔问题的分治策略：将原问题 \(f(n)\) 划分为两个子问题 \(f(n-1)\) 和一个子问题 \(f(1)\) 。子问题的解决顺序为：
- 将 \(n-1\) 个圆盘借助
C从A移至B； - 将剩余 \(1\) 个圆盘从
A直接移至C； - 将 \(n-1\) 个圆盘借助
A从B移至C；
并且，对于这两个子问题 \(f(n-1)\) ，可以通过相同的方式进行递归划分，直至达到最小子问题 \(f(1)\) 。而 \(f(1)\) 的解是已知的，只需一次移动操作即可。
Fig. 汉诺塔问题的分治策略
在代码实现中，我们声明一个递归函数 dfs(i, src, buf, tar) ，它的作用是将柱 src 顶部的 \(i\) 个圆盘借助缓冲柱 buf 移动至目标柱 tar 。
def move(src: list[int], tar: list[int]):
"""移动一个圆盘"""
# 从 src 顶部拿出一个圆盘
pan = src.pop()
# 将圆盘放入 tar 顶部
tar.append(pan)
def dfs(i: int, src: list[int], buf: list[int], tar: list[int]):
"""求解汉诺塔：问题 f(i)"""
# 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
if i == 1:
move(src, tar)
return
# 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
dfs(i - 1, src, tar, buf)
# 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
move(src, tar)
# 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
dfs(i - 1, buf, src, tar)
def hanota(A: list[int], B: list[int], C: list[int]):
"""求解汉诺塔"""
n = len(A)
# 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
dfs(n, A, B, C)
如下图所示，汉诺塔问题形成一个高度为 \(n\) 的递归树，每个节点代表一个子问题、对应一个开启的 dfs() 函数，因此时间复杂度为 \(O(2^n)\) ，空间复杂度为 \(O(n)\) 。
Fig. 汉诺塔问题的递归树
有趣的是，汉诺塔问题源自一种古老的传说故事。在古印度的一个寺庙里，僧侣们有三根高大的钻石柱子，以及 \(64\) 个大小不一的金圆盘。僧侣们不断地移动原盘，他们相信在最后一个圆盘被正确放置的那一刻，这个世界就会结束。
然而根据以上分析，即使僧侣们每秒钟移动一次，总共需要大约 \(2^{64} \approx 1.84×10^{19}\) 秒，合约 \(5850\) 亿年，远远超过了现在对宇宙年龄的估计。所以，倘若这个传说是真的，我们应该不需要担心世界末日的到来。