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14.2.   动态规划问题特性

在上节中，我们学习了动态规划问题的暴力解法，从递归树中观察到海量的重叠子问题，以及了解到动态规划是如何通过记录解来优化时间复杂度的。

实际上，动态规划最常用来求解最优方案问题，例如寻找最短路径、最大利润、最少时间等。这类问题不仅包含重叠子问题，往往还具有另外两大特性：最优子结构、无后效性。

14.2.1.   最优子结构

我们对爬楼梯问题稍作改动，使之更加适合展示最优子结构概念。

爬楼梯最小代价

给定一个楼梯，你每步可以上 \(1\) 阶或者 \(2\) 阶，每一阶楼梯上都贴有一个非负整数，表示你在该台阶所需要付出的代价。给定一个非负整数数组 \(cost\) ，其中 \(cost[i]\) 表示在第 \(i\) 个台阶需要付出的代价，\(cost[0]\) 为地面起始点。请计算最少需要付出多少代价才能到达顶部？

如下图所示，若第 \(1\) , \(2\) , \(3\) 阶的代价分别为 \(1\) , \(10\) , \(1\) ，则从地面爬到第 \(3\) 阶的最小代价为 \(2\) 。

爬到第 3 阶的最小代价

Fig. 爬到第 3 阶的最小代价

设 \(dp[i]\) 为爬到第 \(i\) 阶累计付出的代价，由于第 \(i\) 阶只可能从 \(i - 1\) 阶或 \(i - 2\) 阶走来，因此 \(dp[i]\) 只可能等于 \(dp[i - 1] + cost[i]\) 或 \(dp[i - 2] + cost[i]\) 。为了尽可能减少代价，我们应该选择两者中较小的那一个，即：

\[ dp[i] = \min(dp[i-1], dp[i-2]) + cost[i] \]

这便可以引出「最优子结构」的含义：原问题的最优解是从子问题的最优解构建得来的。本题显然具有最优子结构：我们从两个子问题最优解 \(dp[i-1]\) , \(dp[i-2]\) 中挑选出较优的那一个，并用它构建出原问题 \(dp[i]\) 的最优解。

那么，上节的爬楼梯题目有没有最优子结构呢？它要求解的是方案数量，看似是一个计数问题，但如果换一种问法：求解最大方案数量。我们意外地发现，虽然题目修改前后是等价的，但最优子结构浮现出来了：第 \(n\) 阶最大方案数量等于第 \(n-1\) 阶和第 \(n-2\) 阶最大方案数量之和。所以说，最优子结构的解释方式比较灵活，在不同问题中会有不同的含义。

根据以上状态转移方程，以及初始状态 \(dp[1] = cost[1]\) , \(dp[2] = cost[2]\) ，我们可以得出动态规划解题代码。

min_cost_climbing_stairs_dp.java
/* 爬楼梯最小代价：动态规划 */
int minCostClimbingStairsDP(int[] cost) {
    int n = cost.length - 1;
    if (n == 1 || n == 2)
        return cost[n];
    // 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
    int[] dp = new int[n + 1];
    // 初始状态：预设最小子问题的解
    dp[1] = cost[1];
    dp[2] = cost[2];
    // 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = Math.min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
    }
    return dp[n];
}
min_cost_climbing_stairs_dp.cpp
/* 爬楼梯最小代价：动态规划 */
int minCostClimbingStairsDP(vector<int> &cost) {
    int n = cost.size() - 1;
    if (n == 1 || n == 2)
        return cost[n];
    // 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
    vector<int> dp(n + 1);
    // 初始状态：预设最小子问题的解
    dp[1] = cost[1];
    dp[2] = cost[2];
    // 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
    }
    return dp[n];
}
min_cost_climbing_stairs_dp.py
def min_cost_climbing_stairs_dp(cost: list[int]) -> int:
    """爬楼梯最小代价：动态规划"""
    n = len(cost) - 1
    if n == 1 or n == 2:
        return cost[n]
    # 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
    dp = [0] * (n + 1)
    # 初始状态：预设最小子问题的解
    dp[1], dp[2] = cost[1], cost[2]
    # 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
    for i in range(3, n + 1):
        dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i]
    return dp[n]
min_cost_climbing_stairs_dp.go
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDP}
min_cost_climbing_stairs_dp.js
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDP}
min_cost_climbing_stairs_dp.ts
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDP}
min_cost_climbing_stairs_dp.c
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDP}
min_cost_climbing_stairs_dp.cs
/* 爬楼梯最小代价：动态规划 */
int minCostClimbingStairsDP(int[] cost) {
    int n = cost.Length - 1;
    if (n == 1 || n == 2)
        return cost[n];
    // 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
    int[] dp = new int[n + 1];
    // 初始状态：预设最小子问题的解
    dp[1] = cost[1];
    dp[2] = cost[2];
    // 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = Math.Min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
    }
    return dp[n];
}
min_cost_climbing_stairs_dp.swift
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDP}
min_cost_climbing_stairs_dp.zig
// 爬楼梯最小代价：动态规划
fn minCostClimbingStairsDP(comptime cost: []i32) i32 {
    comptime var n = cost.len - 1;
    if (n == 1 or n == 2) {
        return cost[n];
    }
    // 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
    var dp = [_]i32{-1} ** (n + 1);
    // 初始状态：预设最小子问题的解
    dp[1] = cost[1];
    dp[2] = cost[2];
    // 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
    for (3..n + 1) |i| {
        dp[i] = @min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
    }
    return dp[n];
}
min_cost_climbing_stairs_dp.dart
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDP}

爬楼梯最小代价的动态规划过程

Fig. 爬楼梯最小代价的动态规划过程

这道题同样也可以进行状态压缩，将一维压缩至零维，使得空间复杂度从 \(O(n)\) 降低至 \(O(1)\) 。

min_cost_climbing_stairs_dp.java
/* 爬楼梯最小代价：状态压缩后的动态规划 */
int minCostClimbingStairsDPComp(int[] cost) {
    int n = cost.length - 1;
    if (n == 1 || n == 2)
        return cost[n];
    int a = cost[1], b = cost[2];
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        int tmp = b;
        b = Math.min(a, tmp) + cost[i];
        a = tmp;
    }
    return b;
}
min_cost_climbing_stairs_dp.cpp
/* 爬楼梯最小代价：状态压缩后的动态规划 */
int minCostClimbingStairsDPComp(vector<int> &cost) {
    int n = cost.size() - 1;
    if (n == 1 || n == 2)
        return cost[n];
    int a = cost[1], b = cost[2];
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        int tmp = b;
        b = min(a, tmp) + cost[i];
        a = tmp;
    }
    return b;
}
min_cost_climbing_stairs_dp.py
def min_cost_climbing_stairs_dp_comp(cost: list[int]) -> int:
    """爬楼梯最小代价：状态压缩后的动态规划"""
    n = len(cost) - 1
    if n == 1 or n == 2:
        return cost[n]
    a, b = cost[1], cost[2]
    for i in range(3, n + 1):
        a, b = b, min(a, b) + cost[i]
    return b
min_cost_climbing_stairs_dp.go
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDPComp}
min_cost_climbing_stairs_dp.js
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDPComp}
min_cost_climbing_stairs_dp.ts
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDPComp}
min_cost_climbing_stairs_dp.c
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDPComp}
min_cost_climbing_stairs_dp.cs
/* 爬楼梯最小代价：状态压缩后的动态规划 */
int minCostClimbingStairsDPComp(int[] cost) {
    int n = cost.Length - 1;
    if (n == 1 || n == 2)
        return cost[n];
    int a = cost[1], b = cost[2];
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        int tmp = b;
        b = Math.Min(a, tmp) + cost[i];
        a = tmp;
    }
    return b;
}
min_cost_climbing_stairs_dp.swift
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDPComp}
min_cost_climbing_stairs_dp.zig
// 爬楼梯最小代价：状态压缩后的动态规划
fn minCostClimbingStairsDPComp(cost: []i32) i32 {
    var n = cost.len - 1;
    if (n == 1 or n == 2) {
        return cost[n];
    }
    var a = cost[1];
    var b = cost[2];
    // 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
    for (3..n + 1) |i| {
        var tmp = b;
        b = @min(a, tmp) + cost[i];
        a = tmp;
    }
    return b;
}
min_cost_climbing_stairs_dp.dart
[class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDPComp}

14.2.2.   无后效性

「无后效性」是动态规划能够有效解决问题的重要特性之一，定义为：给定一个确定的状态，它的未来发展只与当前状态有关，而与当前状态过去所经历过的所有状态无关。

以爬楼梯问题为例，给定状态 \(i\) ，它会发展出状态 \(i+1\) 和状态 \(i+2\) ，分别对应跳 \(1\) 步和跳 \(2\) 步。在做出这两种选择时，我们无需考虑状态 \(i\) 之前的状态，即它们对状态 \(i\) 的未来没有影响。

然而，如果我们向爬楼梯问题添加一个约束，情况就不一样了。

带约束爬楼梯

给定一个共有 \(n\) 阶的楼梯，你每步可以上 \(1\) 阶或者 \(2\) 阶，但不能连续两轮跳 \(1\) 阶，请问有多少种方案可以爬到楼顶。

例如，爬上第 \(3\) 阶仅剩 \(2\) 种可行方案，其中连续三次跳 \(1\) 阶的方案不满足约束条件，因此被舍弃。

带约束爬到第 3 阶的方案数量

Fig. 带约束爬到第 3 阶的方案数量

在该问题中，下一步选择不能由当前状态（当前楼梯阶数）独立决定，还和前一个状态（上轮楼梯阶数）有关。如果上一轮是跳 \(1\) 阶上来的，那么下一轮就必须跳 \(2\) 阶。

不难发现，此问题已不满足无后效性，状态转移方程 \(dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]\) 也失效了，因为 \(dp[i-1]\) 代表本轮跳 \(1\) 阶，但其中包含了许多“上一轮跳 \(1\) 阶上来的”方案，而为了满足约束，我们不能将 \(dp[i-1]\) 直接计入 \(dp[i]\) 中。

为了解决该问题，我们需要扩展状态定义：状态 \([i, j]\) 表示处在第 \(i\) 阶、并且上一轮跳了 \(j\) 阶，其中 \(j \in \{1, 2\}\) 。此状态定义有效地区分了上一轮跳了 \(1\) 阶还是 \(2\) 阶，我们可以据此来决定下一步该怎么跳：

  • 当 \(j\) 等于 \(1\) ，即上一轮跳了 \(1\) 阶时，这一轮只能选择跳 \(2\) 阶；
  • 当 \(j\) 等于 \(2\) ，即上一轮跳了 \(2\) 阶时，这一轮可选择跳 \(1\) 阶或跳 \(2\) 阶；

在该定义下，\(dp[i, j]\) 表示状态 \([i, j]\) 对应的方案数。由此，我们便能推导出以下的状态转移方程：

\[ \begin{cases} dp[i, 1] = dp[i-1, 2] \\ dp[i, 2] = dp[i-2, 1] + dp[i-2, 2] \end{cases} \]

考虑约束下的递推关系

Fig. 考虑约束下的递推关系

最终，返回 \(dp[n, 1] + dp[n, 2]\) 即可，两者之和代表爬到第 \(n\) 阶的方案总数。

climbing_stairs_constraint_dp.java
/* 带约束爬楼梯：动态规划 */
int climbingStairsConstraintDP(int n) {
    if (n == 1 || n == 2) {
        return n;
    }
    // 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
    int[][] dp = new int[n + 1][3];
    // 初始状态：预设最小子问题的解
    dp[1][1] = 1;
    dp[1][2] = 0;
    dp[2][1] = 0;
    dp[2][2] = 1;
    // 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i][1] = dp[i - 1][2];
        dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
    }
    return dp[n][1] + dp[n][2];
}
climbing_stairs_constraint_dp.cpp
/* 带约束爬楼梯：动态规划 */
int climbingStairsConstraintDP(int n) {
    if (n == 1 || n == 2) {
        return n;
    }
    // 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
    vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(3, 0));
    // 初始状态：预设最小子问题的解
    dp[1][1] = 1;
    dp[1][2] = 0;
    dp[2][1] = 0;
    dp[2][2] = 1;
    // 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i][1] = dp[i - 1][2];
        dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
    }
    return dp[n][1] + dp[n][2];
}
climbing_stairs_constraint_dp.py
def climbing_stairs_constraint_dp(n: int) -> int:
    """带约束爬楼梯：动态规划"""
    if n == 1 or n == 2:
        return n
    # 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
    dp = [[0] * 3 for _ in range(n + 1)]
    # 初始状态：预设最小子问题的解
    dp[1][1], dp[1][2] = 1, 0
    dp[2][1], dp[2][2] = 0, 1
    # 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
    for i in range(3, n + 1):
        dp[i][1] = dp[i - 1][2]
        dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2]
    return dp[n][1] + dp[n][2]
climbing_stairs_constraint_dp.go
[class]{}-[func]{climbingStairsConstraintDP}
climbing_stairs_constraint_dp.js
[class]{}-[func]{climbingStairsConstraintDP}
climbing_stairs_constraint_dp.ts
[class]{}-[func]{climbingStairsConstraintDP}
climbing_stairs_constraint_dp.c
[class]{}-[func]{climbingStairsConstraintDP}
climbing_stairs_constraint_dp.cs
/* 带约束爬楼梯：动态规划 */
int climbingStairsConstraintDP(int n) {
    if (n == 1 || n == 2) {
        return n;
    }
    // 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
    int[,] dp = new int[n + 1, 3];
    // 初始状态：预设最小子问题的解
    dp[1, 1] = 1;
    dp[1, 2] = 0;
    dp[2, 1] = 0;
    dp[2, 2] = 1;
    // 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i, 1] = dp[i - 1, 2];
        dp[i, 2] = dp[i - 2, 1] + dp[i - 2, 2];
    }
    return dp[n, 1] + dp[n, 2];
}
climbing_stairs_constraint_dp.swift
[class]{}-[func]{climbingStairsConstraintDP}
climbing_stairs_constraint_dp.zig
// 带约束爬楼梯：动态规划
fn climbingStairsConstraintDP(comptime n: usize) i32 {
    if (n == 1 or n == 2) {
        return @intCast(n);
    }
    // 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
    var dp = [_][3]i32{ [_]i32{ -1, -1, -1 } } ** (n + 1);
    // 初始状态：预设最小子问题的解
    dp[1][1] = 1;
    dp[1][2] = 0;
    dp[2][1] = 0;
    dp[2][2] = 1;
    // 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
    for (3..n + 1) |i| {
        dp[i][1] = dp[i - 1][2];
        dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
    }
    return dp[n][1] + dp[n][2];
}
climbing_stairs_constraint_dp.dart
[class]{}-[func]{climbingStairsConstraintDP}

在上面的案例中，由于仅需多考虑前面一个状态，我们仍然可以通过扩展状态定义，使得问题恢复无后效性。然而，许多问题具有非常严重的“有后效性”，例如：

爬楼梯与障碍生成

给定一个共有 \(n\) 阶的楼梯，你每步可以上 \(1\) 阶或者 \(2\) 阶。规定当爬到第 \(i\) 阶时，系统自动会给第 \(2i\) 阶上放上障碍物，之后所有轮都不允许跳到第 \(2i\) 阶上。例如，前两轮分别跳到了第 \(2, 3\) 阶上，则之后就不能跳到第 \(4, 6\) 阶上。请问有多少种方案可以爬到楼顶。

在这个问题中，下次跳跃依赖于过去所有的状态，因为每一次跳跃都会在更高的阶梯上设置障碍，并影响未来的跳跃。对于这类问题，动态规划往往难以解决，或是因为计算复杂度过高而难以应用。

实际上，许多复杂的组合优化问题（例如著名的旅行商问题）都不满足无后效性。对于这类问题，我们通常会选择使用其他方法，例如启发式搜索、遗传算法、强化学习等，从而降低时间复杂度，在有限时间内得到能够接受的局部最优解。

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