6.3. 哈希算法¶
在上两节中，我们了解了哈希表的工作原理，以及哈希冲突的处理方法。然而，无论是开放寻址还是链地址法，它们只能保证哈希表可以在发生冲突时正常工作，但无法减少哈希冲突的发生。
如果哈希冲突过于频繁，哈希表的性能则会急剧劣化。例如对于链地址哈希表，理想情况下键值对平均分布在各个桶中，达到最好的查询效率；最差情况下全部键值都被存储到同一个桶中，时间复杂度退化至 \(O(n)\) 。
Fig. 哈希冲突的最佳与最差情况
键值对的分布情况是由哈希函数决定的。回忆哈希函数的计算步骤，先计算哈希值，再对数组长度取模：
观察以上公式，当哈希表容量 capacity 固定时，哈希算法 hash() 决定了输出值，进而决定了键值对在哈希表中的分布。因此，为了减小哈希冲突的发生概率，我们需要将注意力集中在哈希算法 hash() 的设计上。
6.3.1. 哈希算法的目标¶
为了在编程语言中实现“既快又稳”的哈希表数据结构，哈希算法应包含以下特点：
- 确定性：对于相同的输入，哈希算法应始终产生相同的输出。这样才能确保哈希表是可靠的。
- 效率高：计算哈希值的过程应该足够快。计算开销越小，哈希表的实用性越高。
- 均匀分布：哈希算法应使得键值对平均分布在哈希表中。分布越平均，哈希冲突的概率就越低。
实际上，哈希算法除了可以用于实现哈希表，还广泛应用于其他领域中，包括：
- 密码存储：为了保护用户密码的安全，系统通常不会直接存储用户的明文密码，而是存储密码的哈希值。当用户输入密码时，系统会对输入的密码计算哈希值，然后与存储的哈希值进行比较。如果两者匹配，那么密码就被视为正确。
- 数据完整性检查：数据发送方可以计算数据的哈希值并将其一同发送；接收方可以重新计算接收到的数据的哈希值，并与接收到的哈希值进行比较。如果两者匹配，那么数据就被视为完整的。
对于密码学的相关应用，哈希算法需要满足更高的安全标准，以防止从哈希值推导出原始密码等逆向工程，包括：
- 抗碰撞性：应当极其困难找到两个不同的输入，使得它们的哈希值相同。
- 雪崩效应：输入的微小变化应当导致输出的显著且不可预测的变化。
注意，“均匀分布”与“抗碰撞性”是两个独立的概念，满足均匀分布不一定满足抗碰撞性。例如，在随机输入 key 下，哈希函数 key % 100 可以产生均匀分布的输出。然而，该哈希算法过于简单，所有后两位相等的 key 的输出都相同，因此我们可以很容易地从哈希值反推出可用的 key ，从而破解密码。
6.3.2. 哈希算法的设计¶
哈希算法的设计是一个复杂且需要考虑许多因素的问题。然而，对于一些简单场景，我们也能设计一些简单的哈希算法，以字符串哈希为例：
- 加法哈希：对输入的每个字符的 ASCII 码进行相加，将得到的总和作为哈希值。
- 乘法哈希：利用了乘法的不相关性，每轮乘以一个常数，将各个字符的 ASCII 码累积到哈希值中。
- 异或哈希：将输入数据的每个元素通过异或操作累积到一个哈希值中。
- 旋转哈希：将每个字符的 ASCII 码累积到一个哈希值中，每次累积之前都会对哈希值进行旋转操作。
/* 加法哈希 */
int addHash(String key) {
long hash = 0;
final int MODULUS = 1000000007;
for (char c : key.toCharArray()) {
hash = (hash + (int) c) % MODULUS;
}
return (int) hash;
}
/* 乘法哈希 */
int mulHash(String key) {
long hash = 0;
final int MODULUS = 1000000007;
for (char c : key.toCharArray()) {
hash = (31 * hash + (int) c) % MODULUS;
}
return (int) hash;
}
/* 异或哈希 */
int xorHash(String key) {
int hash = 0;
final int MODULUS = 1000000007;
for (char c : key.toCharArray()) {
hash ^= (int) c;
}
return hash & MODULUS;
}
/* 旋转哈希 */
int rotHash(String key) {
long hash = 0;
final int MODULUS = 1000000007;
for (char c : key.toCharArray()) {
hash = ((hash << 4) ^ (hash >> 28) ^ (int) c) % MODULUS;
}
return (int) hash;
}
/* 加法哈希 */
int addHash(string key) {
long long hash = 0;
const int MODULUS = 1000000007;
for (unsigned char c : key) {
hash = (hash + (int)c) % MODULUS;
}
return (int)hash;
}
/* 乘法哈希 */
int mulHash(string key) {
long long hash = 0;
const int MODULUS = 1000000007;
for (unsigned char c : key) {
hash = (31 * hash + (int)c) % MODULUS;
}
return (int)hash;
}
/* 异或哈希 */
int xorHash(string key) {
int hash = 0;
const int MODULUS = 1000000007;
for (unsigned char c : key) {
cout<<(int)c<<endl;
hash ^= (int)c;
}
return hash & MODULUS;
}
/* 旋转哈希 */
int rotHash(string key) {
long long hash = 0;
const int MODULUS = 1000000007;
for (unsigned char c : key) {
hash = ((hash << 4) ^ (hash >> 28) ^ (int)c) % MODULUS;
}
return (int)hash;
}
def add_hash(key: str) -> int:
"""加法哈希"""
hash = 0
modulus = 1000000007
for c in key:
hash += ord(c)
return hash % modulus
def mul_hash(key: str) -> int:
"""乘法哈希"""
hash = 0
modulus = 1000000007
for c in key:
hash = 31 * hash + ord(c)
return hash % modulus
def xor_hash(key: str) -> int:
"""异或哈希"""
hash = 0
modulus = 1000000007
for c in key:
hash ^= ord(c)
return hash % modulus
def rot_hash(key: str) -> int:
"""旋转哈希"""
hash = 0
modulus = 1000000007
for c in key:
hash = (hash << 4) ^ (hash >> 28) ^ ord(c)
return hash % modulus
/* 加法哈希 */
func addHash(key string) int {
var hash int64
var modulus int64
modulus = 1000000007
for _, b := range []byte(key) {
hash = (hash + int64(b)) % modulus
}
return int(hash)
}
/* 乘法哈希 */
func mulHash(key string) int {
var hash int64
var modulus int64
modulus = 1000000007
for _, b := range []byte(key) {
hash = (31*hash + int64(b)) % modulus
}
return int(hash)
}
/* 异或哈希 */
func xorHash(key string) int {
hash := 0
modulus := 1000000007
for _, b := range []byte(key) {
fmt.Println(int(b))
hash ^= int(b)
hash = (31*hash + int(b)) % modulus
}
return hash & modulus
}
/* 旋转哈希 */
func rotHash(key string) int {
var hash int64
var modulus int64
modulus = 1000000007
for _, b := range []byte(key) {
hash = ((hash << 4) ^ (hash >> 28) ^ int64(b)) % modulus
}
return int(hash)
}
/* 加法哈希 */
int addHash(string key) {
long hash = 0;
const int MODULUS = 1000000007;
foreach (char c in key) {
hash = (hash + c) % MODULUS;
}
return (int)hash;
}
/* 乘法哈希 */
int mulHash(string key) {
long hash = 0;
const int MODULUS = 1000000007;
foreach (char c in key) {
hash = (31 * hash + c) % MODULUS;
}
return (int)hash;
}
/* 异或哈希 */
int xorHash(string key) {
int hash = 0;
const int MODULUS = 1000000007;
foreach (char c in key) {
hash ^= c;
}
return hash & MODULUS;
}
/* 旋转哈希 */
int rotHash(string key) {
long hash = 0;
const int MODULUS = 1000000007;
foreach (char c in key) {
hash = ((hash << 4) ^ (hash >> 28) ^ c) % MODULUS;
}
return (int)hash;
}
观察发现，每种哈希算法的最后一步都是对大质数 \(1000000007\) 取模，以确保哈希值在合适的范围内。值得思考的是，为什么要强调对质数取模，对合数取模的弊端是什么？这是一个有趣的问题。
先抛出结论：当我们使用大质数作为模数时，可以最大化地保证哈希值的均匀分布。因为质数不会与其他数字存在公约数，可以减少因取模操作而产生的周期性模式，从而避免哈希冲突。
举个例子，假设我们选择合数 \(9\) 作为模数，它可以被 \(3\) 整除。那么所有可以被 \(3\) 整除的 key 都会被映射到 \(0\) , \(3\) , \(6\) 这三个哈希值。
如果输入 key 恰好满足这种等差数列的数据分布，那么哈希值就会出现聚堆，从而加重哈希冲突。现在，假设将 modulus 替换为质数 \(13\) ，由于 key 和 modulus 之间不存在公约数，输出的哈希值的均匀性会明显提升。
值得强调的是，如果能够保证 key 是随机均匀分布的，那么选择质数或者合数作为模数都是可以的，它们都能输出均匀分布的哈希值。而当 key 的分布存在某种周期性时，对合数取模更容易出现聚集现象。
总而言之，我们通常选取质数作为模数，并且这个质数最好大一些，以提升哈希算法的稳健性。
6.3.3. 常见哈希算法¶
不难发现，以上介绍的简单哈希算法都比较“脆弱”，远远没有达到哈希算法的设计目标。例如，由于加法和异或满足交换律，因此加法哈希和异或哈希无法区分内容相同但顺序不同的字符串，这可能会加剧哈希冲突，并引起一些安全问题。
在实际中，我们通常会用一些标准哈希算法，例如 MD5, SHA-1, SHA-2, SHA3 等。它们可以将任意长度的输入数据映射到恒定长度的哈希值。近一个世纪以来，哈希算法处在不断升级与优化的过程中。一部分研究人员努力提升哈希算法的性能，另一部分研究人员和黑客则致力于寻找哈希算法的安全性问题。
直至目前，MD5 和 SHA-1 已多次被成功攻击，因此它们被各类安全应用弃用。SHA-2 系列中的 SHA-256 是最安全的哈希算法之一，仍未出现成功的攻击案例，因此常被用在各类安全应用与协议中。SHA-3 相较 SHA-2 的实现开销更低、计算效率更高，但目前使用覆盖度不如 SHA-2 系列。
| MD5 | SHA-1 | SHA-2 | SHA-3 | |
|---|---|---|---|---|
| 推出时间 | 1992 | 1995 | 2002 | 2008 |
| 输出长度 | 128 bits | 160 bits | 256 / 512 bits | 224/256/384/512 bits |
| 哈希冲突 | 较多 | 较多 | 很少 | 很少 |
| 安全等级 | 低，已被成功攻击 | 低，已被成功攻击 | 高 | 高 |
| 应用 | 已被弃用，仍用于数据完整性检查 | 已被弃用 | 加密货币交易验证、数字签名等 | 可用于替代 SHA-2 |
6.3.4. 数据结构的哈希值¶
我们知道，哈希表的 key 可以是整数、小数或字符串等数据类型。编程语言通常会为这些数据类型提供内置的哈希算法，用于计算哈希表中的桶索引。以 Python 为例，我们可以调用 hash() 函数来计算各种数据类型的哈希值，包括：
- 整数和布尔量的哈希值就是其本身。
- 浮点数和字符串的哈希值计算较为复杂，有兴趣的同学请自行学习。
- 元组的哈希值是对其中每一个元素进行哈希，然后将这些哈希值组合起来，得到单一的哈希值。
- 对象的哈希值基于其内存地址生成。通过重写对象的哈希方法，可实现基于内容生成哈希值。
Tip
请注意，不同编程语言的内置哈希值计算函数的定义和方法不同。
int num = 3;
int hashNum = Integer.hashCode(num);
// 整数 3 的哈希值为 3
boolean bol = true;
int hashBol = Boolean.hashCode(bol);
// 布尔量 true 的哈希值为 1231
double dec = 3.14159;
int hashDec = Double.hashCode(dec);
// 小数 3.14159 的哈希值为 -1340954729
String str = "Hello 算法";
int hashStr = str.hashCode();
// 字符串 Hello 算法 的哈希值为 -727081396
Object[] arr = { 12836, "小哈" };
int hashTup = Arrays.hashCode(arr);
// 数组 [12836, 小哈] 的哈希值为 1151158
ListNode obj = new ListNode(0);
int hashObj = obj.hashCode();
// 节点对象 utils.ListNode@7dc5e7b4 的哈希值为 2110121908
int num = 3;
size_t hashNum = hash<int>()(num);
// 整数 3 的哈希值为 3
bool bol = true;
size_t hashBol = hash<bool>()(bol);
// 布尔量 1 的哈希值为 1
double dec = 3.14159;
size_t hashDec = hash<double>()(dec);
// 小数 3.14159 的哈希值为 4614256650576692846
string str = "Hello 算法";
size_t hashStr = hash<string>()(str);
// 字符串 Hello 算法 的哈希值为 15466937326284535026
// 在 C++ 中，内置 std:hash() 仅提供基本数据类型的哈希值计算
// 数组、对象的哈希值计算需要自行实现
num = 3
hash_num = hash(num)
# 整数 3 的哈希值为 3
bol = True
hash_bol = hash(bol)
# 布尔量 True 的哈希值为 1
dec = 3.14159
hash_dec = hash(dec)
# 小数 3.14159 的哈希值为 326484311674566659
str = "Hello 算法"
hash_str = hash(str)
# 字符串 Hello 算法 的哈希值为 4617003410720528961
tup = (12836, "小哈")
hash_tup = hash(tup)
# 元组 (12836, '小哈') 的哈希值为 1029005403108185979
obj = ListNode(0)
hash_obj = hash(obj)
# 节点对象 <ListNode object at 0x1058fd810> 的哈希值为 274267521
int num = 3;
int hashNum = num.GetHashCode();
// 整数 3 的哈希值为 3;
bool bol = true;
int hashBol = bol.GetHashCode();
// 布尔量 true 的哈希值为 1;
double dec = 3.14159;
int hashDec = dec.GetHashCode();
// 小数 3.14159 的哈希值为 -1340954729;
string str = "Hello 算法";
int hashStr = str.GetHashCode();
// 字符串 Hello 算法 的哈希值为 -586107568;
object[] arr = { 12836, "小哈" };
int hashTup = arr.GetHashCode();
// 数组 [12836, 小哈] 的哈希值为 42931033;
ListNode obj = new ListNode(0);
int hashObj = obj.GetHashCode();
// 节点对象 0 的哈希值为 39053774;
int num = 3;
int hashNum = num.hashCode;
// 整数 3 的哈希值为 34803
bool bol = true;
int hashBol = bol.hashCode;
// 布尔值 true 的哈希值为 1231
double dec = 3.14159;
int hashDec = dec.hashCode;
// 小数 3.14159 的哈希值为 2570631074981783
String str = "Hello 算法";
int hashStr = str.hashCode;
// 字符串 Hello 算法 的哈希值为 468167534
List arr = [12836, "小哈"];
int hashArr = arr.hashCode;
// 数组 [12836, 小哈] 的哈希值为 976512528
ListNode obj = new ListNode(0);
int hashObj = obj.hashCode;
// 节点对象 Instance of 'ListNode' 的哈希值为 1033450432
在大多数编程语言中，只有不可变对象才可作为哈希表的 key 。假如我们将列表（动态数组）作为 key ，当列表的内容发生变化时，它的哈希值也随之改变，我们就无法在哈希表中查询到原先的 value 了。
虽然自定义对象（例如链表节点）的成员变量是可变的，但它是可哈希的，这是因为对象的哈希值默认基于内存地址生成。即使对象的内容发生了变化，但它的内存地址不变，哈希值仍然是不变的。
向哈希函数加盐
Python 解释器在每次启动时，都会为字符串哈希函数加入一个随机的盐（Salt）值。因此在不同的 Python 运行实例中，同一字符串的哈希值通常是不同的。此做法可以有效防止 HashDoS 攻击，提升哈希算法的安全性。