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14.6   編輯距離問題

編輯距離，也稱 Levenshtein 距離，指兩個字串之間互相轉換的最少修改次數，通常用於在資訊檢索和自然語言處理中度量兩個序列的相似度。

Question

輸入兩個字串 \(s\) 和 \(t\) ，返回將 \(s\) 轉換為 \(t\) 所需的最少編輯步數。

你可以在一個字串中進行三種編輯操作：插入一個字元、刪除一個字元、將字元替換為任意一個字元。

如圖 14-27 所示，將 kitten 轉換為 sitting 需要編輯 3 步，包括 2 次替換操作與 1 次新增操作；將 hello 轉換為 algo 需要 3 步，包括 2 次替換操作和 1 次刪除操作。

編輯距離的示例資料

圖 14-27   編輯距離的示例資料

編輯距離問題可以很自然地用決策樹模型來解釋。字串對應樹節點，一輪決策（一次編輯操作）對應樹的一條邊。

如圖 14-28 所示，在不限制操作的情況下，每個節點都可以派生出許多條邊，每條邊對應一種操作，這意味著從 hello 轉換到 algo 有許多種可能的路徑。

從決策樹的角度看，本題的目標是求解節點 hello 和節點 algo 之間的最短路徑。

基於決策樹模型表示編輯距離問題

圖 14-28   基於決策樹模型表示編輯距離問題

1.   動態規劃思路

第一步：思考每輪的決策，定義狀態，從而得到 \(dp\) 表

每一輪的決策是對字串 \(s\) 進行一次編輯操作。

我們希望在編輯操作的過程中，問題的規模逐漸縮小，這樣才能構建子問題。設字串 \(s\) 和 \(t\) 的長度分別為 \(n\) 和 \(m\) ，我們先考慮兩字串尾部的字元 \(s[n-1]\) 和 \(t[m-1]\) 。

  • 若 \(s[n-1]\) 和 \(t[m-1]\) 相同，我們可以跳過它們，直接考慮 \(s[n-2]\) 和 \(t[m-2]\) 。
  • 若 \(s[n-1]\) 和 \(t[m-1]\) 不同，我們需要對 \(s\) 進行一次編輯（插入、刪除、替換），使得兩字串尾部的字元相同，從而可以跳過它們，考慮規模更小的問題。

也就是說，我們在字串 \(s\) 中進行的每一輪決策（編輯操作），都會使得 \(s\) 和 \(t\) 中剩餘的待匹配字元發生變化。因此，狀態為當前在 \(s\) 和 \(t\) 中考慮的第 \(i\) 和第 \(j\) 個字元，記為 \([i, j]\) 。

狀態 \([i, j]\) 對應的子問題：將 \(s\) 的前 \(i\) 個字元更改為 \(t\) 的前 \(j\) 個字元所需的最少編輯步數。

至此，得到一個尺寸為 \((i+1) \times (j+1)\) 的二維 \(dp\) 表。

第二步：找出最優子結構，進而推導出狀態轉移方程

考慮子問題 \(dp[i, j]\) ，其對應的兩個字串的尾部字元為 \(s[i-1]\) 和 \(t[j-1]\) ，可根據不同編輯操作分為圖 14-29 所示的三種情況。

  1. 在 \(s[i-1]\) 之後新增 \(t[j-1]\) ，則剩餘子問題 \(dp[i, j-1]\) 。
  2. 刪除 \(s[i-1]\) ，則剩餘子問題 \(dp[i-1, j]\) 。
  3. 將 \(s[i-1]\) 替換為 \(t[j-1]\) ，則剩餘子問題 \(dp[i-1, j-1]\) 。

編輯距離的狀態轉移

圖 14-29   編輯距離的狀態轉移

根據以上分析，可得最優子結構：\(dp[i, j]\) 的最少編輯步數等於 \(dp[i, j-1]\)、\(dp[i-1, j]\)、\(dp[i-1, j-1]\) 三者中的最少編輯步數，再加上本次的編輯步數 \(1\) 。對應的狀態轉移方程為：

\[ dp[i, j] = \min(dp[i, j-1], dp[i-1, j], dp[i-1, j-1]) + 1 \]

請注意，當 \(s[i-1]\) 和 \(t[j-1]\) 相同時，無須編輯當前字元，這種情況下的狀態轉移方程為：

\[ dp[i, j] = dp[i-1, j-1] \]

第三步：確定邊界條件和狀態轉移順序

當兩字串都為空時，編輯步數為 \(0\) ，即 \(dp[0, 0] = 0\) 。當 \(s\) 為空但 \(t\) 不為空時，最少編輯步數等於 \(t\) 的長度，即首行 \(dp[0, j] = j\) 。當 \(s\) 不為空但 \(t\) 為空時，最少編輯步數等於 \(s\) 的長度，即首列 \(dp[i, 0] = i\) 。

觀察狀態轉移方程，解 \(dp[i, j]\) 依賴左方、上方、左上方的解，因此透過兩層迴圈正序走訪整個 \(dp\) 表即可。

2.   程式碼實現

edit_distance.py
def edit_distance_dp(s: str, t: str) -> int:
    """編輯距離：動態規劃"""
    n, m = len(s), len(t)
    dp = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]
    # 狀態轉移：首行首列
    for i in range(1, n + 1):
        dp[i][0] = i
    for j in range(1, m + 1):
        dp[0][j] = j
    # 狀態轉移：其餘行和列
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, m + 1):
            if s[i - 1] == t[j - 1]:
                # 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
            else:
                # 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1]) + 1
    return dp[n][m]
edit_distance.cpp
/* 編輯距離：動態規劃 */
int editDistanceDP(string s, string t) {
    int n = s.length(), m = t.length();
    vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(m + 1, 0));
    // 狀態轉移：首行首列
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        dp[i][0] = i;
    }
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        dp[0][j] = j;
    }
    // 狀態轉移：其餘行和列
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
                // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            } else {
                // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                dp[i][j] = min(min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
            }
        }
    }
    return dp[n][m];
}
edit_distance.java
/* 編輯距離：動態規劃 */
int editDistanceDP(String s, String t) {
    int n = s.length(), m = t.length();
    int[][] dp = new int[n + 1][m + 1];
    // 狀態轉移：首行首列
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        dp[i][0] = i;
    }
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        dp[0][j] = j;
    }
    // 狀態轉移：其餘行和列
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            if (s.charAt(i - 1) == t.charAt(j - 1)) {
                // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            } else {
                // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
            }
        }
    }
    return dp[n][m];
}
edit_distance.cs
/* 編輯距離：動態規劃 */
int EditDistanceDP(string s, string t) {
    int n = s.Length, m = t.Length;
    int[,] dp = new int[n + 1, m + 1];
    // 狀態轉移：首行首列
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        dp[i, 0] = i;
    }
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        dp[0, j] = j;
    }
    // 狀態轉移：其餘行和列
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
                // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                dp[i, j] = dp[i - 1, j - 1];
            } else {
                // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                dp[i, j] = Math.Min(Math.Min(dp[i, j - 1], dp[i - 1, j]), dp[i - 1, j - 1]) + 1;
            }
        }
    }
    return dp[n, m];
}
edit_distance.go
/* 編輯距離：動態規劃 */
func editDistanceDP(s string, t string) int {
    n := len(s)
    m := len(t)
    dp := make([][]int, n+1)
    for i := 0; i <= n; i++ {
        dp[i] = make([]int, m+1)
    }
    // 狀態轉移：首行首列
    for i := 1; i <= n; i++ {
        dp[i][0] = i
    }
    for j := 1; j <= m; j++ {
        dp[0][j] = j
    }
    // 狀態轉移：其餘行和列
    for i := 1; i <= n; i++ {
        for j := 1; j <= m; j++ {
            if s[i-1] == t[j-1] {
                // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
            } else {
                // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                dp[i][j] = MinInt(MinInt(dp[i][j-1], dp[i-1][j]), dp[i-1][j-1]) + 1
            }
        }
    }
    return dp[n][m]
}
edit_distance.swift
/* 編輯距離：動態規劃 */
func editDistanceDP(s: String, t: String) -> Int {
    let n = s.utf8CString.count
    let m = t.utf8CString.count
    var dp = Array(repeating: Array(repeating: 0, count: m + 1), count: n + 1)
    // 狀態轉移：首行首列
    for i in 1 ... n {
        dp[i][0] = i
    }
    for j in 1 ... m {
        dp[0][j] = j
    }
    // 狀態轉移：其餘行和列
    for i in 1 ... n {
        for j in 1 ... m {
            if s.utf8CString[i - 1] == t.utf8CString[j - 1] {
                // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
            } else {
                // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                dp[i][j] = min(min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1
            }
        }
    }
    return dp[n][m]
}
edit_distance.js
/* 編輯距離：動態規劃 */
function editDistanceDP(s, t) {
    const n = s.length,
        m = t.length;
    const dp = Array.from({ length: n + 1 }, () => new Array(m + 1).fill(0));
    // 狀態轉移：首行首列
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        dp[i][0] = i;
    }
    for (let j = 1; j <= m; j++) {
        dp[0][j] = j;
    }
    // 狀態轉移：其餘行和列
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        for (let j = 1; j <= m; j++) {
            if (s.charAt(i - 1) === t.charAt(j - 1)) {
                // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            } else {
                // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                dp[i][j] =
                    Math.min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1]) + 1;
            }
        }
    }
    return dp[n][m];
}
edit_distance.ts
/* 編輯距離：動態規劃 */
function editDistanceDP(s: string, t: string): number {
    const n = s.length,
        m = t.length;
    const dp = Array.from({ length: n + 1 }, () =>
        Array.from({ length: m + 1 }, () => 0)
    );
    // 狀態轉移：首行首列
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        dp[i][0] = i;
    }
    for (let j = 1; j <= m; j++) {
        dp[0][j] = j;
    }
    // 狀態轉移：其餘行和列
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        for (let j = 1; j <= m; j++) {
            if (s.charAt(i - 1) === t.charAt(j - 1)) {
                // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            } else {
                // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                dp[i][j] =
                    Math.min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1]) + 1;
            }
        }
    }
    return dp[n][m];
}
edit_distance.dart
/* 編輯距離：動態規劃 */
int editDistanceDP(String s, String t) {
  int n = s.length, m = t.length;
  List<List<int>> dp = List.generate(n + 1, (_) => List.filled(m + 1, 0));
  // 狀態轉移：首行首列
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    dp[i][0] = i;
  }
  for (int j = 1; j <= m; j++) {
    dp[0][j] = j;
  }
  // 狀態轉移：其餘行和列
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
      if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
        // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
        dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
      } else {
        // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
        dp[i][j] = min(min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
      }
    }
  }
  return dp[n][m];
}
edit_distance.rs
/* 編輯距離：動態規劃 */
fn edit_distance_dp(s: &str, t: &str) -> i32 {
    let (n, m) = (s.len(), t.len());
    let mut dp = vec![vec![0; m + 1]; n + 1];
    // 狀態轉移：首行首列
    for i in 1..=n {
        dp[i][0] = i as i32;
    }
    for j in 1..m {
        dp[0][j] = j as i32;
    }
    // 狀態轉移：其餘行和列
    for i in 1..=n {
        for j in 1..=m {
            if s.chars().nth(i - 1) == t.chars().nth(j - 1) {
                // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            } else {
                // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                dp[i][j] =
                    std::cmp::min(std::cmp::min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
            }
        }
    }
    dp[n][m]
}
edit_distance.c
/* 編輯距離：動態規劃 */
int editDistanceDP(char *s, char *t, int n, int m) {
    int **dp = malloc((n + 1) * sizeof(int *));
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        dp[i] = calloc(m + 1, sizeof(int));
    }
    // 狀態轉移：首行首列
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        dp[i][0] = i;
    }
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        dp[0][j] = j;
    }
    // 狀態轉移：其餘行和列
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
                // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            } else {
                // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                dp[i][j] = myMin(myMin(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
            }
        }
    }
    int res = dp[n][m];
    // 釋放記憶體
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        free(dp[i]);
    }
    return res;
}
edit_distance.kt
/* 編輯距離：動態規劃 */
fun editDistanceDP(s: String, t: String): Int {
    val n = s.length
    val m = t.length
    val dp = Array(n + 1) { IntArray(m + 1) }
    // 狀態轉移：首行首列
    for (i in 1..n) {
        dp[i][0] = i
    }
    for (j in 1..m) {
        dp[0][j] = j
    }
    // 狀態轉移：其餘行和列
    for (i in 1..n) {
        for (j in 1..m) {
            if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
                // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
            } else {
                // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                dp[i][j] = min(min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1
            }
        }
    }
    return dp[n][m]
}
edit_distance.rb
[class]{}-[func]{edit_distance_dp}
edit_distance.zig
// 編輯距離：動態規劃
fn editDistanceDP(comptime s: []const u8, comptime t: []const u8) i32 {
    comptime var n = s.len;
    comptime var m = t.len;
    var dp = [_][m + 1]i32{[_]i32{0} ** (m + 1)} ** (n + 1);
    // 狀態轉移：首行首列
    for (1..n + 1) |i| {
        dp[i][0] = @intCast(i);
    }
    for (1..m + 1) |j| {
        dp[0][j] = @intCast(j);
    }
    // 狀態轉移：其餘行和列
    for (1..n + 1) |i| {
        for (1..m + 1) |j| {
            if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
                // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            } else {
                // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                dp[i][j] = @min(@min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
            }
        }
    }
    return dp[n][m];
}
視覺化執行

如圖 14-30 所示，編輯距離問題的狀態轉移過程與背包問題非常類似，都可以看作填寫一個二維網格的過程。

編輯距離的動態規劃過程

edit_distance_dp_step2

edit_distance_dp_step3

edit_distance_dp_step4

edit_distance_dp_step5

edit_distance_dp_step6

edit_distance_dp_step7

edit_distance_dp_step8

edit_distance_dp_step9

edit_distance_dp_step10

edit_distance_dp_step11

edit_distance_dp_step12

edit_distance_dp_step13

edit_distance_dp_step14

edit_distance_dp_step15

圖 14-30   編輯距離的動態規劃過程

3.   空間最佳化

由於 \(dp[i,j]\) 是由上方 \(dp[i-1, j]\)、左方 \(dp[i, j-1]\)、左上方 \(dp[i-1, j-1]\) 轉移而來的，而正序走訪會丟失左上方 \(dp[i-1, j-1]\) ，倒序走訪無法提前構建 \(dp[i, j-1]\) ，因此兩種走訪順序都不可取。

為此，我們可以使用一個變數 leftup 來暫存左上方的解 \(dp[i-1, j-1]\) ，從而只需考慮左方和上方的解。此時的情況與完全背包問題相同，可使用正序走訪。程式碼如下所示：

edit_distance.py
def edit_distance_dp_comp(s: str, t: str) -> int:
    """編輯距離：空間最佳化後的動態規劃"""
    n, m = len(s), len(t)
    dp = [0] * (m + 1)
    # 狀態轉移：首行
    for j in range(1, m + 1):
        dp[j] = j
    # 狀態轉移：其餘行
    for i in range(1, n + 1):
        # 狀態轉移：首列
        leftup = dp[0]  # 暫存 dp[i-1, j-1]
        dp[0] += 1
        # 狀態轉移：其餘列
        for j in range(1, m + 1):
            temp = dp[j]
            if s[i - 1] == t[j - 1]:
                # 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                dp[j] = leftup
            else:
                # 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                dp[j] = min(dp[j - 1], dp[j], leftup) + 1
            leftup = temp  # 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
    return dp[m]
edit_distance.cpp
/* 編輯距離：空間最佳化後的動態規劃 */
int editDistanceDPComp(string s, string t) {
    int n = s.length(), m = t.length();
    vector<int> dp(m + 1, 0);
    // 狀態轉移：首行
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        dp[j] = j;
    }
    // 狀態轉移：其餘行
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // 狀態轉移：首列
        int leftup = dp[0]; // 暫存 dp[i-1, j-1]
        dp[0] = i;
        // 狀態轉移：其餘列
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            int temp = dp[j];
            if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
                // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                dp[j] = leftup;
            } else {
                // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                dp[j] = min(min(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1;
            }
            leftup = temp; // 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
        }
    }
    return dp[m];
}
edit_distance.java
/* 編輯距離：空間最佳化後的動態規劃 */
int editDistanceDPComp(String s, String t) {
    int n = s.length(), m = t.length();
    int[] dp = new int[m + 1];
    // 狀態轉移：首行
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        dp[j] = j;
    }
    // 狀態轉移：其餘行
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // 狀態轉移：首列
        int leftup = dp[0]; // 暫存 dp[i-1, j-1]
        dp[0] = i;
        // 狀態轉移：其餘列
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            int temp = dp[j];
            if (s.charAt(i - 1) == t.charAt(j - 1)) {
                // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                dp[j] = leftup;
            } else {
                // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                dp[j] = Math.min(Math.min(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1;
            }
            leftup = temp; // 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
        }
    }
    return dp[m];
}
edit_distance.cs
/* 編輯距離：空間最佳化後的動態規劃 */
int EditDistanceDPComp(string s, string t) {
    int n = s.Length, m = t.Length;
    int[] dp = new int[m + 1];
    // 狀態轉移：首行
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        dp[j] = j;
    }
    // 狀態轉移：其餘行
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // 狀態轉移：首列
        int leftup = dp[0]; // 暫存 dp[i-1, j-1]
        dp[0] = i;
        // 狀態轉移：其餘列
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            int temp = dp[j];
            if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
                // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                dp[j] = leftup;
            } else {
                // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                dp[j] = Math.Min(Math.Min(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1;
            }
            leftup = temp; // 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
        }
    }
    return dp[m];
}
edit_distance.go
/* 編輯距離：空間最佳化後的動態規劃 */
func editDistanceDPComp(s string, t string) int {
    n := len(s)
    m := len(t)
    dp := make([]int, m+1)
    // 狀態轉移：首行
    for j := 1; j <= m; j++ {
        dp[j] = j
    }
    // 狀態轉移：其餘行
    for i := 1; i <= n; i++ {
        // 狀態轉移：首列
        leftUp := dp[0] // 暫存 dp[i-1, j-1]
        dp[0] = i
        // 狀態轉移：其餘列
        for j := 1; j <= m; j++ {
            temp := dp[j]
            if s[i-1] == t[j-1] {
                // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                dp[j] = leftUp
            } else {
                // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                dp[j] = MinInt(MinInt(dp[j-1], dp[j]), leftUp) + 1
            }
            leftUp = temp // 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
        }
    }
    return dp[m]
}
edit_distance.swift
/* 編輯距離：空間最佳化後的動態規劃 */
func editDistanceDPComp(s: String, t: String) -> Int {
    let n = s.utf8CString.count
    let m = t.utf8CString.count
    var dp = Array(repeating: 0, count: m + 1)
    // 狀態轉移：首行
    for j in 1 ... m {
        dp[j] = j
    }
    // 狀態轉移：其餘行
    for i in 1 ... n {
        // 狀態轉移：首列
        var leftup = dp[0] // 暫存 dp[i-1, j-1]
        dp[0] = i
        // 狀態轉移：其餘列
        for j in 1 ... m {
            let temp = dp[j]
            if s.utf8CString[i - 1] == t.utf8CString[j - 1] {
                // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                dp[j] = leftup
            } else {
                // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                dp[j] = min(min(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1
            }
            leftup = temp // 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
        }
    }
    return dp[m]
}
edit_distance.js
/* 編輯距離：狀態壓縮後的動態規劃 */
function editDistanceDPComp(s, t) {
    const n = s.length,
        m = t.length;
    const dp = new Array(m + 1).fill(0);
    // 狀態轉移：首行
    for (let j = 1; j <= m; j++) {
        dp[j] = j;
    }
    // 狀態轉移：其餘行
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        // 狀態轉移：首列
        let leftup = dp[0]; // 暫存 dp[i-1, j-1]
        dp[0] = i;
        // 狀態轉移：其餘列
        for (let j = 1; j <= m; j++) {
            const temp = dp[j];
            if (s.charAt(i - 1) === t.charAt(j - 1)) {
                // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                dp[j] = leftup;
            } else {
                // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                dp[j] = Math.min(dp[j - 1], dp[j], leftup) + 1;
            }
            leftup = temp; // 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
        }
    }
    return dp[m];
}
edit_distance.ts
/* 編輯距離：狀態壓縮後的動態規劃 */
function editDistanceDPComp(s: string, t: string): number {
    const n = s.length,
        m = t.length;
    const dp = new Array(m + 1).fill(0);
    // 狀態轉移：首行
    for (let j = 1; j <= m; j++) {
        dp[j] = j;
    }
    // 狀態轉移：其餘行
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        // 狀態轉移：首列
        let leftup = dp[0]; // 暫存 dp[i-1, j-1]
        dp[0] = i;
        // 狀態轉移：其餘列
        for (let j = 1; j <= m; j++) {
            const temp = dp[j];
            if (s.charAt(i - 1) === t.charAt(j - 1)) {
                // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                dp[j] = leftup;
            } else {
                // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                dp[j] = Math.min(dp[j - 1], dp[j], leftup) + 1;
            }
            leftup = temp; // 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
        }
    }
    return dp[m];
}
edit_distance.dart
/* 編輯距離：空間最佳化後的動態規劃 */
int editDistanceDPComp(String s, String t) {
  int n = s.length, m = t.length;
  List<int> dp = List.filled(m + 1, 0);
  // 狀態轉移：首行
  for (int j = 1; j <= m; j++) {
    dp[j] = j;
  }
  // 狀態轉移：其餘行
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    // 狀態轉移：首列
    int leftup = dp[0]; // 暫存 dp[i-1, j-1]
    dp[0] = i;
    // 狀態轉移：其餘列
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
      int temp = dp[j];
      if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
        // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
        dp[j] = leftup;
      } else {
        // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
        dp[j] = min(min(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1;
      }
      leftup = temp; // 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
    }
  }
  return dp[m];
}
edit_distance.rs
/* 編輯距離：空間最佳化後的動態規劃 */
fn edit_distance_dp_comp(s: &str, t: &str) -> i32 {
    let (n, m) = (s.len(), t.len());
    let mut dp = vec![0; m + 1];
    // 狀態轉移：首行
    for j in 1..m {
        dp[j] = j as i32;
    }
    // 狀態轉移：其餘行
    for i in 1..=n {
        // 狀態轉移：首列
        let mut leftup = dp[0]; // 暫存 dp[i-1, j-1]
        dp[0] = i as i32;
        // 狀態轉移：其餘列
        for j in 1..=m {
            let temp = dp[j];
            if s.chars().nth(i - 1) == t.chars().nth(j - 1) {
                // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                dp[j] = leftup;
            } else {
                // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                dp[j] = std::cmp::min(std::cmp::min(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1;
            }
            leftup = temp; // 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
        }
    }
    dp[m]
}
edit_distance.c
/* 編輯距離：空間最佳化後的動態規劃 */
int editDistanceDPComp(char *s, char *t, int n, int m) {
    int *dp = calloc(m + 1, sizeof(int));
    // 狀態轉移：首行
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        dp[j] = j;
    }
    // 狀態轉移：其餘行
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // 狀態轉移：首列
        int leftup = dp[0]; // 暫存 dp[i-1, j-1]
        dp[0] = i;
        // 狀態轉移：其餘列
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            int temp = dp[j];
            if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
                // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                dp[j] = leftup;
            } else {
                // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                dp[j] = myMin(myMin(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1;
            }
            leftup = temp; // 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
        }
    }
    int res = dp[m];
    // 釋放記憶體
    free(dp);
    return res;
}
edit_distance.kt
/* 編輯距離：空間最佳化後的動態規劃 */
fun editDistanceDPComp(s: String, t: String): Int {
    val n = s.length
    val m = t.length
    val dp = IntArray(m + 1)
    // 狀態轉移：首行
    for (j in 1..m) {
        dp[j] = j
    }
    // 狀態轉移：其餘行
    for (i in 1..n) {
        // 狀態轉移：首列
        var leftup = dp[0] // 暫存 dp[i-1, j-1]
        dp[0] = i
        // 狀態轉移：其餘列
        for (j in 1..m) {
            val temp = dp[j]
            if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
                // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                dp[j] = leftup
            } else {
                // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                dp[j] = min(min(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1
            }
            leftup = temp // 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
        }
    }
    return dp[m]
}
edit_distance.rb
[class]{}-[func]{edit_distance_dp_comp}
edit_distance.zig
// 編輯距離：空間最佳化後的動態規劃
fn editDistanceDPComp(comptime s: []const u8, comptime t: []const u8) i32 {
    comptime var n = s.len;
    comptime var m = t.len;
    var dp = [_]i32{0} ** (m + 1);
    // 狀態轉移：首行
    for (1..m + 1) |j| {
        dp[j] = @intCast(j);
    }
    // 狀態轉移：其餘行
    for (1..n + 1) |i| {
        // 狀態轉移：首列
        var leftup = dp[0]; // 暫存 dp[i-1, j-1]
        dp[0] = @intCast(i);
        // 狀態轉移：其餘列
        for (1..m + 1) |j| {
            var temp = dp[j];
            if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
                // 若兩字元相等，則直接跳過此兩字元
                dp[j] = leftup;
            } else {
                // 最少編輯步數 = 插入、刪除、替換這三種操作的最少編輯步數 + 1
                dp[j] = @min(@min(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1;
            }
            leftup = temp; // 更新為下一輪的 dp[i-1, j-1]
        }
    }
    return dp[m];
}
視覺化執行