--- comments: true --- # 二叉树 「二叉树 Binary Tree」是一种非线性数据结构，代表着祖先与后代之间的派生关系，体现着“一分为二”的分治逻辑。类似于链表，二叉树也是以结点为单位存储的，结点包含「值」和两个「指针」。 === "Java" ```java title="" /* 链表结点类 */ class TreeNode { int val; // 结点值 TreeNode left; // 左子结点指针 TreeNode right; // 右子结点指针 TreeNode(int x) { val = x; } } ``` === "C++" ```cpp title="" /* 链表结点结构体 */ struct TreeNode { int val; // 结点值 TreeNode *left; // 左子结点指针 TreeNode *right; // 右子结点指针 TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {} }; ``` === "Python" ```python title="" """ 链表结点类 """ class TreeNode: def __init__(self, val=None, left=None, right=None): self.val = val # 结点值 self.left = left # 左子结点指针 self.right = right # 右子结点指针 ``` === "Go" ```go title="" /* 链表结点类 */ type TreeNode struct { Val int Left *TreeNode Right *TreeNode } /* 结点初始化方法 */ func NewTreeNode(v int) *TreeNode { return &TreeNode{ Left: nil, Right: nil, Val: v, } } ``` === "JavaScript" ```javascript title="" /* 链表结点类 */ function TreeNode(val, left, right) { this.val = (val === undefined ? 0 : val); // 结点值 this.left = (left === undefined ? null : left); // 左子结点指针 this.right = (right === undefined ? null : right); // 右子结点指针 } ``` === "TypeScript" ```typescript title="" /* 链表结点类 */ class TreeNode { val: number; left: TreeNode | null; right: TreeNode | null; constructor(val?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) { this.val = val === undefined ? 0 : val; // 结点值 this.left = left === undefined ? null : left; // 左子结点指针 this.right = right === undefined ? null : right; // 右子结点指针 } } ``` === "C" ```c title="" ``` === "C#" ```csharp title="" /* 链表结点类 */ class TreeNode { int val; // 结点值 TreeNode? left; // 左子结点指针 TreeNode? right; // 右子结点指针 TreeNode(int x) { val = x; } } ``` === "Swift" ```swift title="" /* 链表结点类 */ class TreeNode { var val: Int // 结点值 var left: TreeNode? // 左子结点指针 var right: TreeNode? // 右子结点指针 init(x: Int) { val = x } } ``` === "Zig" ```zig title="" ``` 结点的两个指针分别指向「左子结点 Left Child Node」和「右子结点 Right Child Node」，并且称该结点为两个子结点的「父结点 Parent Node」。给定二叉树某结点，将左子结点以下的树称为该结点的「左子树 Left Subtree」，右子树同理。 除了叶结点外，每个结点都有子结点和子树。例如，若将下图的「结点 2」看作父结点，那么其左子结点和右子结点分别为「结点 4」和「结点 5」，左子树和右子树分别为「结点 4 及其以下结点形成的树」和「结点 5 及其以下结点形成的树」。 ![binary_tree_definition](binary_tree.assets/binary_tree_definition.png)

Fig. 子结点与子树

## 二叉树常见术语 二叉树的术语较多，建议尽量理解并记住。后续可能遗忘，可以在需要使用时回来查看确认。 - 「根结点 Root Node」：二叉树最顶层的结点，其没有父结点； - 「叶结点 Leaf Node」：没有子结点的结点，其两个指针都指向 $\text{null}$ ； - 结点所处「层 Level」：从顶至底依次增加，根结点所处层为 1 ； - 结点「度 Degree」：结点的子结点数量。二叉树中，度的范围是 0, 1, 2 ； - 「边 Edge」：连接两个结点的边，即结点指针； - 二叉树「高度」：二叉树中根结点到最远叶结点走过边的数量； - 结点「深度 Depth」 ：根结点到该结点走过边的数量； - 结点「高度 Height」：最远叶结点到该结点走过边的数量； ![binary_tree_terminology](binary_tree.assets/binary_tree_terminology.png)

Fig. 二叉树的常见术语

!!! tip "高度与深度的定义" 值得注意，我们通常将「高度」和「深度」定义为“走过边的数量”，而有些题目或教材会将其定义为“走过结点的数量”，此时高度或深度都需要 + 1 。 ## 二叉树基本操作 **初始化二叉树**。与链表类似，先初始化结点，再构建引用指向（即指针）。 === "Java" ```java title="binary_tree.java" // 初始化结点 TreeNode n1 = new TreeNode(1); TreeNode n2 = new TreeNode(2); TreeNode n3 = new TreeNode(3); TreeNode n4 = new TreeNode(4); TreeNode n5 = new TreeNode(5); // 构建引用指向（即指针） n1.left = n2; n1.right = n3; n2.left = n4; n2.right = n5; ``` === "C++" ```cpp title="binary_tree.cpp" /* 初始化二叉树 */ // 初始化结点 TreeNode* n1 = new TreeNode(1); TreeNode* n2 = new TreeNode(2); TreeNode* n3 = new TreeNode(3); TreeNode* n4 = new TreeNode(4); TreeNode* n5 = new TreeNode(5); // 构建引用指向（即指针） n1->left = n2; n1->right = n3; n2->left = n4; n2->right = n5; ``` === "Python" ```python title="binary_tree.py" """ 初始化二叉树 """ # 初始化结点 n1 = TreeNode(val=1) n2 = TreeNode(val=2) n3 = TreeNode(val=3) n4 = TreeNode(val=4) n5 = TreeNode(val=5) # 构建引用指向（即指针） n1.left = n2 n1.right = n3 n2.left = n4 n2.right = n5 ``` === "Go" ```go title="binary_tree.go" /* 初始化二叉树 */ // 初始化结点 n1 := NewTreeNode(1) n2 := NewTreeNode(2) n3 := NewTreeNode(3) n4 := NewTreeNode(4) n5 := NewTreeNode(5) // 构建引用指向（即指针） n1.Left = n2 n1.Right = n3 n2.Left = n4 n2.Right = n5 ``` === "JavaScript" ```javascript title="binary_tree.js" /* 初始化二叉树 */ // 初始化结点 let n1 = new TreeNode(1), n2 = new TreeNode(2), n3 = new TreeNode(3), n4 = new TreeNode(4), n5 = new TreeNode(5); // 构建引用指向（即指针） n1.left = n2; n1.right = n3; n2.left = n4; n2.right = n5; ``` === "TypeScript" ```typescript title="binary_tree.ts" /* 初始化二叉树 */ // 初始化结点 let n1 = new TreeNode(1), n2 = new TreeNode(2), n3 = new TreeNode(3), n4 = new TreeNode(4), n5 = new TreeNode(5); // 构建引用指向（即指针） n1.left = n2; n1.right = n3; n2.left = n4; n2.right = n5; ``` === "C" ```c title="binary_tree.c" ``` === "C#" ```csharp title="binary_tree.cs" /* 初始化二叉树 */ // 初始化结点 TreeNode n1 = new TreeNode(1); TreeNode n2 = new TreeNode(2); TreeNode n3 = new TreeNode(3); TreeNode n4 = new TreeNode(4); TreeNode n5 = new TreeNode(5); // 构建引用指向（即指针） n1.left = n2; n1.right = n3; n2.left = n4; n2.right = n5; ``` === "Swift" ```swift title="binary_tree.swift" // 初始化结点 let n1 = TreeNode(x: 1) let n2 = TreeNode(x: 2) let n3 = TreeNode(x: 3) let n4 = TreeNode(x: 4) let n5 = TreeNode(x: 5) // 构建引用指向（即指针） n1.left = n2 n1.right = n3 n2.left = n4 n2.right = n5 ``` === "Zig" ```zig title="binary_tree.zig" ``` **插入与删除结点**。与链表类似，插入与删除结点都可以通过修改指针实现。 ![binary_tree_add_remove](binary_tree.assets/binary_tree_add_remove.png)

Fig. 在二叉树中插入与删除结点

=== "Java" ```java title="binary_tree.java" TreeNode P = new TreeNode(0); // 在 n1 -> n2 中间插入结点 P n1.left = P; P.left = n2; // 删除结点 P n1.left = n2; ``` === "C++" ```cpp title="binary_tree.cpp" /* 插入与删除结点 */ TreeNode* P = new TreeNode(0); // 在 n1 -> n2 中间插入结点 P n1->left = P; P->left = n2; // 删除结点 P n1->left = n2; ``` === "Python" ```python title="binary_tree.py" """ 插入与删除结点 """ p = TreeNode(0) # 在 n1 -> n2 中间插入结点 P n1.left = p p.left = n2 # 删除结点 P n1.left = n2 ``` === "Go" ```go title="binary_tree.go" /* 插入与删除结点 */ // 在 n1 -> n2 中间插入结点 P p := NewTreeNode(0) n1.Left = p p.Left = n2 // 删除结点 P n1.Left = n2 ``` === "JavaScript" ```javascript title="binary_tree.js" /* 插入与删除结点 */ let P = new TreeNode(0); // 在 n1 -> n2 中间插入结点 P n1.left = P; P.left = n2; // 删除结点 P n1.left = n2; ``` === "TypeScript" ```typescript title="binary_tree.ts" /* 插入与删除结点 */ const P = new TreeNode(0); // 在 n1 -> n2 中间插入结点 P n1.left = P; P.left = n2; // 删除结点 P n1.left = n2; ``` === "C" ```c title="binary_tree.c" ``` === "C#" ```csharp title="binary_tree.cs" /* 插入与删除结点 */ TreeNode P = new TreeNode(0); // 在 n1 -> n2 中间插入结点 P n1.left = P; P.left = n2; // 删除结点 P n1.left = n2; ``` === "Swift" ```swift title="binary_tree.swift" let P = TreeNode(x: 0) // 在 n1 -> n2 中间插入结点 P n1.left = P P.left = n2 // 删除结点 P n1.left = n2 ``` === "Zig" ```zig title="binary_tree.zig" ``` !!! note 插入结点会改变二叉树的原有逻辑结构，删除结点往往意味着删除了该结点的所有子树。因此，二叉树中的插入与删除一般都是由一套操作配合完成的，这样才能实现有意义的操作。 ## 常见二叉树类型 ### 完美二叉树 「完美二叉树 Perfect Binary Tree」的所有层的结点都被完全填满。在完美二叉树中，所有结点的度 = 2 ；若树高度 $= h$ ，则结点总数 $= 2^{h+1} - 1$ ，呈标准的指数级关系，反映着自然界中常见的细胞分裂。 !!! tip 在中文社区中，完美二叉树常被称为「满二叉树」，请注意与完满二叉树区分。 ![perfect_binary_tree](binary_tree.assets/perfect_binary_tree.png) ### 完全二叉树 「完全二叉树 Complete Binary Tree」只有最底层的结点未被填满，且最底层结点尽量靠左填充。 **完全二叉树非常适合用数组来表示**。如果按照层序遍历序列的顺序来存储，那么空结点 `null` 一定全部出现在序列的尾部，因此我们就可以不用存储这些 null 了。 ![complete_binary_tree](binary_tree.assets/complete_binary_tree.png) ### 完满二叉树 「完满二叉树 Full Binary Tree」除了叶结点之外，其余所有结点都有两个子结点。 ![full_binary_tree](binary_tree.assets/full_binary_tree.png) ### 平衡二叉树 「平衡二叉树 Balanced Binary Tree」中任意结点的左子树和右子树的高度之差的绝对值 $\leq 1$ 。 ![balanced_binary_tree](binary_tree.assets/balanced_binary_tree.png) ## 二叉树的退化 当二叉树的每层的结点都被填满时，达到「完美二叉树」；而当所有结点都偏向一边时，二叉树退化为「链表」。 - 完美二叉树是一个二叉树的“最佳状态”，可以完全发挥出二叉树“分治”的优势； - 链表则是另一个极端，各项操作都变为线性操作，时间复杂度退化至 $O(n)$ ； ![binary_tree_corner_cases](binary_tree.assets/binary_tree_corner_cases.png)

Fig. 二叉树的最佳和最差结构

如下表所示，在最佳和最差结构下，二叉树的叶结点数量、结点总数、高度等达到极大或极小值。
| | 完美二叉树 | 链表 | | ----------------------------- | ---------- | ---------- | | 第 $i$ 层的结点数量 | $2^{i-1}$ | $1$ | | 树的高度为 $h$ 时的叶结点数量 | $2^h$ | $1$ | | 树的高度为 $h$ 时的结点总数 | $2^{h+1} - 1$ | $h + 1$ | | 树的结点总数为 $n$ 时的高度 | $\log_2 (n+1) - 1$ | $n - 1$ |
## 二叉树表示方式 * 我们一般使用二叉树的「链表表示」，即存储单位为结点 `TreeNode` ，结点之间通过指针（引用）相连接。本文前述示例代码展示了二叉树在链表表示下的各项基本操作。 那能否可以用「数组表示」二叉树呢？答案是肯定的。先来分析一个简单案例，给定一个「完美二叉树」，将结点按照层序遍历的顺序编号（从 0 开始），那么可以推导得出父结点索引与子结点索引之间的「映射公式」：**设结点的索引为 $i$ ，则该结点的左子结点索引为 $2i + 1$ 、右子结点索引为 $2i + 2$** 。 **本质上，映射公式的作用就是链表中的指针**。对于层序遍历序列中的任意结点，我们都可以使用映射公式来访问子结点。因此，可以直接使用层序遍历序列（即数组）来表示完美二叉树。 ![array_representation_mapping](binary_tree.assets/array_representation_mapping.png) 然而，完美二叉树只是个例，二叉树中间层往往存在许多空结点（即 `null` ），而层序遍历序列并不包含这些空结点，并且我们无法单凭序列来猜测空结点的数量和分布位置，**即理论上存在许多种二叉树都符合该层序遍历序列**。显然，这种情况无法使用数组来存储二叉树。 ![array_representation_without_empty](binary_tree.assets/array_representation_without_empty.png) 为了解决此问题，考虑按照完美二叉树的形式来表示所有二叉树，**即在序列中使用特殊符号来显式地表示“空位”**。如下图所示，这样处理后，序列（数组）就可以唯一表示二叉树了。 === "Java" ```java title="" /* 二叉树的数组表示 */ // 使用 int 的包装类 Integer ，就可以使用 null 来标记空位 Integer[] tree = { 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 }; ``` === "C++" ```cpp title="" /* 二叉树的数组表示 */ // 为了符合数据类型为 int ，使用 int 最大值标记空位 // 该方法的使用前提是没有结点的值 = INT_MAX vector tree = { 1, 2, 3, 4, INT_MAX, 6, 7, 8, 9, INT_MAX, INT_MAX, 12, INT_MAX, INT_MAX, 15 }; ``` === "Python" ```python title="" """ 二叉树的数组表示 """ # 直接使用 None 来表示空位 tree = [1, 2, 3, 4, None, 6, 7, 8, 9, None, None, 12, None, None, 15] ``` === "Go" ```go title="" ``` === "JavaScript" ```javascript title="" /* 二叉树的数组表示 */ // 直接使用 null 来表示空位 let tree = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15]; ``` === "TypeScript" ```typescript title="" /* 二叉树的数组表示 */ // 直接使用 null 来表示空位 let tree: (number | null)[] = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15]; ``` === "C" ```c title="" ``` === "C#" ```csharp title="" /* 二叉树的数组表示 */ // 使用 int? 可空类型 ，就可以使用 null 来标记空位 int?[] tree = { 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 }; ``` === "Swift" ```swift title="" /* 二叉树的数组表示 */ // 使用 Int? 可空类型 ，就可以使用 nil 来标记空位 let tree: [Int?] = [1, 2, 3, 4, nil, 6, 7, 8, 9, nil, nil, 12, nil, nil, 15] ``` === "Zig" ```zig title="" ``` ![array_representation_with_empty](binary_tree.assets/array_representation_with_empty.png) 回顾「完全二叉树」的定义，其只有最底层有空结点，并且最底层的结点尽量靠左，因而所有空结点都一定出现在层序遍历序列的末尾。**因为我们先验地确定了空位的位置，所以在使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储“空位”**。因此，完全二叉树非常适合使用数组来表示。 ![array_representation_complete_binary_tree](binary_tree.assets/array_representation_complete_binary_tree.png) 数组表示有两个优点： 一是不需要存储指针，节省空间；二是可以随机访问结点。然而，当二叉树中的“空位”很多时，数组中只包含很少结点的数据，空间利用率很低。