9.3 图的遍历¶

树代表的是“一对多”的关系，而图则具有更高的自由度，可以表示任意的“多对多”关系。因此，我们可以把树看作是图的一种特例。显然，树的遍历操作也是图的遍历操作的一种特例。

图和树都都需要应用搜索算法来实现遍历操作。图的遍历方式可分为两种：「广度优先遍历 breadth-first traversal」和「深度优先遍历 depth-first traversal」。它们也常被称为「广度优先搜索 breadth-first search」和「深度优先搜索 depth-first search」，简称 BFS 和 DFS 。

9.3.1 广度优先遍历¶

广度优先遍历是一种由近及远的遍历方式，从某个节点出发，始终优先访问距离最近的顶点，并一层层向外扩张。如图 9-9 所示，从左上角顶点出发，先遍历该顶点的所有邻接顶点，然后遍历下一个顶点的所有邻接顶点，以此类推，直至所有顶点访问完毕。

图的广度优先遍历

图 9-9 图的广度优先遍历

1. 算法实现¶

BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这与 BFS 的“由近及远”的思想异曲同工。

将遍历起始顶点 startVet 加入队列，并开启循环。
在循环的每轮迭代中，弹出队首顶点并记录访问，然后将该顶点的所有邻接顶点加入到队列尾部。
循环步骤 2. ，直到所有顶点被访问完成后结束。

为了防止重复遍历顶点，我们需要借助一个哈希表 visited 来记录哪些节点已被访问。

JavaC++PythonGoJSTSCC#SwiftZigDartRust

graph_bfs.java

/* 广度优先遍历 BFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
List<Vertex> graphBFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
    // 顶点遍历序列
    List<Vertex> res = new ArrayList<>();
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    Set<Vertex> visited = new HashSet<>();
    visited.add(startVet);
    // 队列用于实现 BFS
    Queue<Vertex> que = new LinkedList<>();
    que.offer(startVet);
    // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    while (!que.isEmpty()) {
        Vertex vet = que.poll(); // 队首顶点出队
        res.add(vet);            // 记录访问顶点
        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) {
            if (visited.contains(adjVet))
                continue;        // 跳过已被访问过的顶点
            que.offer(adjVet);   // 只入队未访问的顶点
            visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
        }
    }
    // 返回顶点遍历序列
    return res;
}

graph_bfs.cpp

/* 广度优先遍历 BFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
vector<Vertex *> graphBFS(GraphAdjList &graph, Vertex *startVet) {
    // 顶点遍历序列
    vector<Vertex *> res;
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    unordered_set<Vertex *> visited = {startVet};
    // 队列用于实现 BFS
    queue<Vertex *> que;
    que.push(startVet);
    // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    while (!que.empty()) {
        Vertex *vet = que.front();
        que.pop();          // 队首顶点出队
        res.push_back(vet); // 记录访问顶点
        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for (auto adjVet : graph.adjList[vet]) {
            if (visited.count(adjVet))
                continue;            // 跳过已被访问过的顶点
            que.push(adjVet);        // 只入队未访问的顶点
            visited.emplace(adjVet); // 标记该顶点已被访问
        }
    }
    // 返回顶点遍历序列
    return res;
}

graph_bfs.py

def graph_bfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> list[Vertex]:
    """广度优先遍历 BFS"""
    # 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
    # 顶点遍历序列
    res = []
    # 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    visited = set[Vertex]([start_vet])
    # 队列用于实现 BFS
    que = deque[Vertex]([start_vet])
    # 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    while len(que) > 0:
        vet = que.popleft()  # 队首顶点出队
        res.append(vet)  # 记录访问顶点
        # 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for adj_vet in graph.adj_list[vet]:
            if adj_vet in visited:
                continue  # 跳过已被访问过的顶点
            que.append(adj_vet)  # 只入队未访问的顶点
            visited.add(adj_vet)  # 标记该顶点已被访问
    # 返回顶点遍历序列
    return res

graph_bfs.go

/* 广度优先遍历 BFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
func graphBFS(g *graphAdjList, startVet Vertex) []Vertex {
    // 顶点遍历序列
    res := make([]Vertex, 0)
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    visited := make(map[Vertex]struct{})
    visited[startVet] = struct{}{}
    // 队列用于实现 BFS, 使用切片模拟队列
    queue := make([]Vertex, 0)
    queue = append(queue, startVet)
    // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    for len(queue) > 0 {
        // 队首顶点出队
        vet := queue[0]
        queue = queue[1:]
        // 记录访问顶点
        res = append(res, vet)
        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for _, adjVet := range g.adjList[vet] {
            _, isExist := visited[adjVet]
            // 只入队未访问的顶点
            if !isExist {
                queue = append(queue, adjVet)
                visited[adjVet] = struct{}{}
            }
        }
    }
    // 返回顶点遍历序列
    return res
}

graph_bfs.js

/* 广度优先遍历 BFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
function graphBFS(graph, startVet) {
    // 顶点遍历序列
    const res = [];
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    const visited = new Set();
    visited.add(startVet);
    // 队列用于实现 BFS
    const que = [startVet];
    // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    while (que.length) {
        const vet = que.shift(); // 队首顶点出队
        res.push(vet); // 记录访问顶点
        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for (const adjVet of graph.adjList.get(vet) ?? []) {
            if (visited.has(adjVet)) {
                continue; // 跳过已被访问过的顶点
            }
            que.push(adjVet); // 只入队未访问的顶点
            visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
        }
    }
    // 返回顶点遍历序列
    return res;
}

graph_bfs.ts

/* 广度优先遍历 BFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
function graphBFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex): Vertex[] {
    // 顶点遍历序列
    const res: Vertex[] = [];
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    const visited: Set<Vertex> = new Set();
    visited.add(startVet);
    // 队列用于实现 BFS
    const que = [startVet];
    // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    while (que.length) {
        const vet = que.shift(); // 队首顶点出队
        res.push(vet); // 记录访问顶点
        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for (const adjVet of graph.adjList.get(vet) ?? []) {
            if (visited.has(adjVet)) {
                continue; // 跳过已被访问过的顶点
            }
            que.push(adjVet); // 只入队未访问
            visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
        }
    }
    // 返回顶点遍历序列
    return res;
}

graph_bfs.c

/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
Vertex **graphBFS(graphAdjList *t, Vertex *startVet) {
    // 顶点遍历序列
    Vertex **res = (Vertex **)malloc(sizeof(Vertex *) * t->size);
    memset(res, 0, sizeof(Vertex *) * t->size);
    // 队列用于实现 BFS
    queue *que = newQueue(t->size);
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    hashTable *visited = newHash(t->size);
    int resIndex = 0;
    queuePush(que, startVet);         // 将第一个元素入队
    hashMark(visited, startVet->pos); // 标记第一个入队的顶点
    // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    while (que->head < que->tail) {
        // 遍历该顶点的边链表，将所有与该顶点有连接的，并且未被标记的顶点入队
        Node *n = queueTop(que)->linked->head->next;
        while (n != 0) {
            // 查询哈希表，若该索引的顶点已入队，则跳过，否则入队并标记
            if (hashQuery(visited, n->val->pos) == 1) {
                n = n->next;
                continue; // 跳过已被访问过的顶点
            }
            queuePush(que, n->val);         // 只入队未访问的顶点
            hashMark(visited, n->val->pos); // 标记该顶点已被访问
        }
        // 队首元素存入数组
        res[resIndex] = queueTop(que); // 队首顶点加入顶点遍历序列
        resIndex++;
        queuePop(que); // 队首元素出队
    }
    // 释放内存
    freeQueue(que);
    freeHash(visited);
    resIndex = 0;
    // 返回顶点遍历序列
    return res;
}

graph_bfs.cs

/* 广度优先遍历 BFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
List<Vertex> graphBFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
    // 顶点遍历序列
    List<Vertex> res = new List<Vertex>();
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    HashSet<Vertex> visited = new HashSet<Vertex>() { startVet };
    // 队列用于实现 BFS
    Queue<Vertex> que = new Queue<Vertex>();
    que.Enqueue(startVet);
    // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    while (que.Count > 0) {
        Vertex vet = que.Dequeue(); // 队首顶点出队
        res.Add(vet);               // 记录访问顶点
        foreach (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]) {
            if (visited.Contains(adjVet)) {
                continue;          // 跳过已被访问过的顶点
            }
            que.Enqueue(adjVet);   // 只入队未访问的顶点
            visited.Add(adjVet);   // 标记该顶点已被访问
        }
    }

    // 返回顶点遍历序列
    return res;
}

graph_bfs.swift

/* 广度优先遍历 BFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
func graphBFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex) -> [Vertex] {
    // 顶点遍历序列
    var res: [Vertex] = []
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    var visited: Set<Vertex> = [startVet]
    // 队列用于实现 BFS
    var que: [Vertex] = [startVet]
    // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    while !que.isEmpty {
        let vet = que.removeFirst() // 队首顶点出队
        res.append(vet) // 记录访问顶点
        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for adjVet in graph.adjList[vet] ?? [] {
            if visited.contains(adjVet) {
                continue // 跳过已被访问过的顶点
            }
            que.append(adjVet) // 只入队未访问的顶点
            visited.insert(adjVet) // 标记该顶点已被访问
        }
    }
    // 返回顶点遍历序列
    return res
}

graph_bfs.zig

[class]{}-[func]{graphBFS}

graph_bfs.dart

/* 广度优先遍历 BFS */
List<Vertex> graphBFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
  // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
  // 顶点遍历序列
  List<Vertex> res = [];
  // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
  Set<Vertex> visited = {};
  visited.add(startVet);
  // 队列用于实现 BFS
  Queue<Vertex> que = Queue();
  que.add(startVet);
  // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
  while (que.isNotEmpty) {
    Vertex vet = que.removeFirst(); // 队首顶点出队
    res.add(vet); // 记录访问顶点
    // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    for (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]!) {
      if (visited.contains(adjVet)) {
        continue; // 跳过已被访问过的顶点
      }
      que.add(adjVet); // 只入队未访问的顶点
      visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
    }
  }
  // 返回顶点遍历序列
  return res;
}

graph_bfs.rs

/* 广度优先遍历 BFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
fn graph_bfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> Vec<Vertex> {
    // 顶点遍历序列
    let mut res = vec![];
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    let mut visited = HashSet::new();
    visited.insert(start_vet);
    // 队列用于实现 BFS
    let mut que = VecDeque::new();
    que.push_back(start_vet);
    // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
    while !que.is_empty() {
        let vet = que.pop_front().unwrap(); // 队首顶点出队
        res.push(vet); // 记录访问顶点
                    // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        if let Some(adj_vets) = graph.adj_list.get(&vet) {
            for &adj_vet in adj_vets {
                if visited.contains(&adj_vet) {
                    continue; // 跳过已被访问过的顶点
                }
                que.push_back(adj_vet); // 只入队未访问的顶点
                visited.insert(adj_vet); // 标记该顶点已被访问
            }
        }
    }
    // 返回顶点遍历序列
    res
}

代码相对抽象，建议对照图 9-10 来加深理解。

图 9-10 图的广度优先遍历步骤

广度优先遍历的序列是否唯一？

不唯一。广度优先遍历只要求按“由近及远”的顺序遍历，而多个相同距离的顶点的遍历顺序是允许被任意打乱的。以图 9-10 为例，顶点 \(1\)、\(3\) 的访问顺序可以交换、顶点 \(2\)、\(4\)、\(6\) 的访问顺序也可以任意交换。

2. 复杂度分析¶

时间复杂度： 所有顶点都会入队并出队一次，使用 \(O(|V|)\) 时间；在遍历邻接顶点的过程中，由于是无向图，因此所有边都会被访问 \(2\) 次，使用 \(O(2|E|)\) 时间；总体使用 \(O(|V| + |E|)\) 时间。

空间复杂度： 列表 res ，哈希表 visited ，队列 que 中的顶点数量最多为 \(|V|\) ，使用 \(O(|V|)\) 空间。

9.3.2 深度优先遍历¶

深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式。如图 9-11 所示，从左上角顶点出发，访问当前顶点的某个邻接顶点，直到走到尽头时返回，再继续走到尽头并返回，以此类推，直至所有顶点遍历完成。

图的深度优先遍历

图 9-11 图的深度优先遍历

1. 算法实现¶

这种“走到尽头再返回”的算法范式通常基于递归来实现。与广度优先遍历类似，在深度优先遍历中我们也需要借助一个哈希表 visited 来记录已被访问的顶点，以避免重复访问顶点。

JavaC++PythonGoJSTSCC#SwiftZigDartRust

graph_dfs.java

/* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
void dfs(GraphAdjList graph, Set<Vertex> visited, List<Vertex> res, Vertex vet) {
    res.add(vet);     // 记录访问顶点
    visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问
    // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) {
        if (visited.contains(adjVet))
            continue; // 跳过已被访问过的顶点
        // 递归访问邻接顶点
        dfs(graph, visited, res, adjVet);
    }
}

/* 深度优先遍历 DFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
List<Vertex> graphDFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
    // 顶点遍历序列
    List<Vertex> res = new ArrayList<>();
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    Set<Vertex> visited = new HashSet<>();
    dfs(graph, visited, res, startVet);
    return res;
}

graph_dfs.cpp

/* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
void dfs(GraphAdjList &graph, unordered_set<Vertex *> &visited, vector<Vertex *> &res, Vertex *vet) {
    res.push_back(vet);   // 记录访问顶点
    visited.emplace(vet); // 标记该顶点已被访问
    // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    for (Vertex *adjVet : graph.adjList[vet]) {
        if (visited.count(adjVet))
            continue; // 跳过已被访问过的顶点
        // 递归访问邻接顶点
        dfs(graph, visited, res, adjVet);
    }
}

/* 深度优先遍历 DFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
vector<Vertex *> graphDFS(GraphAdjList &graph, Vertex *startVet) {
    // 顶点遍历序列
    vector<Vertex *> res;
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    unordered_set<Vertex *> visited;
    dfs(graph, visited, res, startVet);
    return res;
}

graph_dfs.py

def dfs(graph: GraphAdjList, visited: set[Vertex], res: list[Vertex], vet: Vertex):
    """深度优先遍历 DFS 辅助函数"""
    res.append(vet)  # 记录访问顶点
    visited.add(vet)  # 标记该顶点已被访问
    # 遍历该顶点的所有邻接顶点
    for adjVet in graph.adj_list[vet]:
        if adjVet in visited:
            continue  # 跳过已被访问过的顶点
        # 递归访问邻接顶点
        dfs(graph, visited, res, adjVet)

def graph_dfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> list[Vertex]:
    """深度优先遍历 DFS"""
    # 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
    # 顶点遍历序列
    res = []
    # 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    visited = set[Vertex]()
    dfs(graph, visited, res, start_vet)
    return res

graph_dfs.go

/* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
func dfs(g *graphAdjList, visited map[Vertex]struct{}, res *[]Vertex, vet Vertex) {
    // append 操作会返回新的的引用，必须让原引用重新赋值为新slice的引用
    *res = append(*res, vet)
    visited[vet] = struct{}{}
    // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    for _, adjVet := range g.adjList[vet] {
        _, isExist := visited[adjVet]
        // 递归访问邻接顶点
        if !isExist {
            dfs(g, visited, res, adjVet)
        }
    }
}

/* 深度优先遍历 DFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
func graphDFS(g *graphAdjList, startVet Vertex) []Vertex {
    // 顶点遍历序列
    res := make([]Vertex, 0)
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    visited := make(map[Vertex]struct{})
    dfs(g, visited, &res, startVet)
    // 返回顶点遍历序列
    return res
}

graph_dfs.js

/* 深度优先遍历 DFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
function dfs(graph, visited, res, vet) {
    res.push(vet); // 记录访问顶点
    visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问
    // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    for (const adjVet of graph.adjList.get(vet)) {
        if (visited.has(adjVet)) {
            continue; // 跳过已被访问过的顶点
        }
        // 递归访问邻接顶点
        dfs(graph, visited, res, adjVet);
    }
}

/* 深度优先遍历 DFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
function graphDFS(graph, startVet) {
    // 顶点遍历序列
    const res = [];
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    const visited = new Set();
    dfs(graph, visited, res, startVet);
    return res;
}

graph_dfs.ts

/* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
function dfs(
    graph: GraphAdjList,
    visited: Set<Vertex>,
    res: Vertex[],
    vet: Vertex
): void {
    res.push(vet); // 记录访问顶点
    visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问
    // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    for (const adjVet of graph.adjList.get(vet)) {
        if (visited.has(adjVet)) {
            continue; // 跳过已被访问过的顶点
        }
        // 递归访问邻接顶点
        dfs(graph, visited, res, adjVet);
    }
}

/* 深度优先遍历 DFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
function graphDFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex): Vertex[] {
    // 顶点遍历序列
    const res: Vertex[] = [];
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    const visited: Set<Vertex> = new Set();
    dfs(graph, visited, res, startVet);
    return res;
}

graph_dfs.c

/* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
int resIndex = 0;
void dfs(graphAdjList *graph, hashTable *visited, Vertex *vet, Vertex **res) {
    if (hashQuery(visited, vet->pos) == 1) {
        return; // 跳过已被访问过的顶点
    }
    hashMark(visited, vet->pos); // 标记顶点并将顶点存入数组
    res[resIndex] = vet;         // 将顶点存入数组
    resIndex++;
    // 遍历该顶点链表
    Node *n = vet->linked->head->next;
    while (n != 0) {
        // 递归访问邻接顶点
        dfs(graph, visited, n->val, res);
        n = n->next;
    }
    return;
}

/* 深度优先遍历 DFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
Vertex **graphDFS(graphAdjList *graph, Vertex *startVet) {
    // 顶点遍历序列
    Vertex **res = (Vertex **)malloc(sizeof(Vertex *) * graph->size);
    memset(res, 0, sizeof(Vertex *) * graph->size);
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    hashTable *visited = newHash(graph->size);
    dfs(graph, visited, startVet, res);
    // 释放哈希表内存并将数组索引归零
    freeHash(visited);
    resIndex = 0;
    // 返回遍历数组
    return res;
}

graph_dfs.cs

/* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
void dfs(GraphAdjList graph, HashSet<Vertex> visited, List<Vertex> res, Vertex vet) {
    res.Add(vet);     // 记录访问顶点
    visited.Add(vet); // 标记该顶点已被访问
    // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    foreach (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]) {
        if (visited.Contains(adjVet)) {
            continue; // 跳过已被访问过的顶点                             
        }
        // 递归访问邻接顶点
        dfs(graph, visited, res, adjVet);
    }
}

/* 深度优先遍历 DFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
List<Vertex> graphDFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
    // 顶点遍历序列
    List<Vertex> res = new List<Vertex>();
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    HashSet<Vertex> visited = new HashSet<Vertex>();
    dfs(graph, visited, res, startVet);
    return res;
}

graph_dfs.swift

/* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
func dfs(graph: GraphAdjList, visited: inout Set<Vertex>, res: inout [Vertex], vet: Vertex) {
    res.append(vet) // 记录访问顶点
    visited.insert(vet) // 标记该顶点已被访问
    // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    for adjVet in graph.adjList[vet] ?? [] {
        if visited.contains(adjVet) {
            continue // 跳过已被访问过的顶点
        }
        // 递归访问邻接顶点
        dfs(graph: graph, visited: &visited, res: &res, vet: adjVet)
    }
}

/* 深度优先遍历 DFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
func graphDFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex) -> [Vertex] {
    // 顶点遍历序列
    var res: [Vertex] = []
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    var visited: Set<Vertex> = []
    dfs(graph: graph, visited: &visited, res: &res, vet: startVet)
    return res
}

graph_dfs.zig

[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{graphDFS}

graph_dfs.dart

/* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
void dfs(
  GraphAdjList graph,
  Set<Vertex> visited,
  List<Vertex> res,
  Vertex vet,
) {
  res.add(vet); // 记录访问顶点
  visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问
  // 遍历该顶点的所有邻接顶点
  for (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]!) {
    if (visited.contains(adjVet)) {
      continue; // 跳过已被访问过的顶点
    }
    // 递归访问邻接顶点
    dfs(graph, visited, res, adjVet);
  }
}

/* 深度优先遍历 DFS */
List<Vertex> graphDFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
  // 顶点遍历序列
  List<Vertex> res = [];
  // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
  Set<Vertex> visited = {};
  dfs(graph, visited, res, startVet);
  return res;
}

graph_dfs.rs

/* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
fn dfs(graph: &GraphAdjList, visited: &mut HashSet<Vertex>, res: &mut Vec<Vertex>, vet: Vertex) {
    res.push(vet); // 记录访问顶点
    visited.insert(vet); // 标记该顶点已被访问
                         // 遍历该顶点的所有邻接顶点
    if let Some(adj_vets) = graph.adj_list.get(&vet) {
        for &adj_vet in adj_vets {
            if visited.contains(&adj_vet) {
                continue; // 跳过已被访问过的顶点
            }
            // 递归访问邻接顶点
            dfs(graph, visited, res, adj_vet);
        }
    }
}

/* 深度优先遍历 DFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
fn graph_dfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> Vec<Vertex> {
    // 顶点遍历序列
    let mut res = vec![];
    // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
    let mut visited = HashSet::new();
    dfs(&graph, &mut visited, &mut res, start_vet);

    res
}

深度优先遍历的算法流程如图 9-12 所示。

直虚线代表向下递推，表示开启了一个新的递归方法来访问新顶点。
曲虚线代表向上回溯，表示此递归方法已经返回，回溯到了开启此递归方法的位置。

为了加深理解，建议将图示与代码结合起来，在脑中（或者用笔画下来）模拟整个 DFS 过程，包括每个递归方法何时开启、何时返回。

图 9-12 图的深度优先遍历步骤

深度优先遍历的序列是否唯一？

与广度优先遍历类似，深度优先遍历序列的顺序也不是唯一的。给定某顶点，先往哪个方向探索都可以，即邻接顶点的顺序可以任意打乱，都是深度优先遍历。

以树的遍历为例，“根 \(\rightarrow\) 左 \(\rightarrow\) 右”、“左 \(\rightarrow\) 根 \(\rightarrow\) 右”、“左 \(\rightarrow\) 右 \(\rightarrow\) 根”分别对应前序、中序、后序遍历，它们展示了三种不同的遍历优先级，然而这三者都属于深度优先遍历。

2. 复杂度分析¶

时间复杂度： 所有顶点都会被访问 \(1\) 次，使用 \(O(|V|)\) 时间；所有边都会被访问 \(2\) 次，使用 \(O(2|E|)\) 时间；总体使用 \(O(|V| + |E|)\) 时间。

空间复杂度： 列表 res ，哈希表 visited 顶点数量最多为 \(|V|\) ，递归深度最大为 \(|V|\) ，因此使用 \(O(|V|)\) 空间。

9.3 图的遍历¶

9.3.1 广度优先遍历¶

1. 算法实现¶

2. 复杂度分析¶

9.3.2 深度优先遍历¶

1. 算法实现¶

2. 复杂度分析¶

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