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8.2   建堆操作

在某些情况下，我们希望使用一个列表的所有元素来构建一个堆，这个过程被称为“建堆操作”。

8.2.1   自上而下构建

我们首先创建一个空堆，然后遍历列表，依次对每个元素执行“入堆操作”，即先将元素添加至堆的尾部，再对该元素执行“从底至顶”堆化。

每当一个元素入堆，堆的长度就加一，因此堆是“自上而下”地构建的。

设元素数量为 \(n\) ，每个元素的入堆操作使用 \(O(\log{n})\) 时间，因此该建堆方法的时间复杂度为 \(O(n \log n)\) 。

8.2.2   自下而上构建

实际上，我们可以实现一种更为高效的建堆方法，共分为两步。

  1. 将列表所有元素原封不动添加到堆中。
  2. 倒序遍历堆（即层序遍历的倒序），依次对每个非叶节点执行“从顶至底堆化”。

在倒序遍历中，堆是“自下而上”地构建的，需要重点理解以下两点。

  • 由于叶节点没有子节点，因此无需对它们执行堆化。最后一个节点的父节点是最后一个非叶节点。
  • 在倒序遍历中，我们能够保证当前节点之下的子树已经完成堆化（已经是合法的堆），而这是堆化当前节点的前置条件。
my_heap.java
/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
MaxHeap(List<Integer> nums) {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    maxHeap = new ArrayList<>(nums);
    // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
        siftDown(i);
    }
}
my_heap.cpp
/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
MaxHeap(vector<int> nums) {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    maxHeap = nums;
    // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
        siftDown(i);
    }
}
my_heap.py
def __init__(self, nums: list[int]):
    """构造方法，根据输入列表建堆"""
    # 将列表元素原封不动添加进堆
    self.max_heap = nums
    # 堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for i in range(self.parent(self.size() - 1), -1, -1):
        self.sift_down(i)
my_heap.go
/* 构造函数，根据切片建堆 */
func newMaxHeap(nums []any) *maxHeap {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    h := &maxHeap{data: nums}
    for i := h.parent(len(h.data) - 1); i >= 0; i-- {
        // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
        h.siftDown(i)
    }
    return h
}
my_heap.js
/* 构造方法，建立空堆或根据输入列表建堆 */
constructor(nums) {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    this.#maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums];
    // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for (let i = this.#parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) {
        this.#siftDown(i);
    }
}
my_heap.ts
/* 构造方法，建立空堆或根据输入列表建堆 */
constructor(nums?: number[]) {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    this.maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums];
    // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for (let i = this.parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) {
        this.siftDown(i);
    }
}
my_heap.c
/* 构造函数，根据切片建堆 */
maxHeap *newMaxHeap(int nums[], int size) {
    // 所有元素入堆
    maxHeap *h = (maxHeap *)malloc(sizeof(maxHeap));
    h->size = size;
    memcpy(h->data, nums, size * sizeof(int));
    for (int i = parent(size - 1); i >= 0; i--) {
        // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
        siftDown(h, i);
    }
    return h;
}
my_heap.cs
/* 构造函数，根据输入列表建堆 */
MaxHeap(IEnumerable<int> nums) {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    maxHeap = new List<int>(nums);
    // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
    var size = parent(this.size() - 1);
    for (int i = size; i >= 0; i--) {
        siftDown(i);
    }
}
my_heap.swift
/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
init(nums: [Int]) {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    maxHeap = nums
    // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for i in stride(from: parent(i: size() - 1), through: 0, by: -1) {
        siftDown(i: i)
    }
}
my_heap.zig
// 构造方法，根据输入列表建堆
fn init(self: *Self, allocator: std.mem.Allocator, nums: []const T) !void {
    if (self.max_heap != null) return;
    self.max_heap = std.ArrayList(T).init(allocator);
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    try self.max_heap.?.appendSlice(nums);
    // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
    var i: usize = parent(self.size() - 1) + 1;
    while (i > 0) : (i -= 1) {
        try self.siftDown(i - 1);
    }
}
my_heap.dart
/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
MaxHeap(List<int> nums) {
  // 将列表元素原封不动添加进堆
  _maxHeap = nums;
  // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
  for (int i = _parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
    siftDown(i);
  }
}
my_heap.rs
/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
fn new(nums: Vec<i32>) -> Self {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    let mut heap = MaxHeap { max_heap: nums };
    // 堆化除叶节点以外的其他所有节点
    for i in (0..=Self::parent(heap.size() - 1)).rev() {
        heap.sift_down(i);
    }
    heap
}

8.2.3   复杂度分析

下面，我们来尝试推算第二种建堆方法的时间复杂度。

  • 假设完全二叉树的节点数量为 \(n\) ，则叶节点数量为 \((n + 1) / 2\) ，其中 \(/\) 为向下整除。因此需要堆化的节点数量为 \((n - 1) / 2\) 。
  • 在从顶至底堆化的过程中，每个节点最多堆化到叶节点，因此最大迭代次数为二叉树高度 \(\log n\) 。

将上述两者相乘，可得到建堆过程的时间复杂度为 \(O(n \log n)\) 。但这个估算结果并不准确，因为我们没有考虑到二叉树底层节点数量远多于顶层节点的性质。

接下来我们来进行更为准确的计算。为了减小计算难度，假设给定一个节点数量为 \(n\) ，高度为 \(h\) 的“完美二叉树”，该假设不会影响计算结果的正确性。

完美二叉树的各层节点数量

图 8-5   完美二叉树的各层节点数量

如图 8-5 所示，节点“从顶至底堆化”的最大迭代次数等于该节点到叶节点的距离，而该距离正是“节点高度”。因此，我们可以将各层的“节点数量 \(\times\) 节点高度”求和，从而得到所有节点的堆化迭代次数的总和。

\[ T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{(h-1)}\times1 \]

化简上式需要借助中学的数列知识，先对 \(T(h)\) 乘以 \(2\) ，得到：

\[ \begin{aligned} T(h) & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{h-1}\times1 \newline 2 T(h) & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \dots + 2^{h}\times1 \newline \end{aligned} \]

使用错位相减法，用下式 \(2 T(h)\) 减去上式 \(T(h)\) ，可得：

\[ 2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{h-1} + 2^h \]

观察上式，发现 \(T(h)\) 是一个等比数列，可直接使用求和公式，得到时间复杂度为：

\[ \begin{aligned} T(h) & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline & = 2^{h+1} - h - 2 \newline & = O(2^h) \end{aligned} \]

进一步地，高度为 \(h\) 的完美二叉树的节点数量为 \(n = 2^{h+1} - 1\) ，易得复杂度为 \(O(2^h) = O(n)\) 。以上推算表明，输入列表并建堆的时间复杂度为 \(O(n)\) ，非常高效。

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