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7.3   二叉树数组表示

在链表表示下，二叉树的存储单元为节点 TreeNode ，节点之间通过指针相连接。在上节中，我们学习了在链表表示下的二叉树的各项基本操作。

那么，我们能否用数组来表示二叉树呢？答案是肯定的。

7.3.1   表示完美二叉树

先分析一个简单案例。给定一个完美二叉树，我们将所有节点按照层序遍历的顺序存储在一个数组中，则每个节点都对应唯一的数组索引。

根据层序遍历的特性，我们可以推导出父节点索引与子节点索引之间的“映射公式”：若节点的索引为 \(i\) ，则该节点的左子节点索引为 \(2i + 1\) ，右子节点索引为 \(2i + 2\) 。图 7-12 展示了各个节点索引之间的映射关系。

完美二叉树的数组表示

图 7-12   完美二叉树的数组表示

映射公式的角色相当于链表中的指针。给定数组中的任意一个节点，我们都可以通过映射公式来访问它的左（右）子节点。

7.3.2   表示任意二叉树

完美二叉树是一个特例，在二叉树的中间层通常存在许多 \(\text{None}\) 。由于层序遍历序列并不包含这些 \(\text{None}\) ，因此我们无法仅凭该序列来推测 \(\text{None}\) 的数量和分布位置。这意味着存在多种二叉树结构都符合该层序遍历序列。

如图 7-13 所示，给定一个非完美二叉树，上述的数组表示方法已经失效。

层序遍历序列对应多种二叉树可能性

图 7-13   层序遍历序列对应多种二叉树可能性

为了解决此问题，我们可以考虑在层序遍历序列中显式地写出所有 \(\text{None}\) 。如图 7-14 所示，这样处理后，层序遍历序列就可以唯一表示二叉树了。

/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 int 的包装类 Integer ，就可以使用 null 来标记空位
Integer[] tree = { 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 };

/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 int 最大值 INT_MAX 标记空位
vector<int> tree = {1, 2, 3, 4, INT_MAX, 6, 7, 8, 9, INT_MAX, INT_MAX, 12, INT_MAX, INT_MAX, 15};

# 二叉树的数组表示
# 使用 None 来表示空位
tree = [1, 2, 3, 4, None, 6, 7, 8, 9, None, None, 12, None, None, 15]

/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 any 类型的切片, 就可以使用 nil 来标记空位
tree := []any{1, 2, 3, 4, nil, 6, 7, 8, 9, nil, nil, 12, nil, nil, 15}

/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 null 来表示空位
let tree = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];

/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 null 来表示空位
let tree: (number | null)[] = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];

/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 int 最大值标记空位，因此要求节点值不能为 INT_MAX
int tree[] = {1, 2, 3, 4, INT_MAX, 6, 7, 8, 9, INT_MAX, INT_MAX, 12, INT_MAX, INT_MAX, 15};

/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 int? 可空类型 ，就可以使用 null 来标记空位
int?[] tree = { 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 };

/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 Int? 可空类型 ，就可以使用 nil 来标记空位
let tree: [Int?] = [1, 2, 3, 4, nil, 6, 7, 8, 9, nil, nil, 12, nil, nil, 15]



/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 int? 可空类型 ，就可以使用 null 来标记空位
List<int?> tree = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];

任意类型二叉树的数组表示

图 7-14   任意类型二叉树的数组表示

值得说明的是，完全二叉树非常适合使用数组来表示。回顾完全二叉树的定义，\(\text{None}\) 只出现在最底层且靠右的位置，因此所有 \(\text{None}\) 一定出现在层序遍历序列的末尾。

这意味着使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储所有 \(\text{None}\) ，非常方便。图 7-15 给出了一个例子。

完全二叉树的数组表示

图 7-15   完全二叉树的数组表示

以下代码实现了一个基于数组表示的二叉树，包括以下几种操作。

  • 给定某节点，获取它的值、左（右）子节点、父节点。
  • 获取前序遍历、中序遍历、后序遍历、层序遍历序列。
array_binary_tree.java
/* 数组表示下的二叉树类 */
class ArrayBinaryTree {
    private List<Integer> tree;

    /* 构造方法 */
    public ArrayBinaryTree(List<Integer> arr) {
        tree = new ArrayList<>(arr);
    }

    /* 节点数量 */
    public int size() {
        return tree.size();
    }

    /* 获取索引为 i 节点的值 */
    public Integer val(int i) {
        // 若索引越界，则返回 null ，代表空位
        if (i < 0 || i >= size())
            return null;
        return tree.get(i);
    }

    /* 获取索引为 i 节点的左子节点的索引 */
    public Integer left(int i) {
        return 2 * i + 1;
    }

    /* 获取索引为 i 节点的右子节点的索引 */
    public Integer right(int i) {
        return 2 * i + 2;
    }

    /* 获取索引为 i 节点的父节点的索引 */
    public Integer parent(int i) {
        return (i - 1) / 2;
    }

    /* 层序遍历 */
    public List<Integer> levelOrder() {
        List<Integer> res = new ArrayList<>();
        // 直接遍历数组
        for (int i = 0; i < size(); i++) {
            if (val(i) != null)
                res.add(val(i));
        }
        return res;
    }

    /* 深度优先遍历 */
    private void dfs(Integer i, String order, List<Integer> res) {
        // 若为空位，则返回
        if (val(i) == null)
            return;
        // 前序遍历
        if (order == "pre")
            res.add(val(i));
        dfs(left(i), order, res);
        // 中序遍历
        if (order == "in")
            res.add(val(i));
        dfs(right(i), order, res);
        // 后序遍历
        if (order == "post")
            res.add(val(i));
    }

    /* 前序遍历 */
    public List<Integer> preOrder() {
        List<Integer> res = new ArrayList<>();
        dfs(0, "pre", res);
        return res;
    }

    /* 中序遍历 */
    public List<Integer> inOrder() {
        List<Integer> res = new ArrayList<>();
        dfs(0, "in", res);
        return res;
    }

    /* 后序遍历 */
    public List<Integer> postOrder() {
        List<Integer> res = new ArrayList<>();
        dfs(0, "post", res);
        return res;
    }
}
array_binary_tree.cpp
/* 数组表示下的二叉树类 */
class ArrayBinaryTree {
  public:
    /* 构造方法 */
    ArrayBinaryTree(vector<int> arr) {
        tree = arr;
    }

    /* 节点数量 */
    int size() {
        return tree.size();
    }

    /* 获取索引为 i 节点的值 */
    int val(int i) {
        // 若索引越界，则返回 INT_MAX ，代表空位
        if (i < 0 || i >= size())
            return INT_MAX;
        return tree[i];
    }

    /* 获取索引为 i 节点的左子节点的索引 */
    int left(int i) {
        return 2 * i + 1;
    }

    /* 获取索引为 i 节点的右子节点的索引 */
    int right(int i) {
        return 2 * i + 2;
    }

    /* 获取索引为 i 节点的父节点的索引 */
    int parent(int i) {
        return (i - 1) / 2;
    }

    /* 层序遍历 */
    vector<int> levelOrder() {
        vector<int> res;
        // 直接遍历数组
        for (int i = 0; i < size(); i++) {
            if (val(i) != INT_MAX)
                res.push_back(val(i));
        }
        return res;
    }

    /* 前序遍历 */
    vector<int> preOrder() {
        vector<int> res;
        dfs(0, "pre", res);
        return res;
    }

    /* 中序遍历 */
    vector<int> inOrder() {
        vector<int> res;
        dfs(0, "in", res);
        return res;
    }

    /* 后序遍历 */
    vector<int> postOrder() {
        vector<int> res;
        dfs(0, "post", res);
        return res;
    }

  private:
    vector<int> tree;

    /* 深度优先遍历 */
    void dfs(int i, string order, vector<int> &res) {
        // 若为空位，则返回
        if (val(i) == INT_MAX)
            return;
        // 前序遍历
        if (order == "pre")
            res.push_back(val(i));
        dfs(left(i), order, res);
        // 中序遍历
        if (order == "in")
            res.push_back(val(i));
        dfs(right(i), order, res);
        // 后序遍历
        if (order == "post")
            res.push_back(val(i));
    }
};
array_binary_tree.py
class ArrayBinaryTree:
    """数组表示下的二叉树类"""

    def __init__(self, arr: list[int | None]):
        """构造方法"""
        self.__tree = list(arr)

    def size(self):
        """节点数量"""
        return len(self.__tree)

    def val(self, i: int) -> int:
        """获取索引为 i 节点的值"""
        # 若索引越界，则返回 None ，代表空位
        if i < 0 or i >= self.size():
            return None
        return self.__tree[i]

    def left(self, i: int) -> int | None:
        """获取索引为 i 节点的左子节点的索引"""
        return 2 * i + 1

    def right(self, i: int) -> int | None:
        """获取索引为 i 节点的右子节点的索引"""
        return 2 * i + 2

    def parent(self, i: int) -> int | None:
        """获取索引为 i 节点的父节点的索引"""
        return (i - 1) // 2

    def level_order(self) -> list[int]:
        """层序遍历"""
        self.res = []
        # 直接遍历数组
        for i in range(self.size()):
            if self.val(i) is not None:
                self.res.append(self.val(i))
        return self.res

    def __dfs(self, i: int, order: str):
        """深度优先遍历"""
        if self.val(i) is None:
            return
        # 前序遍历
        if order == "pre":
            self.res.append(self.val(i))
        self.__dfs(self.left(i), order)
        # 中序遍历
        if order == "in":
            self.res.append(self.val(i))
        self.__dfs(self.right(i), order)
        # 后序遍历
        if order == "post":
            self.res.append(self.val(i))

    def pre_order(self) -> list[int]:
        """前序遍历"""
        self.res = []
        self.__dfs(0, order="pre")
        return self.res

    def in_order(self) -> list[int]:
        """中序遍历"""
        self.res = []
        self.__dfs(0, order="in")
        return self.res

    def post_order(self) -> list[int]:
        """后序遍历"""
        self.res = []
        self.__dfs(0, order="post")
        return self.res
array_binary_tree.go
/* 数组表示下的二叉树类 */
type arrayBinaryTree struct {
    tree []any
}

/* 构造方法 */
func newArrayBinaryTree(arr []any) *arrayBinaryTree {
    return &arrayBinaryTree{
        tree: arr,
    }
}

/* 节点数量 */
func (abt *arrayBinaryTree) size() int {
    return len(abt.tree)
}

/* 获取索引为 i 节点的值 */
func (abt *arrayBinaryTree) val(i int) any {
    // 若索引越界，则返回 null ，代表空位
    if i < 0 || i >= abt.size() {
        return nil
    }
    return abt.tree[i]
}

/* 获取索引为 i 节点的左子节点的索引 */
func (abt *arrayBinaryTree) left(i int) int {
    return 2*i + 1
}

/* 获取索引为 i 节点的右子节点的索引 */
func (abt *arrayBinaryTree) right(i int) int {
    return 2*i + 2
}

/* 获取索引为 i 节点的父节点的索引 */
func (abt *arrayBinaryTree) parent(i int) int {
    return (i - 1) / 2
}

/* 层序遍历 */
func (abt *arrayBinaryTree) levelOrder() []any {
    var res []any
    // 直接遍历数组
    for i := 0; i < abt.size(); i++ {
        if abt.val(i) != nil {
            res = append(res, abt.val(i))
        }
    }
    return res
}

/* 深度优先遍历 */
func (abt *arrayBinaryTree) dfs(i int, order string, res *[]any) {
    // 若为空位，则返回
    if abt.val(i) == nil {
        return
    }
    // 前序遍历
    if order == "pre" {
        *res = append(*res, abt.val(i))
    }
    abt.dfs(abt.left(i), order, res)
    // 中序遍历
    if order == "in" {
        *res = append(*res, abt.val(i))
    }
    abt.dfs(abt.right(i), order, res)
    // 后序遍历
    if order == "post" {
        *res = append(*res, abt.val(i))
    }
}

/* 前序遍历 */
func (abt *arrayBinaryTree) preOrder() []any {
    var res []any
    abt.dfs(0, "pre", &res)
    return res
}

/* 中序遍历 */
func (abt *arrayBinaryTree) inOrder() []any {
    var res []any
    abt.dfs(0, "in", &res)
    return res
}

/* 后序遍历 */
func (abt *arrayBinaryTree) postOrder() []any {
    var res []any
    abt.dfs(0, "post", &res)
    return res
}
array_binary_tree.js
/* 数组表示下的二叉树类 */
class ArrayBinaryTree {
    #tree;

    /* 构造方法 */
    constructor(arr) {
        this.#tree = arr;
    }

    /* 节点数量 */
    size() {
        return this.#tree.length;
    }

    /* 获取索引为 i 节点的值 */
    val(i) {
        // 若索引越界，则返回 null ，代表空位
        if (i < 0 || i >= this.size()) return null;
        return this.#tree[i];
    }

    /* 获取索引为 i 节点的左子节点的索引 */
    left(i) {
        return 2 * i + 1;
    }

    /* 获取索引为 i 节点的右子节点的索引 */
    right(i) {
        return 2 * i + 2;
    }

    /* 获取索引为 i 节点的父节点的索引 */
    parent(i) {
        return (i - 1) / 2;
    }

    /* 层序遍历 */
    levelOrder() {
        let res = [];
        // 直接遍历数组
        for (let i = 0; i < this.size(); i++) {
            if (this.val(i) !== null) res.push(this.val(i));
        }
        return res;
    }

    /* 深度优先遍历 */
    #dfs(i, order, res) {
        // 若为空位，则返回
        if (this.val(i) === null) return;
        // 前序遍历
        if (order === 'pre') res.push(this.val(i));
        this.#dfs(this.left(i), order, res);
        // 中序遍历
        if (order === 'in') res.push(this.val(i));
        this.#dfs(this.right(i), order, res);
        // 后序遍历
        if (order === 'post') res.push(this.val(i));
    }

    /* 前序遍历 */
    preOrder() {
        const res = [];
        this.#dfs(0, 'pre', res);
        return res;
    }

    /* 中序遍历 */
    inOrder() {
        const res = [];
        this.#dfs(0, 'in', res);
        return res;
    }

    /* 后序遍历 */
    postOrder() {
        const res = [];
        this.#dfs(0, 'post', res);
        return res;
    }
}
array_binary_tree.ts
/* 数组表示下的二叉树类 */
class ArrayBinaryTree {
    #tree: (number | null)[];

    /* 构造方法 */
    constructor(arr: (number | null)[]) {
        this.#tree = arr;
    }

    /* 节点数量 */
    size(): number {
        return this.#tree.length;
    }

    /* 获取索引为 i 节点的值 */
    val(i: number): number | null {
        // 若索引越界，则返回 null ，代表空位
        if (i < 0 || i >= this.size()) return null;
        return this.#tree[i];
    }

    /* 获取索引为 i 节点的左子节点的索引 */
    left(i: number): number {
        return 2 * i + 1;
    }

    /* 获取索引为 i 节点的右子节点的索引 */
    right(i: number): number {
        return 2 * i + 2;
    }

    /* 获取索引为 i 节点的父节点的索引 */
    parent(i: number): number {
        return (i - 1) / 2;
    }

    /* 层序遍历 */
    levelOrder(): number[] {
        let res = [];
        // 直接遍历数组
        for (let i = 0; i < this.size(); i++) {
            if (this.val(i) !== null) res.push(this.val(i));
        }
        return res;
    }

    /* 深度优先遍历 */
    #dfs(i: number, order: Order, res: (number | null)[]): void {
        // 若为空位，则返回
        if (this.val(i) === null) return;
        // 前序遍历
        if (order === 'pre') res.push(this.val(i));
        this.#dfs(this.left(i), order, res);
        // 中序遍历
        if (order === 'in') res.push(this.val(i));
        this.#dfs(this.right(i), order, res);
        // 后序遍历
        if (order === 'post') res.push(this.val(i));
    }

    /* 前序遍历 */
    preOrder(): (number | null)[] {
        const res = [];
        this.#dfs(0, 'pre', res);
        return res;
    }

    /* 中序遍历 */
    inOrder(): (number | null)[] {
        const res = [];
        this.#dfs(0, 'in', res);
        return res;
    }

    /* 后序遍历 */
    postOrder(): (number | null)[] {
        const res = [];
        this.#dfs(0, 'post', res);
        return res;
    }
}
array_binary_tree.c
/* 数组表示下的二叉树类 */
struct arrayBinaryTree {
    vector *tree;
};

typedef struct arrayBinaryTree arrayBinaryTree;

/* 构造函数 */
arrayBinaryTree *newArrayBinaryTree(vector *arr) {
    arrayBinaryTree *newABT = malloc(sizeof(arrayBinaryTree));
    newABT->tree = arr;
    return newABT;
}

/* 节点数量 */
int size(arrayBinaryTree *abt) {
    return abt->tree->size;
}

/* 获取索引为 i 节点的值 */
int val(arrayBinaryTree *abt, int i) {
    // 若索引越界，则返回 INT_MAX ，代表空位
    if (i < 0 || i >= size(abt))
        return INT_MAX;
    return *(int *)abt->tree->data[i];
}

/* 深度优先遍历 */
void dfs(arrayBinaryTree *abt, int i, const char *order, vector *res) {
    // 若为空位，则返回
    if (val(abt, i) == INT_MAX)
        return;
    // 前序遍历
    if (strcmp(order, "pre") == 0) {
        int tmp = val(abt, i);
        vectorPushback(res, &tmp, sizeof(tmp));
    }
    dfs(abt, left(i), order, res);
    // 中序遍历
    if (strcmp(order, "in") == 0) {
        int tmp = val(abt, i);
        vectorPushback(res, &tmp, sizeof(tmp));
    }
    dfs(abt, right(i), order, res);
    // 后序遍历
    if (strcmp(order, "post") == 0) {
        int tmp = val(abt, i);
        vectorPushback(res, &tmp, sizeof(tmp));
    }
}

/* 层序遍历 */
vector *levelOrder(arrayBinaryTree *abt) {
    vector *res = newVector();
    // 直接遍历数组
    for (int i = 0; i < size(abt); i++) {
        if (val(abt, i) != INT_MAX) {
            int tmp = val(abt, i);
            vectorPushback(res, &tmp, sizeof(int));
        }
    }
    return res;
}

/* 前序遍历 */
vector *preOrder(arrayBinaryTree *abt) {
    vector *res = newVector();
    dfs(abt, 0, "pre", res);
    return res;
}

/* 中序遍历 */
vector *inOrder(arrayBinaryTree *abt) {
    vector *res = newVector();
    dfs(abt, 0, "in", res);
    return res;
}

/* 后序遍历 */
vector *postOrder(arrayBinaryTree *abt) {
    vector *res = newVector();
    dfs(abt, 0, "post", res);
    return res;
}
array_binary_tree.cs
/* 数组表示下的二叉树类 */
class ArrayBinaryTree {
    private List<int?> tree;

    /* 构造方法 */
    public ArrayBinaryTree(List<int?> arr) {
        tree = new List<int?>(arr);
    }

    /* 节点数量 */
    public int size() {
        return tree.Count;
    }

    /* 获取索引为 i 节点的值 */
    public int? val(int i) {
        // 若索引越界，则返回 null ，代表空位
        if (i < 0 || i >= size())
            return null;
        return tree[i];
    }

    /* 获取索引为 i 节点的左子节点的索引 */
    public int left(int i) {
        return 2 * i + 1;
    }

    /* 获取索引为 i 节点的右子节点的索引 */
    public int right(int i) {
        return 2 * i + 2;
    }

    /* 获取索引为 i 节点的父节点的索引 */
    public int parent(int i) {
        return (i - 1) / 2;
    }

    /* 层序遍历 */
    public List<int> levelOrder() {
        List<int> res = new List<int>();
        // 直接遍历数组
        for (int i = 0; i < size(); i++) {
            if (val(i).HasValue)
                res.Add(val(i).Value);
        }
        return res;
    }

    /* 深度优先遍历 */
    private void dfs(int i, string order, List<int> res) {
        // 若为空位，则返回
        if (!val(i).HasValue)
            return;
        // 前序遍历
        if (order == "pre")
            res.Add(val(i).Value);
        dfs(left(i), order, res);
        // 中序遍历
        if (order == "in")
            res.Add(val(i).Value);
        dfs(right(i), order, res);
        // 后序遍历
        if (order == "post")
            res.Add(val(i).Value);
    }

    /* 前序遍历 */
    public List<int> preOrder() {
        List<int> res = new List<int>();
        dfs(0, "pre", res);
        return res;
    }

    /* 中序遍历 */
    public List<int> inOrder() {
        List<int> res = new List<int>();
        dfs(0, "in", res);
        return res;
    }

    /* 后序遍历 */
    public List<int> postOrder() {
        List<int> res = new List<int>();
        dfs(0, "post", res);
        return res;
    }
}
array_binary_tree.swift
/* 数组表示下的二叉树类 */
class ArrayBinaryTree {
    private var tree: [Int?]

    /* 构造方法 */
    init(arr: [Int?]) {
        tree = arr
    }

    /* 节点数量 */
    func size() -> Int {
        tree.count
    }

    /* 获取索引为 i 节点的值 */
    func val(i: Int) -> Int? {
        // 若索引越界，则返回 null ，代表空位
        if i < 0 || i >= size() {
            return nil
        }
        return tree[i]
    }

    /* 获取索引为 i 节点的左子节点的索引 */
    func left(i: Int) -> Int {
        2 * i + 1
    }

    /* 获取索引为 i 节点的右子节点的索引 */
    func right(i: Int) -> Int {
        2 * i + 2
    }

    /* 获取索引为 i 节点的父节点的索引 */
    func parent(i: Int) -> Int {
        (i - 1) / 2
    }

    /* 层序遍历 */
    func levelOrder() -> [Int] {
        var res: [Int] = []
        // 直接遍历数组
        for i in stride(from: 0, to: size(), by: 1) {
            if let val = val(i: i) {
                res.append(val)
            }
        }
        return res
    }

    /* 深度优先遍历 */
    private func dfs(i: Int, order: String, res: inout [Int]) {
        // 若为空位，则返回
        guard let val = val(i: i) else {
            return
        }
        // 前序遍历
        if order == "pre" {
            res.append(val)
        }
        dfs(i: left(i: i), order: order, res: &res)
        // 中序遍历
        if order == "in" {
            res.append(val)
        }
        dfs(i: right(i: i), order: order, res: &res)
        // 后序遍历
        if order == "post" {
            res.append(val)
        }
    }

    /* 前序遍历 */
    func preOrder() -> [Int] {
        var res: [Int] = []
        dfs(i: 0, order: "pre", res: &res)
        return res
    }

    /* 中序遍历 */
    func inOrder() -> [Int] {
        var res: [Int] = []
        dfs(i: 0, order: "in", res: &res)
        return res
    }

    /* 后序遍历 */
    func postOrder() -> [Int] {
        var res: [Int] = []
        dfs(i: 0, order: "post", res: &res)
        return res
    }
}
array_binary_tree.zig
[class]{ArrayBinaryTree}-[func]{}
array_binary_tree.dart
/* 数组表示下的二叉树类 */
class ArrayBinaryTree {
  late List<int?> _tree;

  /* 构造方法 */
  ArrayBinaryTree(this._tree);

  /* 节点数量 */
  int size() {
    return _tree.length;
  }

  /* 获取索引为 i 节点的值 */
  int? val(int i) {
    // 若索引越界，则返回 null ，代表空位
    if (i < 0 || i >= size()) {
      return null;
    }
    return _tree[i];
  }

  /* 获取索引为 i 节点的左子节点的索引 */
  int? left(int i) {
    return 2 * i + 1;
  }

  /* 获取索引为 i 节点的右子节点的索引 */
  int? right(int i) {
    return 2 * i + 2;
  }

  /* 获取索引为 i 节点的父节点的索引 */
  int? parent(int i) {
    return (i - 1) ~/ 2;
  }

  /* 层序遍历 */
  List<int> levelOrder() {
    List<int> res = [];
    for (int i = 0; i < size(); i++) {
      if (val(i) != null) {
        res.add(val(i)!);
      }
    }
    return res;
  }

  /* 深度优先遍历 */
  void dfs(int i, String order, List<int?> res) {
    // 若为空位，则返回
    if (val(i) == null) {
      return;
    }
    // 前序遍历
    if (order == 'pre') {
      res.add(val(i));
    }
    dfs(left(i)!, order, res);
    // 中序遍历
    if (order == 'in') {
      res.add(val(i));
    }
    dfs(right(i)!, order, res);
    // 后序遍历
    if (order == 'post') {
      res.add(val(i));
    }
  }

  /* 前序遍历 */
  List<int?> preOrder() {
    List<int?> res = [];
    dfs(0, 'pre', res);
    return res;
  }

  /* 中序遍历 */
  List<int?> inOrder() {
    List<int?> res = [];
    dfs(0, 'in', res);
    return res;
  }

  /* 后序遍历 */
  List<int?> postOrder() {
    List<int?> res = [];
    dfs(0, 'post', res);
    return res;
  }
}
array_binary_tree.rs
/* 数组表示下的二叉树类 */
struct ArrayBinaryTree {
    tree: Vec<Option<i32>>,
}

impl ArrayBinaryTree {
    /* 构造方法 */
    fn new(arr: Vec<Option<i32>>) -> Self {
        Self { tree: arr }
    }

    /* 节点数量 */
    fn size(&self) -> i32 {
        self.tree.len() as i32
    }

    /* 获取索引为 i 节点的值 */
    fn val(&self, i: i32) -> Option<i32> {
        // 若索引越界，则返回 None ，代表空位
        if i < 0 || i >= self.size() {
            None
        } else {
            self.tree[i as usize]
        }
    }

    /* 获取索引为 i 节点的左子节点的索引 */
    fn left(&self, i: i32) -> i32 {
        2 * i + 1
    }

    /* 获取索引为 i 节点的右子节点的索引 */
    fn right(&self, i: i32) -> i32 {
        2 * i + 2
    }

    /* 获取索引为 i 节点的父节点的索引 */
    fn parent(&self, i: i32) -> i32 {
        (i - 1) / 2
    }

    /* 层序遍历 */
    fn level_order(&self) -> Vec<i32> {
        let mut res = vec![];
        // 直接遍历数组
        for i in 0..self.size() {
            if let Some(val) = self.val(i) {
                res.push(val)
            }
        }
        res
    }

    /* 深度优先遍历 */
    fn dfs(&self, i: i32, order: &str, res: &mut Vec<i32>) {
        if self.val(i).is_none() {
            return;
        }
        let val = self.val(i).unwrap();
        // 前序遍历
        if order == "pre" {
            res.push(val);
        }
        self.dfs(self.left(i), order, res);
        // 中序遍历
        if order == "in" {
            res.push(val);
        }
        self.dfs(self.right(i), order, res);
        // 后序遍历
        if order == "post" {
            res.push(val);
        }
    }

    /* 前序遍历 */
    fn pre_order(&self) -> Vec<i32> {
        let mut res = vec![];
        self.dfs(0, "pre", &mut res);
        res
    }

    /* 中序遍历 */
    fn in_order(&self) -> Vec<i32> {
        let mut res = vec![];
        self.dfs(0, "in", &mut res);
        res
    }

    /* 后序遍历 */
    fn post_order(&self) -> Vec<i32> {
        let mut res = vec![];
        self.dfs(0, "post", &mut res);
        res
    }
}

7.3.3   优势与局限性

二叉树的数组表示主要有以下优点。

  • 数组存储在连续的内存空间中，对缓存友好，访问与遍历速度较快。
  • 不需要存储指针，比较节省空间。
  • 允许随机访问节点。

然而，数组表示也存在一些局限性。

  • 数组存储需要连续内存空间，因此不适合存储数据量过大的树。
  • 增删节点需要通过数组插入与删除操作实现，效率较低。
  • 当二叉树中存在大量 \(\text{None}\) 时，数组中包含的节点数据比重较低，空间利用率较低。

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