--- comments: true --- # 8.2 建堆操作在某些情况下，我们希望使用一个列表的所有元素来构建一个堆，这个过程被称为“建堆操作”。 ## 8.2.1 借助入堆操作实现我们首先创建一个空堆，然后遍历列表，依次对每个元素执行“入堆操作”，即先将元素添加至堆的尾部，再对该元素执行“从底至顶”堆化。每当一个元素入堆，堆的长度就加一。由于节点是从顶到底依次被添加进二叉树的，因此堆是“自上而下”构建的。设元素数量为 $n$ ，每个元素的入堆操作使用 $O(\log{n})$ 时间，因此该建堆方法的时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。 ## 8.2.2 通过遍历堆化实现实际上，我们可以实现一种更为高效的建堆方法，共分为两步。 1. 将列表所有元素原封不动地添加到堆中，此时堆的性质尚未得到满足。 2. 倒序遍历堆（层序遍历的倒序），依次对每个非叶节点执行“从顶至底堆化”。 **每当堆化一个节点后，以该节点为根节点的子树就形成一个合法的子堆**。而由于是倒序遍历，因此堆是“自下而上”构建的。之所以选择倒序遍历，是因为这样能够保证当前节点之下的子树已经是合法的子堆，这样堆化当前节点才是有效的。值得说明的是，**由于叶节点没有子节点，因此它们天然就是合法的子堆，无须堆化**。如以下代码所示，最后一个非叶节点是最后一个节点的父节点，我们从它开始倒序遍历并执行堆化： === "Python" ```python title="my_heap.py" def __init__(self, nums: list[int]): """构造方法，根据输入列表建堆""" # 将列表元素原封不动添加进堆 self.max_heap = nums # 堆化除叶节点以外的其他所有节点 for i in range(self.parent(self.size() - 1), -1, -1): self.sift_down(i) ``` === "C++" ```cpp title="my_heap.cpp" /* 构造方法，根据输入列表建堆 */ MaxHeap(vector nums) { // 将列表元素原封不动添加进堆 maxHeap = nums; // 堆化除叶节点以外的其他所有节点 for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) { siftDown(i); } } ``` === "Java" ```java title="my_heap.java" /* 构造方法，根据输入列表建堆 */ MaxHeap(List nums) { // 将列表元素原封不动添加进堆 maxHeap = new ArrayList<>(nums); // 堆化除叶节点以外的其他所有节点 for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) { siftDown(i); } } ``` === "C#" ```csharp title="my_heap.cs" /* 构造函数，根据输入列表建堆 */ MaxHeap(IEnumerable nums) { // 将列表元素原封不动添加进堆 maxHeap = new List(nums); // 堆化除叶节点以外的其他所有节点 var size = Parent(this.Size() - 1); for (int i = size; i >= 0; i--) { SiftDown(i); } } ``` === "Go" ```go title="my_heap.go" /* 构造函数，根据切片建堆 */ func newMaxHeap(nums []any) *maxHeap { // 将列表元素原封不动添加进堆 h := &maxHeap{data: nums} for i := h.parent(len(h.data) - 1); i >= 0; i-- { // 堆化除叶节点以外的其他所有节点 h.siftDown(i) } return h } ``` === "Swift" ```swift title="my_heap.swift" /* 构造方法，根据输入列表建堆 */ init(nums: [Int]) { // 将列表元素原封不动添加进堆 maxHeap = nums // 堆化除叶节点以外的其他所有节点 for i in (0 ... parent(i: size() - 1)).reversed() { siftDown(i: i) } } ``` === "JS" ```javascript title="my_heap.js" /* 构造方法，建立空堆或根据输入列表建堆 */ constructor(nums) { // 将列表元素原封不动添加进堆 this.#maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums]; // 堆化除叶节点以外的其他所有节点 for (let i = this.#parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) { this.#siftDown(i); } } ``` === "TS" ```typescript title="my_heap.ts" /* 构造方法，建立空堆或根据输入列表建堆 */ constructor(nums?: number[]) { // 将列表元素原封不动添加进堆 this.maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums]; // 堆化除叶节点以外的其他所有节点 for (let i = this.parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) { this.siftDown(i); } } ``` === "Dart" ```dart title="my_heap.dart" /* 构造方法，根据输入列表建堆 */ MaxHeap(List nums) { // 将列表元素原封不动添加进堆 _maxHeap = nums; // 堆化除叶节点以外的其他所有节点 for (int i = _parent(size() - 1); i >= 0; i--) { siftDown(i); } } ``` === "Rust" ```rust title="my_heap.rs" /* 构造方法，根据输入列表建堆 */ fn new(nums: Vec) -> Self { // 将列表元素原封不动添加进堆 let mut heap = MaxHeap { max_heap: nums }; // 堆化除叶节点以外的其他所有节点 for i in (0..=Self::parent(heap.size() - 1)).rev() { heap.sift_down(i); } heap } ``` === "C" ```c title="my_heap.c" /* 构造函数，根据切片建堆 */ MaxHeap *newMaxHeap(int nums[], int size) { // 所有元素入堆 MaxHeap *maxHeap = (MaxHeap *)malloc(sizeof(MaxHeap)); maxHeap->size = size; memcpy(maxHeap->data, nums, size * sizeof(int)); for (int i = parent(maxHeap, size - 1); i >= 0; i--) { // 堆化除叶节点以外的其他所有节点 siftDown(maxHeap, i); } return maxHeap; } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="my_heap.kt" /* 大顶堆 */ class MaxHeap(nums: MutableList?) { // 使用列表而非数组，这样无须考虑扩容问题 private val maxHeap = mutableListOf() /* 构造方法，根据输入列表建堆 */ init { // 将列表元素原封不动添加进堆 maxHeap.addAll(nums!!) // 堆化除叶节点以外的其他所有节点 for (i in parent(size() - 1) downTo 0) { siftDown(i) } } /* 获取左子节点的索引 */ private fun left(i: Int): Int { return 2 * i + 1 } /* 获取右子节点的索引 */ private fun right(i: Int): Int { return 2 * i + 2 } /* 获取父节点的索引 */ private fun parent(i: Int): Int { return (i - 1) / 2 // 向下整除 } /* 交换元素 */ private fun swap(i: Int, j: Int) { maxHeap[i] = maxHeap[j].also { maxHeap[j] = maxHeap[i] } } /* 获取堆大小 */ fun size(): Int { return maxHeap.size } /* 判断堆是否为空 */ fun isEmpty(): Boolean { /* 判断堆是否为空 */ return size() == 0 } /* 访问堆顶元素 */ fun peek(): Int { return maxHeap[0] } /* 元素入堆 */ fun push(_val: Int) { // 添加节点 maxHeap.add(_val) // 从底至顶堆化 siftUp(size() - 1) } /* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */ private fun siftUp(it: Int) { // Kotlin的函数参数不可变，因此创建临时变量 var i = it while (true) { // 获取节点 i 的父节点 val p = parent(i) // 当“越过根节点”或“节点无须修复”时，结束堆化 if (p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p]) break // 交换两节点 swap(i, p) // 循环向上堆化 i = p } } /* 元素出堆 */ fun pop(): Int { // 判空处理 if (isEmpty()) throw IndexOutOfBoundsException() // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素） swap(0, size() - 1) // 删除节点 val _val = maxHeap.removeAt(size() - 1) // 从顶至底堆化 siftDown(0) // 返回堆顶元素 return _val } /* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */ private fun siftDown(it: Int) { // Kotlin的函数参数不可变，因此创建临时变量 var i = it while (true) { // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma val l = left(i) val r = right(i) var ma = i if (l < size() && maxHeap[l] > maxHeap[ma]) ma = l if (r < size() && maxHeap[r] > maxHeap[ma]) ma = r // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出 if (ma == i) break // 交换两节点 swap(i, ma) // 循环向下堆化 i = ma } } /* 打印堆（二叉树） */ fun print() { val queue = PriorityQueue { a: Int, b: Int -> b - a } queue.addAll(maxHeap) printHeap(queue) } } ``` === "Ruby" ```ruby title="my_heap.rb" [class]{MaxHeap}-[func]{__init__} ``` === "Zig" ```zig title="my_heap.zig" // 构造方法，根据输入列表建堆 fn init(self: *Self, allocator: std.mem.Allocator, nums: []const T) !void { if (self.max_heap != null) return; self.max_heap = std.ArrayList(T).init(allocator); // 将列表元素原封不动添加进堆 try self.max_heap.?.appendSlice(nums); // 堆化除叶节点以外的其他所有节点 var i: usize = parent(self.size() - 1) + 1; while (i > 0) : (i -= 1) { try self.siftDown(i - 1); } } ``` ??? pythontutor "可视化运行"

## 8.2.3 复杂度分析下面，我们来尝试推算第二种建堆方法的时间复杂度。 - 假设完全二叉树的节点数量为 $n$ ，则叶节点数量为 $(n + 1) / 2$ ，其中 $/$ 为向下整除。因此需要堆化的节点数量为 $(n - 1) / 2$ 。 - 在从顶至底堆化的过程中，每个节点最多堆化到叶节点，因此最大迭代次数为二叉树高度 $\log n$ 。将上述两者相乘，可得到建堆过程的时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。**但这个估算结果并不准确，因为我们没有考虑到二叉树底层节点数量远多于顶层节点的性质**。接下来我们来进行更为准确的计算。为了降低计算难度，假设给定一个节点数量为 $n$ 、高度为 $h$ 的“完美二叉树”，该假设不会影响计算结果的正确性。 ![完美二叉树的各层节点数量](build_heap.assets/heapify_operations_count.png){ class="animation-figure" }

图 8-5 完美二叉树的各层节点数量

如图 8-5 所示，节点“从顶至底堆化”的最大迭代次数等于该节点到叶节点的距离，而该距离正是“节点高度”。因此，我们可以对各层的“节点数量 $\times$ 节点高度”求和，**得到所有节点的堆化迭代次数的总和**。 $$ T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{(h-1)}\times1 $$ 化简上式需要借助中学的数列知识，先将 $T(h)$ 乘以 $2$ ，得到： $$ \begin{aligned} T(h) & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{h-1}\times1 \newline 2 T(h) & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \dots + 2^{h}\times1 \newline \end{aligned} $$ 使用错位相减法，用下式 $2 T(h)$ 减去上式 $T(h)$ ，可得： $$ 2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{h-1} + 2^h $$ 观察上式，发现 $T(h)$ 是一个等比数列，可直接使用求和公式，得到时间复杂度为： $$ \begin{aligned} T(h) & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline & = 2^{h+1} - h - 2 \newline & = O(2^h) \end{aligned} $$ 进一步，高度为 $h$ 的完美二叉树的节点数量为 $n = 2^{h+1} - 1$ ，易得复杂度为 $O(2^h) = O(n)$ 。以上推算表明，**输入列表并建堆的时间复杂度为 $O(n)$ ，非常高效**。