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2.4.   权衡时间与空间

理想情况下，我们希望算法的时间复杂度和空间复杂度都能达到最优。然而在实际情况中，同时优化时间复杂度和空间复杂度通常是非常困难的。

降低时间复杂度通常需要以提升空间复杂度为代价，反之亦然。我们将牺牲内存空间来提升算法运行速度的思路称为「以空间换时间」；反之，则称之为「以时间换空间」。

选择哪种思路取决于我们更看重哪个方面。在大多数情况下，时间比空间更宝贵，因此以空间换时间通常是更常用的策略。当然，在数据量很大的情况下，控制空间复杂度也是非常重要的。

2.4.1.   示例题目 *

以 LeetCode 全站第一题 两数之和 为例。

两数之和

给定一个整数数组 nums 和一个整数目标值 target ，请你在该数组中找出“和”为目标值 target 的那两个整数，并返回它们的数组下标。

你可以假设每种输入只会对应一个答案。但是，数组中同一个元素在答案里不能重复出现。

你可以按任意顺序返回答案。

「暴力枚举」和「辅助哈希表」分别对应“空间最优”和“时间最优”的两种解法。遵循时间比空间更宝贵的原则，后者是本题的最佳解法。

方法一：暴力枚举

考虑直接遍历所有可能的组合。通过开启一个两层循环，判断两个整数的和是否为 target ，若是，则返回它们的索引（即下标）。

leetcode_two_sum.java
/* 方法一：暴力枚举 */
int[] twoSumBruteForce(int[] nums, int target) {
    int size = nums.length;
    // 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
    for (int i = 0; i < size - 1; i++) {
        for (int j = i + 1; j < size; j++) {
            if (nums[i] + nums[j] == target)
                return new int[] { i, j };
        }
    }
    return new int[0];
}
leetcode_two_sum.cpp
/* 方法一：暴力枚举 */
vector<int> twoSumBruteForce(vector<int>& nums, int target) {
    int size = nums.size();
    // 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
    for (int i = 0; i < size - 1; i++) {
        for (int j = i + 1; j < size; j++) {
            if (nums[i] + nums[j] == target)
                return { i, j };
        }
    }
    return {};
}
leetcode_two_sum.py
def two_sum_brute_force(nums: list[int], target: int) -> list[int]:
    """方法一：暴力枚举"""
    # 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
    for i in range(len(nums) - 1):
        for j in range(i + 1, len(nums)):
            if nums[i] + nums[j] == target:
                return [i, j]
    return []
leetcode_two_sum.go
/* 方法一：暴力枚举 */
func twoSumBruteForce(nums []int, target int) []int {
    size := len(nums)
    // 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
    for i := 0; i < size-1; i++ {
        for j := i + 1; i < size; j++ {
            if nums[i]+nums[j] == target {
                return []int{i, j}
            }
        }
    }
    return nil
}
leetcode_two_sum.js
/* 方法一：暴力枚举 */
function twoSumBruteForce(nums, target) {
    const n = nums.length;
    // 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        for (let j = i + 1; j < n; j++) {
            if (nums[i] + nums[j] === target) {
                return [i, j];
            }
        }
    }
    return [];
}
leetcode_two_sum.ts
/* 方法一：暴力枚举 */
function twoSumBruteForce(nums: number[], target: number): number[] {
    const n = nums.length;
    // 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        for (let j = i + 1; j < n; j++) {
            if (nums[i] + nums[j] === target) {
                return [i, j];
            }
        }
    }
    return [];
};
leetcode_two_sum.c
[class]{}-[func]{twoSumBruteForce}
leetcode_two_sum.cs
/* 方法一：暴力枚举 */
int[] twoSumBruteForce(int[] nums, int target)
{
    int size = nums.Length;
    // 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
    for (int i = 0; i < size - 1; i++)
    {
        for (int j = i + 1; j < size; j++)
        {
            if (nums[i] + nums[j] == target)
                return new int[] { i, j };
        }
    }
    return new int[0];
}
leetcode_two_sum.swift
/* 方法一：暴力枚举 */
func twoSumBruteForce(nums: [Int], target: Int) -> [Int] {
    // 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
    for i in nums.indices.dropLast() {
        for j in nums.indices.dropFirst(i + 1) {
            if nums[i] + nums[j] == target {
                return [i, j]
            }
        }
    }
    return [0]
}
leetcode_two_sum.zig
// 方法一：暴力枚举
fn twoSumBruteForce(nums: []i32, target: i32) ?[2]i32 {
    var size: usize = nums.len;
    var i: usize = 0;
    // 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
    while (i < size - 1) : (i += 1) {
        var j = i + 1;
        while (j < size) : (j += 1) {
            if (nums[i] + nums[j] == target) {
                return [_]i32{@intCast(i32, i), @intCast(i32, j)};
            }
        }
    }
    return null;
}

该方法的时间复杂度为 \(O(n^2)\) ，空间复杂度为 \(O(1)\) ，属于以时间换空间。此方法时间复杂度太高，在大数据量下非常耗时。

方法二：辅助哈希表

考虑借助一个哈希表，key-value 分别为数组元素和元素索引。循环遍历数组中的每个元素 num，并执行：

  1. 判断数字 target - num 是否在哈希表中，若是则直接返回该两个元素的索引；
  2. 将元素 num 和其索引添加进哈希表；
leetcode_two_sum.java
/* 方法二：辅助哈希表 */
int[] twoSumHashTable(int[] nums, int target) {
    int size = nums.length;
    // 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
    Map<Integer, Integer> dic = new HashMap<>();
    // 单层循环，时间复杂度 O(n)
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        if (dic.containsKey(target - nums[i])) {
            return new int[] { dic.get(target - nums[i]), i };
        }
        dic.put(nums[i], i);
    }
    return new int[0];
}
leetcode_two_sum.cpp
/* 方法二：辅助哈希表 */
vector<int> twoSumHashTable(vector<int>& nums, int target) {
    int size = nums.size();
    // 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
    unordered_map<int, int> dic;
    // 单层循环，时间复杂度 O(n)
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        if (dic.find(target - nums[i]) != dic.end()) {
            return { dic[target - nums[i]], i };
        }
        dic.emplace(nums[i], i);
    }
    return {};
}
leetcode_two_sum.py
def two_sum_hash_table(nums: list[int], target: int) -> list[int]:
    """方法二：辅助哈希表"""
    # 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
    dic = {}
    # 单层循环，时间复杂度 O(n)
    for i in range(len(nums)):
        if target - nums[i] in dic:
            return [dic[target - nums[i]], i]
        dic[nums[i]] = i
    return []
leetcode_two_sum.go
/* 方法二：辅助哈希表 */
func twoSumHashTable(nums []int, target int) []int {
    // 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
    hashTable := map[int]int{}
    // 单层循环，时间复杂度 O(n)
    for idx, val := range nums {
        if preIdx, ok := hashTable[target-val]; ok {
            return []int{preIdx, idx}
        }
        hashTable[val] = idx
    }
    return nil
}
leetcode_two_sum.js
/* 方法二：辅助哈希表 */
function twoSumHashTable(nums, target) {
    // 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
    let m = {};
    // 单层循环，时间复杂度 O(n)
    for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
        if (m[nums[i]] !== undefined) {
            return [m[nums[i]], i];
        } else {
            m[target - nums[i]] = i;
        }
    }
    return [];
}
leetcode_two_sum.ts
/* 方法二：辅助哈希表 */
function twoSumHashTable(nums: number[], target: number): number[] {
    // 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
    let m: Map<number, number> = new Map();
    // 单层循环，时间复杂度 O(n)
    for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
        let index = m.get(nums[i]);
        if (index !== undefined) {
            return [index, i];
        } else {
            m.set(target - nums[i], i);
        }
    }
    return [];
};
leetcode_two_sum.c
[class]{}-[func]{twoSumHashTable}
leetcode_two_sum.cs
/* 方法二：辅助哈希表 */
int[] twoSumHashTable(int[] nums, int target)
{
    int size = nums.Length;
    // 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
    Dictionary<int, int> dic = new();
    // 单层循环，时间复杂度 O(n)
    for (int i = 0; i < size; i++)
    {
        if (dic.ContainsKey(target - nums[i]))
        {
            return new int[] { dic[target - nums[i]], i };
        }
        dic.Add(nums[i], i);
    }
    return new int[0];
}
leetcode_two_sum.swift
/* 方法二：辅助哈希表 */
func twoSumHashTable(nums: [Int], target: Int) -> [Int] {
    // 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
    var dic: [Int: Int] = [:]
    // 单层循环，时间复杂度 O(n)
    for i in nums.indices {
        if let j = dic[target - nums[i]] {
            return [j, i]
        }
        dic[nums[i]] = i
    }
    return [0]
}
leetcode_two_sum.zig
// 方法二：辅助哈希表
fn twoSumHashTable(nums: []i32, target: i32) !?[2]i32 {
    var size: usize = nums.len;
    // 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
    var dic = std.AutoHashMap(i32, i32).init(std.heap.page_allocator);
    defer dic.deinit();
    var i: usize = 0;
    // 单层循环，时间复杂度 O(n)
    while (i < size) : (i += 1) {
        if (dic.contains(target - nums[i])) {
            return [_]i32{dic.get(target - nums[i]).?, @intCast(i32, i)};
        }
        try dic.put(nums[i], @intCast(i32, i));
    }
    return null;
}

该方法的时间复杂度为 \(O(N)\) ，空间复杂度为 \(O(N)\) ，体现了以空间换时间。尽管此方法引入了额外的空间使用，但在时间和空间的整体效率更为均衡，因此它是本题的最优解法。

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