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7.1.   二叉树

「二叉树 Binary Tree」是一种非线性数据结构，代表着祖先与后代之间的派生关系，体现着“一分为二”的分治逻辑。类似于链表，二叉树也是以节点为单位存储的，节点包含「值」和两个「指针」。

/* 二叉树节点类 */
class TreeNode {
    int val;         // 节点值
    TreeNode left;   // 左子节点指针
    TreeNode right;  // 右子节点指针
    TreeNode(int x) { val = x; }
}

/* 二叉树节点结构体 */
struct TreeNode {
    int val;          // 节点值
    TreeNode *left;   // 左子节点指针
    TreeNode *right;  // 右子节点指针
    TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
};

class TreeNode:
    """二叉树节点类"""
    def __init__(self, val: int):
        self.val: int = val                   # 节点值
        self.left: Optional[TreeNode] = None  # 左子节点指针
        self.right: Optional[TreeNode] = None # 右子节点指针

/* 二叉树节点结构体 */
type TreeNode struct {
    Val   int
    Left  *TreeNode
    Right *TreeNode
}
/* 节点初始化方法 */
func NewTreeNode(v int) *TreeNode {
    return &TreeNode{
        Left:  nil,
        Right: nil,
        Val:   v,
    }
}

/* 二叉树节点类 */
function TreeNode(val, left, right) {
    this.val = (val === undefined ? 0 : val); // 节点值
    this.left = (left === undefined ? null : left); // 左子节点指针
    this.right = (right === undefined ? null : right); // 右子节点指针
}

/* 二叉树节点类 */
class TreeNode {
    val: number;
    left: TreeNode | null;
    right: TreeNode | null;

    constructor(val?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {
        this.val = val === undefined ? 0 : val; // 节点值
        this.left = left === undefined ? null : left; // 左子节点指针
        this.right = right === undefined ? null : right; // 右子节点指针
    }
}



/* 二叉树节点类 */
class TreeNode {
    int val;          // 节点值
    TreeNode? left;   // 左子节点指针
    TreeNode? right;  // 右子节点指针
    TreeNode(int x) { val = x; }
}

/* 二叉树节点类 */
class TreeNode {
    var val: Int // 节点值
    var left: TreeNode? // 左子节点指针
    var right: TreeNode? // 右子节点指针

    init(x: Int) {
        val = x
    }
}

节点的两个指针分别指向「左子节点」和「右子节点」，并且称该节点为两个子节点的「父节点」。给定二叉树某节点，将“左子节点及其以下节点形成的树”称为该节点的「左子树」，右子树同理。

除了叶节点外，每个节点都有子节点和子树。例如，若将下图的“节点 2”看作父节点，那么其左子节点和右子节点分别为“节点 4”和“节点 5”，左子树和右子树分别为“节点 4 及其以下节点形成的树”和“节点 5 及其以下节点形成的树”。

父节点、子节点、子树

Fig. 父节点、子节点、子树

7.1.1.   二叉树常见术语

二叉树的术语较多，建议尽量理解并记住。后续可能遗忘，可以在需要使用时回来查看确认。

  • 「根节点 Root Node」：二叉树最顶层的节点，其没有父节点；
  • 「叶节点 Leaf Node」：没有子节点的节点，其两个指针都指向 \(\text{null}\) ；
  • 节点所处「层 Level」：从顶至底依次增加，根节点所处层为 1 ；
  • 节点「度 Degree」：节点的子节点数量。二叉树中，度的范围是 0, 1, 2 ；
  • 「边 Edge」：连接两个节点的边，即节点指针；
  • 二叉树「高度」：二叉树中根节点到最远叶节点走过边的数量；
  • 节点「深度 Depth」 ：根节点到该节点走过边的数量；
  • 节点「高度 Height」：最远叶节点到该节点走过边的数量；

二叉树的常用术语

Fig. 二叉树的常用术语

高度与深度的定义

值得注意，我们通常将「高度」和「深度」定义为“走过边的数量”，而有些题目或教材会将其定义为“走过节点的数量”，此时高度或深度都需要 + 1 。

7.1.2.   二叉树基本操作

初始化二叉树。与链表类似，先初始化节点，再构建引用指向（即指针）。

binary_tree.java
// 初始化节点
TreeNode n1 = new TreeNode(1);
TreeNode n2 = new TreeNode(2);
TreeNode n3 = new TreeNode(3);
TreeNode n4 = new TreeNode(4);
TreeNode n5 = new TreeNode(5);
// 构建引用指向（即指针）
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;
binary_tree.cpp
/* 初始化二叉树 */
// 初始化节点
TreeNode* n1 = new TreeNode(1);
TreeNode* n2 = new TreeNode(2);
TreeNode* n3 = new TreeNode(3);
TreeNode* n4 = new TreeNode(4);
TreeNode* n5 = new TreeNode(5);
// 构建引用指向（即指针）
n1->left = n2;
n1->right = n3;
n2->left = n4;
n2->right = n5;
binary_tree.py
# 初始化二叉树
# 初始化节点
n1 = TreeNode(val=1)
n2 = TreeNode(val=2)
n3 = TreeNode(val=3)
n4 = TreeNode(val=4)
n5 = TreeNode(val=5)
# 构建引用指向（即指针）
n1.left = n2
n1.right = n3
n2.left = n4
n2.right = n5
binary_tree.go
/* 初始化二叉树 */
// 初始化节点
n1 := NewTreeNode(1)
n2 := NewTreeNode(2)
n3 := NewTreeNode(3)
n4 := NewTreeNode(4)
n5 := NewTreeNode(5)
// 构建引用指向（即指针）
n1.Left = n2
n1.Right = n3
n2.Left = n4
n2.Right = n5
binary_tree.js
/* 初始化二叉树 */
// 初始化节点
let n1 = new TreeNode(1),
    n2 = new TreeNode(2),
    n3 = new TreeNode(3),
    n4 = new TreeNode(4),
    n5 = new TreeNode(5);
// 构建引用指向（即指针）
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;
binary_tree.ts
/* 初始化二叉树 */
// 初始化节点
let n1 = new TreeNode(1),
    n2 = new TreeNode(2),
    n3 = new TreeNode(3),
    n4 = new TreeNode(4),
    n5 = new TreeNode(5);
// 构建引用指向（即指针）
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;
binary_tree.c
binary_tree.cs
/* 初始化二叉树 */
// 初始化节点
TreeNode n1 = new TreeNode(1);
TreeNode n2 = new TreeNode(2);
TreeNode n3 = new TreeNode(3);
TreeNode n4 = new TreeNode(4);
TreeNode n5 = new TreeNode(5);
// 构建引用指向（即指针）
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;
binary_tree.swift
// 初始化节点
let n1 = TreeNode(x: 1)
let n2 = TreeNode(x: 2)
let n3 = TreeNode(x: 3)
let n4 = TreeNode(x: 4)
let n5 = TreeNode(x: 5)
// 构建引用指向（即指针）
n1.left = n2
n1.right = n3
n2.left = n4
n2.right = n5
binary_tree.zig

插入与删除节点。与链表类似，插入与删除节点都可以通过修改指针实现。

在二叉树中插入与删除节点

Fig. 在二叉树中插入与删除节点

binary_tree.java
TreeNode P = new TreeNode(0);
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
n1.left = P;
P.left = n2;
// 删除节点 P
n1.left = n2;
binary_tree.cpp
/* 插入与删除节点 */
TreeNode* P = new TreeNode(0);
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
n1->left = P;
P->left = n2;
// 删除节点 P
n1->left = n2;
binary_tree.py
# 插入与删除节点
p = TreeNode(0)
# 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
n1.left = p
p.left = n2
# 删除节点 P
n1.left = n2
binary_tree.go
/* 插入与删除节点 */
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
p := NewTreeNode(0)
n1.Left = p
p.Left = n2
// 删除节点 P
n1.Left = n2
binary_tree.js
/* 插入与删除节点 */
let P = new TreeNode(0);
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
n1.left = P;
P.left = n2;
// 删除节点 P
n1.left = n2;
binary_tree.ts
/* 插入与删除节点 */
const P = new TreeNode(0);
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
n1.left = P;
P.left = n2;
// 删除节点 P
n1.left = n2;
binary_tree.c
binary_tree.cs
/* 插入与删除节点 */
TreeNode P = new TreeNode(0);
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
n1.left = P;
P.left = n2;
// 删除节点 P
n1.left = n2;
binary_tree.swift
let P = TreeNode(x: 0)
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
n1.left = P
P.left = n2
// 删除节点 P
n1.left = n2
binary_tree.zig

Note

插入节点会改变二叉树的原有逻辑结构，删除节点往往意味着删除了该节点的所有子树。因此，二叉树中的插入与删除一般都是由一套操作配合完成的，这样才能实现有意义的操作。

7.1.3.   常见二叉树类型

完美二叉树

「完美二叉树 Perfect Binary Tree」的所有层的节点都被完全填满。在完美二叉树中，叶节点的度为 \(0\) ，其余所有节点的度都为 \(2\) ；若树高度 \(= h\) ，则节点总数 \(= 2^{h+1} - 1\) ，呈标准的指数级关系，反映着自然界中常见的细胞分裂。

Tip

在中文社区中，完美二叉树常被称为「满二叉树」，请注意与完满二叉树区分。

完美二叉树

Fig. 完美二叉树

完全二叉树

「完全二叉树 Complete Binary Tree」只有最底层的节点未被填满，且最底层节点尽量靠左填充。

完全二叉树非常适合用数组来表示。如果按照层序遍历序列的顺序来存储，那么空节点 null 一定全部出现在序列的尾部，因此我们就可以不用存储这些 null 了。

完全二叉树

Fig. 完全二叉树

完满二叉树

「完满二叉树 Full Binary Tree」除了叶节点之外，其余所有节点都有两个子节点。

完满二叉树

Fig. 完满二叉树

平衡二叉树

「平衡二叉树 Balanced Binary Tree」中任意节点的左子树和右子树的高度之差的绝对值 \(\leq 1\) 。

平衡二叉树

Fig. 平衡二叉树

7.1.4.   二叉树的退化

当二叉树的每层的节点都被填满时，达到「完美二叉树」；而当所有节点都偏向一边时，二叉树退化为「链表」。

  • 完美二叉树是一个二叉树的“最佳状态”，可以完全发挥出二叉树“分治”的优势；
  • 链表则是另一个极端，各项操作都变为线性操作，时间复杂度退化至 \(O(n)\) ；

二叉树的最佳与最二叉树的最佳和最差结构差情况

Fig. 二叉树的最佳与最二叉树的最佳和最差结构差情况

如下表所示，在最佳和最差结构下，二叉树的叶节点数量、节点总数、高度等达到极大或极小值。

完美二叉树 链表
第 \(i\) 层的节点数量 \(2^{i-1}\) \(1\)
树的高度为 \(h\) 时的叶节点数量 \(2^h\) \(1\)
树的高度为 \(h\) 时的节点总数 \(2^{h+1} - 1\) \(h + 1\)
树的节点总数为 \(n\) 时的高度 \(\log_2 (n+1) - 1\) \(n - 1\)

7.1.5.   二叉树表示方式 *

我们一般使用二叉树的「链表表示」，即存储单位为节点 TreeNode ，节点之间通过指针（引用）相连接。本文前述示例代码展示了二叉树在链表表示下的各项基本操作。

那能否可以用「数组表示」二叉树呢？答案是肯定的。先来分析一个简单案例，给定一个「完美二叉树」，将节点按照层序遍历的顺序编号（从 0 开始），那么可以推导得出父节点索引与子节点索引之间的「映射公式」：设节点的索引为 \(i\) ，则该节点的左子节点索引为 \(2i + 1\) 、右子节点索引为 \(2i + 2\) 。

本质上，映射公式的作用就是链表中的指针。对于层序遍历序列中的任意节点，我们都可以使用映射公式来访问子节点。因此，可以直接使用层序遍历序列（即数组）来表示完美二叉树。

完美二叉树的数组表示

Fig. 完美二叉树的数组表示

然而，完美二叉树只是个例，二叉树中间层往往存在许多空节点（即 null ），而层序遍历序列并不包含这些空节点，并且我们无法单凭序列来猜测空节点的数量和分布位置，即理论上存在许多种二叉树都符合该层序遍历序列。显然，这种情况无法使用数组来存储二叉树。

给定数组对应多种二叉树可能性

Fig. 给定数组对应多种二叉树可能性

为了解决此问题，考虑按照完美二叉树的形式来表示所有二叉树，即在序列中使用特殊符号来显式地表示“空位”。如下图所示，这样处理后，序列（数组）就可以唯一表示二叉树了。

/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 int 的包装类 Integer ，就可以使用 null 来标记空位
Integer[] tree = { 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 };

/* 二叉树的数组表示 */
// 为了符合数据类型为 int ，使用 int 最大值标记空位
// 该方法的使用前提是没有节点的值 = INT_MAX
vector<int> tree = { 1, 2, 3, 4, INT_MAX, 6, 7, 8, 9, INT_MAX, INT_MAX, 12, INT_MAX, INT_MAX, 15 };

# 二叉树的数组表示
# 直接使用 None 来表示空位
tree = [1, 2, 3, 4, None, 6, 7, 8, 9, None, None, 12, None, None, 15]

/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 any 类型的切片, 就可以使用 nil 来标记空位
tree := []any{1, 2, 3, 4, nil, 6, 7, 8, 9, nil, nil, 12, nil, nil, 15}

/* 二叉树的数组表示 */
// 直接使用 null 来表示空位
let tree = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];

/* 二叉树的数组表示 */
// 直接使用 null 来表示空位
let tree: (number | null)[] = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];



/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 int? 可空类型 ，就可以使用 null 来标记空位
int?[] tree = { 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 };

/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 Int? 可空类型 ，就可以使用 nil 来标记空位
let tree: [Int?] = [1, 2, 3, 4, nil, 6, 7, 8, 9, nil, nil, 12, nil, nil, 15]

任意类型二叉树的数组表示

Fig. 任意类型二叉树的数组表示

回顾「完全二叉树」的定义，其只有最底层有空节点，并且最底层的节点尽量靠左，因而所有空节点都一定出现在层序遍历序列的末尾。因为我们先验地确定了空位的位置，所以在使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储“空位”。因此，完全二叉树非常适合使用数组来表示。

完全二叉树的数组表示

Fig. 完全二叉树的数组表示

数组表示有两个优点： 一是不需要存储指针，节省空间；二是可以随机访问节点。然而，当二叉树中的“空位”很多时，数组中只包含很少节点的数据，空间利用率很低。

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