7.3. 二叉树数组表示¶
在链表表示下，二叉树的存储单元为节点 TreeNode ，节点之间通过指针相连接。在上节中，我们学习了在链表表示下的二叉树的各项基本操作。
那么，能否用「数组」来表示二叉树呢？答案是肯定的。
7.3.1. 表示完美二叉树¶
先分析一个简单案例。给定一个完美二叉树，我们将所有节点按照层序遍历的顺序存储在一个数组中，则每个节点都对应唯一的数组索引。
根据层序遍历的特性，我们可以推导出父节点索引与子节点索引之间的“映射公式”：若节点的索引为 \(i\) ，则该节点的左子节点索引为 \(2i + 1\) ，右子节点索引为 \(2i + 2\) 。
Fig. 完美二叉树的数组表示
映射公式的角色相当于链表中的指针。给定数组中的任意一个节点，我们都可以通过映射公式来访问它的左（右）子节点。
7.3.2. 表示任意二叉树¶
然而完美二叉树是一个特例，在二叉树的中间层，通常存在许多 \(\text{None}\) 。由于层序遍历序列并不包含这些 \(\text{None}\) ，因此我们无法仅凭该序列来推测 \(\text{None}\) 的数量和分布位置。这意味着存在多种二叉树结构都符合该层序遍历序列。显然在这种情况下，上述的数组表示方法已经失效。
Fig. 层序遍历序列对应多种二叉树可能性
为了解决此问题，我们可以考虑在层序遍历序列中显式地写出所有 \(\text{None}\) 。如下图所示，这样处理后，层序遍历序列就可以唯一表示二叉树了。
Fig. 任意类型二叉树的数组表示
值得说明的是，完全二叉树非常适合使用数组来表示。回顾完全二叉树的定义，\(\text{None}\) 只出现在最底层且靠右的位置，因此所有 \(\text{None}\) 一定出现在层序遍历序列的末尾。这意味着使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储所有 \(\text{None}\) ，非常方便。
Fig. 完全二叉树的数组表示
如下代码给出了数组表示下的二叉树的简单实现，包括以下操作：
- 给定某节点，获取它的值、左（右）子节点、父节点。
- 获取前序遍历、中序遍历、后序遍历、层序遍历序列。
array_binary_tree.java
/* 数组表示下的二叉树类 */
class ArrayBinaryTree {
private List<Integer> tree;
/* 构造方法 */
public ArrayBinaryTree(List<Integer> arr) {
tree = new ArrayList<>(arr);
}
/* 节点数量 */
public int size() {
return tree.size();
}
/* 获取索引为 i 节点的值 */
public Integer val(int i) {
// 若索引越界，则返回 null ，代表空位
if (i < 0 || i >= size())
return null;
return tree.get(i);
}
/* 获取索引为 i 节点的左子节点的索引 */
public Integer left(int i) {
return 2 * i + 1;
}
/* 获取索引为 i 节点的右子节点的索引 */
public Integer right(int i) {
return 2 * i + 2;
}
/* 获取索引为 i 节点的父节点的索引 */
public Integer parent(int i) {
return (i - 1) / 2;
}
/* 层序遍历 */
public List<Integer> levelOrder() {
List<Integer> res = new ArrayList<>();
// 直接遍历数组
for (int i = 0; i < size(); i++) {
if (val(i) != null)
res.add(val(i));
}
return res;
}
/* 深度优先遍历 */
private void dfs(Integer i, String order, List<Integer> res) {
// 若为空位，则返回
if (val(i) == null)
return;
// 前序遍历
if (order == "pre")
res.add(val(i));
dfs(left(i), order, res);
// 中序遍历
if (order == "in")
res.add(val(i));
dfs(right(i), order, res);
// 后序遍历
if (order == "post")
res.add(val(i));
}
/* 前序遍历 */
public List<Integer> preOrder() {
List<Integer> res = new ArrayList<>();
dfs(0, "pre", res);
return res;
}
/* 中序遍历 */
public List<Integer> inOrder() {
List<Integer> res = new ArrayList<>();
dfs(0, "in", res);
return res;
}
/* 后序遍历 */
public List<Integer> postOrder() {
List<Integer> res = new ArrayList<>();
dfs(0, "post", res);
return res;
}
}
array_binary_tree.cpp
/* 数组表示下的二叉树类 */
class ArrayBinaryTree {
public:
/* 构造方法 */
ArrayBinaryTree(vector<int> arr) {
tree = arr;
}
/* 节点数量 */
int size() {
return tree.size();
}
/* 获取索引为 i 节点的值 */
int val(int i) {
// 若索引越界，则返回 INT_MAX ，代表空位
if (i < 0 || i >= size())
return INT_MAX;
return tree[i];
}
/* 获取索引为 i 节点的左子节点的索引 */
int left(int i) {
return 2 * i + 1;
}
/* 获取索引为 i 节点的右子节点的索引 */
int right(int i) {
return 2 * i + 2;
}
/* 获取索引为 i 节点的父节点的索引 */
int parent(int i) {
return (i - 1) / 2;
}
/* 层序遍历 */
vector<int> levelOrder() {
vector<int> res;
// 直接遍历数组
for (int i = 0; i < size(); i++) {
if (val(i) != INT_MAX)
res.push_back(val(i));
}
return res;
}
/* 前序遍历 */
vector<int> preOrder() {
vector<int> res;
dfs(0, "pre", res);
return res;
}
/* 中序遍历 */
vector<int> inOrder() {
vector<int> res;
dfs(0, "in", res);
return res;
}
/* 后序遍历 */
vector<int> postOrder() {
vector<int> res;
dfs(0, "post", res);
return res;
}
private:
vector<int> tree;
/* 深度优先遍历 */
void dfs(int i, string order, vector<int> &res) {
// 若为空位，则返回
if (val(i) == INT_MAX)
return;
// 前序遍历
if (order == "pre")
res.push_back(val(i));
dfs(left(i), order, res);
// 中序遍历
if (order == "in")
res.push_back(val(i));
dfs(right(i), order, res);
// 后序遍历
if (order == "post")
res.push_back(val(i));
}
};
array_binary_tree.py
class ArrayBinaryTree:
"""数组表示下的二叉树类"""
def __init__(self, arr: list[int | None]):
"""构造方法"""
self.__tree = list(arr)
def size(self):
"""节点数量"""
return len(self.__tree)
def val(self, i: int) -> int:
"""获取索引为 i 节点的值"""
# 若索引越界，则返回 None ，代表空位
if i < 0 or i >= self.size():
return None
return self.__tree[i]
def left(self, i: int) -> int | None:
"""获取索引为 i 节点的左子节点的索引"""
return 2 * i + 1
def right(self, i: int) -> int | None:
"""获取索引为 i 节点的右子节点的索引"""
return 2 * i + 2
def parent(self, i: int) -> int | None:
"""获取索引为 i 节点的父节点的索引"""
return (i - 1) // 2
def level_order(self) -> list[int]:
"""层序遍历"""
self.res = []
# 直接遍历数组
for i in range(self.size()):
if self.val(i) is not None:
self.res.append(self.val(i))
return self.res
def __dfs(self, i: int, order: str):
"""深度优先遍历"""
if self.val(i) is None:
return
# 前序遍历
if order == "pre":
self.res.append(self.val(i))
self.__dfs(self.left(i), order)
# 中序遍历
if order == "in":
self.res.append(self.val(i))
self.__dfs(self.right(i), order)
# 后序遍历
if order == "post":
self.res.append(self.val(i))
def pre_order(self) -> list[int]:
"""前序遍历"""
self.res = []
self.__dfs(0, order="pre")
return self.res
def in_order(self) -> list[int]:
"""中序遍历"""
self.res = []
self.__dfs(0, order="in")
return self.res
def post_order(self) -> list[int]:
"""后序遍历"""
self.res = []
self.__dfs(0, order="post")
return self.res
array_binary_tree.cs
/* 数组表示下的二叉树类 */
class ArrayBinaryTree {
private List<int?> tree;
/* 构造方法 */
public ArrayBinaryTree(List<int?> arr) {
tree = new List<int?>(arr);
}
/* 节点数量 */
public int size() {
return tree.Count;
}
/* 获取索引为 i 节点的值 */
public int? val(int i) {
// 若索引越界，则返回 null ，代表空位
if (i < 0 || i >= size())
return null;
return tree[i];
}
/* 获取索引为 i 节点的左子节点的索引 */
public int left(int i) {
return 2 * i + 1;
}
/* 获取索引为 i 节点的右子节点的索引 */
public int right(int i) {
return 2 * i + 2;
}
/* 获取索引为 i 节点的父节点的索引 */
public int parent(int i) {
return (i - 1) / 2;
}
/* 层序遍历 */
public List<int> levelOrder() {
List<int> res = new List<int>();
// 直接遍历数组
for (int i = 0; i < size(); i++) {
if (val(i).HasValue)
res.Add(val(i).Value);
}
return res;
}
/* 深度优先遍历 */
private void dfs(int i, string order, List<int> res) {
// 若为空位，则返回
if (!val(i).HasValue)
return;
// 前序遍历
if (order == "pre")
res.Add(val(i).Value);
dfs(left(i), order, res);
// 中序遍历
if (order == "in")
res.Add(val(i).Value);
dfs(right(i), order, res);
// 后序遍历
if (order == "post")
res.Add(val(i).Value);
}
/* 前序遍历 */
public List<int> preOrder() {
List<int> res = new List<int>();
dfs(0, "pre", res);
return res;
}
/* 中序遍历 */
public List<int> inOrder() {
List<int> res = new List<int>();
dfs(0, "in", res);
return res;
}
/* 后序遍历 */
public List<int> postOrder() {
List<int> res = new List<int>();
dfs(0, "post", res);
return res;
}
}
array_binary_tree.swift
/* 数组表示下的二叉树类 */
class ArrayBinaryTree {
private var tree: [Int?]
/* 构造方法 */
init(arr: [Int?]) {
tree = arr
}
/* 节点数量 */
func size() -> Int {
tree.count
}
/* 获取索引为 i 节点的值 */
func val(i: Int) -> Int? {
// 若索引越界，则返回 null ，代表空位
if i < 0 || i >= size() {
return nil
}
return tree[i]
}
/* 获取索引为 i 节点的左子节点的索引 */
func left(i: Int) -> Int {
2 * i + 1
}
/* 获取索引为 i 节点的右子节点的索引 */
func right(i: Int) -> Int {
2 * i + 2
}
/* 获取索引为 i 节点的父节点的索引 */
func parent(i: Int) -> Int {
(i - 1) / 2
}
/* 层序遍历 */
func levelOrder() -> [Int] {
var res: [Int] = []
// 直接遍历数组
for i in stride(from: 0, to: size(), by: 1) {
if let val = val(i: i) {
res.append(val)
}
}
return res
}
/* 深度优先遍历 */
private func dfs(i: Int, order: String, res: inout [Int]) {
// 若为空位，则返回
guard let val = val(i: i) else {
return
}
// 前序遍历
if order == "pre" {
res.append(val)
}
dfs(i: left(i: i), order: order, res: &res)
// 中序遍历
if order == "in" {
res.append(val)
}
dfs(i: right(i: i), order: order, res: &res)
// 后序遍历
if order == "post" {
res.append(val)
}
}
/* 前序遍历 */
func preOrder() -> [Int] {
var res: [Int] = []
dfs(i: 0, order: "pre", res: &res)
return res
}
/* 中序遍历 */
func inOrder() -> [Int] {
var res: [Int] = []
dfs(i: 0, order: "in", res: &res)
return res
}
/* 后序遍历 */
func postOrder() -> [Int] {
var res: [Int] = []
dfs(i: 0, order: "post", res: &res)
return res
}
}
7.3.3. 优势与局限性¶
二叉树的数组表示的优点包括：
- 数组存储在连续的内存空间中，对缓存友好，访问与遍历速度较快。
- 不需要存储指针，比较节省空间。
- 允许随机访问节点。
然而，数组表示也具有一些局限性：
- 数组存储需要连续内存空间，因此不适合存储数据量过大的树。
- 增删节点需要通过数组插入与删除操作实现，效率较低。
- 当二叉树中存在大量 \(\text{None}\) 时，数组中包含的节点数据比重较低，空间利用率较低。