--- comments: true status: new --- # 12.3. 构建二叉树问题 !!! question 给定一个二叉树的前序遍历 `preorder` 和中序遍历 `inorder` ，请从中构建二叉树，返回二叉树的根节点。 ![构建二叉树的示例数据](build_binary_tree_problem.assets/build_tree_example.png)

图：构建二叉树的示例数据

### 判断是否为分治问题原问题定义为从 `preorder` 和 `inorder` 构建二叉树。我们首先从分治的角度分析这道题： - **问题可以被分解**：从分治的角度切入，我们可以将原问题划分为两个子问题：构建左子树、构建右子树，加上一步操作：初始化根节点。而对于每个子树（子问题），我们仍然可以复用以上划分方法，将其划分为更小的子树（子问题），直至达到最小子问题（空子树）时终止。 - **子问题是独立的**：左子树和右子树是相互独立的，它们之间没有交集。在构建左子树时，我们只需要关注中序遍历和前序遍历中与左子树对应的部分。右子树同理。 - **子问题的解可以合并**：一旦得到了左子树和右子树（子问题的解），我们就可以将它们链接到根节点上，得到原问题的解。 ### 如何划分子树根据以上分析，这道题是可以使用分治来求解的，但问题是：**如何通过前序遍历 `preorder` 和中序遍历 `inorder` 来划分左子树和右子树呢**？根据定义，`preorder` 和 `inorder` 都可以被划分为三个部分： - 前序遍历：`[ 根节点 | 左子树 | 右子树 ]` ，例如上图 `[ 3 | 9 | 2 1 7 ]` 。 - 中序遍历：`[ 左子树 | 根节点｜右子树 ]` ，例如上图 `[ 9 | 3 | 1 2 7 ]` 。以上图数据为例，我们可以通过以下步骤得到上述的划分结果： 1. 前序遍历的首元素 3 是根节点的值。 2. 查找根节点 3 在 `inorder` 中的索引，利用该索引可将 `inorder` 划分为 `[ 9 | 3 ｜ 1 2 7 ]` 。 3. 根据 `inorder` 划分结果，易得左子树和右子树的节点数量分别为 1 和 3 ，从而可将 `preorder` 划分为 `[ 3 | 9 | 2 1 7 ]` 。 ![在前序和中序遍历中划分子树](build_binary_tree_problem.assets/build_tree_preorder_inorder_division.png)

图：在前序和中序遍历中划分子树

### 基于变量描述子树区间根据以上划分方法，**我们已经得到根节点、左子树、右子树在 `preorder` 和 `inorder` 中的索引区间**。而为了描述这些索引区间，我们需要借助几个指针变量： - 将当前树的根节点在 `preorder` 中的索引记为 $i$ 。 - 将当前树的根节点在 `inorder` 中的索引记为 $m$ 。 - 将当前树在 `inorder` 中的索引区间记为 $[l, r]$ 。如下表所示，通过以上变量即可表示根节点在 `preorder` 中的索引，以及子树在 `inorder` 中的索引区间。

| | 根节点在 `preorder` 中的索引 | 子树在 `inorder` 中的索引区间 | | ------ | -------------------------------- | ----------------------------- | | 当前树 | $i$ | $[l, r]$ | | 左子树 | $i + 1$ | $[l, m-1]$ | | 右子树 | $i + 1 + (m - l)$ | $[m+1, r]$ |

请注意，右子树根节点索引中的 $(m-l)$ 的含义是“左子树的节点数量”，建议配合下图理解。 ![根节点和左右子树的索引区间表示](build_binary_tree_problem.assets/build_tree_division_pointers.png)

图：根节点和左右子树的索引区间表示

### 代码实现为了提升查询 $m$ 的效率，我们借助一个哈希表 `hmap` 来存储数组 `inorder` 中元素到索引的映射。 === "Java" ```java title="build_tree.java" /* 构建二叉树：分治 */ TreeNode dfs(int[] preorder, int[] inorder, Map hmap, int i, int l, int r) { // 子树区间为空时终止 if (r - l < 0) return null; // 初始化根节点 TreeNode root = new TreeNode(preorder[i]); // 查询 m ，从而划分左右子树 int m = hmap.get(preorder[i]); // 子问题：构建左子树 root.left = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1, l, m - 1); // 子问题：构建右子树 root.right = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1 + m - l, m + 1, r); // 返回根节点 return root; } /* 构建二叉树 */ TreeNode buildTree(int[] preorder, int[] inorder) { // 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射 Map hmap = new HashMap<>(); for (int i = 0; i < inorder.length; i++) { hmap.put(inorder[i], i); } TreeNode root = dfs(preorder, inorder, hmap, 0, 0, inorder.length - 1); return root; } ``` === "C++" ```cpp title="build_tree.cpp" /* 构建二叉树：分治 */ TreeNode *dfs(vector &preorder, vector &inorder, unordered_map &hmap, int i, int l, int r) { // 子树区间为空时终止 if (r - l < 0) return NULL; // 初始化根节点 TreeNode *root = new TreeNode(preorder[i]); // 查询 m ，从而划分左右子树 int m = hmap[preorder[i]]; // 子问题：构建左子树 root->left = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1, l, m - 1); // 子问题：构建右子树 root->right = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1 + m - l, m + 1, r); // 返回根节点 return root; } /* 构建二叉树 */ TreeNode *buildTree(vector &preorder, vector &inorder) { // 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射 unordered_map hmap; for (int i = 0; i < inorder.size(); i++) { hmap[inorder[i]] = i; } TreeNode *root = dfs(preorder, inorder, hmap, 0, 0, inorder.size() - 1); return root; } ``` === "Python" ```python title="build_tree.py" def dfs( preorder: list[int], inorder: list[int], hmap: dict[int, int], i: int, l: int, r: int, ) -> TreeNode | None: """构建二叉树：分治""" # 子树区间为空时终止 if r - l < 0: return None # 初始化根节点 root = TreeNode(preorder[i]) # 查询 m ，从而划分左右子树 m = hmap[preorder[i]] # 子问题：构建左子树 root.left = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1, l, m - 1) # 子问题：构建右子树 root.right = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1 + m - l, m + 1, r) # 返回根节点 return root def build_tree(preorder: list[int], inorder: list[int]) -> TreeNode | None: """构建二叉树""" # 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射 hmap = {val: i for i, val in enumerate(inorder)} root = dfs(preorder, inorder, hmap, 0, 0, len(inorder) - 1) return root ``` === "Go" ```go title="build_tree.go" /* 构建二叉树：分治 */ func dfsBuildTree(preorder, inorder []int, hmap map[int]int, i, l, r int) *TreeNode { // 子树区间为空时终止 if r-l < 0 { return nil } // 初始化根节点 root := NewTreeNode(preorder[i]) // 查询 m ，从而划分左右子树 m := hmap[preorder[i]] // 子问题：构建左子树 root.Left = dfsBuildTree(preorder, inorder, hmap, i+1, l, m-1) // 子问题：构建右子树 root.Right = dfsBuildTree(preorder, inorder, hmap, i+1+m-l, m+1, r) // 返回根节点 return root } /* 构建二叉树 */ func buildTree(preorder, inorder []int) *TreeNode { // 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射 hmap := make(map[int]int, len(inorder)) for i := 0; i < len(inorder); i++ { hmap[inorder[i]] = i } root := dfsBuildTree(preorder, inorder, hmap, 0, 0, len(inorder)-1) return root } ``` === "JS" ```javascript title="build_tree.js" /* 构建二叉树：分治 */ function dfs(preorder, inorder, hmap, i, l, r) { // 子树区间为空时终止 if (r - l < 0) return null; // 初始化根节点 const root = new TreeNode(preorder[i]); // 查询 m ，从而划分左右子树 const m = hmap.get(preorder[i]); // 子问题：构建左子树 root.left = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1, l, m - 1); // 子问题：构建右子树 root.right = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1 + m - l, m + 1, r); // 返回根节点 return root; } /* 构建二叉树 */ function buildTree(preorder, inorder) { // 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射 let hmap = new Map(); for (let i = 0; i < inorder.length; i++) { hmap.set(inorder[i], i); } const root = dfs(preorder, inorder, hmap, 0, 0, inorder.length - 1); return root; } ``` === "TS" ```typescript title="build_tree.ts" /* 构建二叉树：分治 */ function dfs( preorder: number[], inorder: number[], hmap: Map, i: number, l: number, r: number ): TreeNode | null { // 子树区间为空时终止 if (r - l < 0) return null; // 初始化根节点 const root: TreeNode = new TreeNode(preorder[i]); // 查询 m ，从而划分左右子树 const m = hmap.get(preorder[i]); // 子问题：构建左子树 root.left = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1, l, m - 1); // 子问题：构建右子树 root.right = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1 + m - l, m + 1, r); // 返回根节点 return root; } /* 构建二叉树 */ function buildTree(preorder: number[], inorder: number[]): TreeNode | null { // 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射 let hmap = new Map(); for (let i = 0; i < inorder.length; i++) { hmap.set(inorder[i], i); } const root = dfs(preorder, inorder, hmap, 0, 0, inorder.length - 1); return root; } ``` === "C" ```c title="build_tree.c" [class]{}-[func]{dfs} [class]{}-[func]{buildTree} ``` === "C#" ```csharp title="build_tree.cs" /* 构建二叉树：分治 */ TreeNode dfs(int[] preorder, int[] inorder, Dictionary hmap, int i, int l, int r) { // 子树区间为空时终止 if (r - l < 0) return null; // 初始化根节点 TreeNode root = new TreeNode(preorder[i]); // 查询 m ，从而划分左右子树 int m = hmap[preorder[i]]; // 子问题：构建左子树 root.left = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1, l, m - 1); // 子问题：构建右子树 root.right = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1 + m - l, m + 1, r); // 返回根节点 return root; } /* 构建二叉树 */ TreeNode buildTree(int[] preorder, int[] inorder) { // 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射 Dictionary hmap = new Dictionary(); for (int i = 0; i < inorder.Length; i++) { hmap.TryAdd(inorder[i], i); } TreeNode root = dfs(preorder, inorder, hmap, 0, 0, inorder.Length - 1); return root; } ``` === "Swift" ```swift title="build_tree.swift" [class]{}-[func]{dfs} [class]{}-[func]{buildTree} ``` === "Zig" ```zig title="build_tree.zig" [class]{}-[func]{dfs} [class]{}-[func]{buildTree} ``` === "Dart" ```dart title="build_tree.dart" /* 构建二叉树：分治 */ TreeNode? dfs( List preorder, List inorder, Map hmap, int i, int l, int r, ) { // 子树区间为空时终止 if (r - l < 0) { return null; } // 初始化根节点 TreeNode? root = TreeNode(preorder[i]); // 查询 m ，从而划分左右子树 int m = hmap[preorder[i]]!; // 子问题：构建左子树 root.left = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1, l, m - 1); // 子问题：构建右子树 root.right = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1 + m - l, m + 1, r); // 返回根节点 return root; } /* 构建二叉树 */ TreeNode? buildTree(List preorder, List inorder) { // 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射 Map hmap = {}; for (int i = 0; i < inorder.length; i++) { hmap[inorder[i]] = i; } TreeNode? root = dfs(preorder, inorder, hmap, 0, 0, inorder.length - 1); return root; } ``` === "Rust" ```rust title="build_tree.rs" /* 构建二叉树：分治 */ fn dfs(preorder: &[i32], inorder: &[i32], hmap: &HashMap, i: i32, l: i32, r: i32) -> Option>> { // 子树区间为空时终止 if r - l < 0 { return None; } // 初始化根节点 let root = TreeNode::new(preorder[i as usize]); // 查询 m ，从而划分左右子树 let m = hmap.get(&preorder[i as usize]).unwrap(); // 子问题：构建左子树 root.borrow_mut().left = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1, l, m - 1); // 子问题：构建右子树 root.borrow_mut().right = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1 + m - l, m + 1, r); // 返回根节点 Some(root) } /* 构建二叉树 */ fn build_tree(preorder: &[i32], inorder: &[i32]) -> Option>> { // 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射 let mut hmap: HashMap = HashMap::new(); for i in 0..inorder.len() { hmap.insert(inorder[i], i as i32); } let root = dfs(preorder, inorder, &hmap, 0, 0, inorder.len() as i32 - 1); root } ``` 下图展示了构建二叉树的递归过程，各个节点是在向下“递”的过程中建立的，而各条边（即引用）是在向上“归”的过程中建立的。 === "<1>" ![构建二叉树的递归过程](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step1.png) === "<2>" ![built_tree_step2](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step2.png) === "<3>" ![built_tree_step3](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step3.png) === "<4>" ![built_tree_step4](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step4.png) === "<5>" ![built_tree_step5](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step5.png) === "<6>" ![built_tree_step6](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step6.png) === "<7>" ![built_tree_step7](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step7.png) === "<8>" ![built_tree_step8](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step8.png) === "<9>" ![built_tree_step9](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step9.png) === "<10>" ![built_tree_step10](build_binary_tree_problem.assets/built_tree_step10.png)

图：构建二叉树的递归过程

设树的节点数量为 $n$ ，初始化每一个节点（执行一个递归函数 `dfs()` ）使用 $O(1)$ 时间。**因此总体时间复杂度为 $O(n)$** 。哈希表存储 `inorder` 元素到索引的映射，空间复杂度为 $O(n)$ 。最差情况下，即二叉树退化为链表时，递归深度达到 $n$ ，使用 $O(n)$ 的栈帧空间。**因此总体空间复杂度为 $O(n)$** 。