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11.3.   插入排序

「插入排序 Insertion Sort」是一种基于数组插入操作的排序算法。具体来说，选择一个待排序的元素作为基准值 base ，将 base 与其左侧已排序区间的元素逐一比较大小，并将其插入到正确的位置。

回顾数组插入操作，我们需要将从目标索引到 base 之间的所有元素向右移动一位，然后再将 base 赋值给目标索引。

单次插入操作

Fig. 单次插入操作

11.3.1.   算法流程

插入排序的整体流程如下：

  1. 首先，选取数组的第 2 个元素作为 base ，执行插入操作后，数组的前 2 个元素已排序。
  2. 接着，选取第 3 个元素作为 base ，执行插入操作后，数组的前 3 个元素已排序。
  3. 以此类推，在最后一轮中，选取数组尾元素作为 base ，执行插入操作后，所有元素均已排序。

插入排序流程

Fig. 插入排序流程

insertion_sort.java
/* 插入排序 */
void insertionSort(int[] nums) {
    // 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
    for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
        int base = nums[i], j = i - 1;
        // 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
        while (j >= 0 && nums[j] > base) {
            nums[j + 1] = nums[j]; // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
            j--;
        }
        nums[j + 1] = base;        // 2. 将 base 赋值到正确位置
    }
}
insertion_sort.cpp
/* 插入排序 */
void insertionSort(vector<int> &nums) {
    // 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
    for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
        int base = nums[i], j = i - 1;
        // 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
        while (j >= 0 && nums[j] > base) {
            nums[j + 1] = nums[j]; // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
            j--;
        }
        nums[j + 1] = base; // 2. 将 base 赋值到正确位置
    }
}
insertion_sort.py
def insertion_sort(nums: list[int]) -> None:
    """插入排序"""
    # 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
    for i in range(1, len(nums)):
        base = nums[i]
        j = i - 1
        # 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
        while j >= 0 and nums[j] > base:
            nums[j + 1] = nums[j]  # 1. 将 nums[j] 向右移动一位
            j -= 1
        nums[j + 1] = base  # 2. 将 base 赋值到正确位置
insertion_sort.go
/* 插入排序 */
func insertionSort(nums []int) {
    // 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
    for i := 1; i < len(nums); i++ {
        base := nums[i]
        j := i - 1
        // 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
        for j >= 0 && nums[j] > base {
            nums[j+1] = nums[j] // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
            j--
        }
        nums[j+1] = base // 2. 将 base 赋值到正确位置
    }
}
insertion_sort.js
/* 插入排序 */
function insertionSort(nums) {
    // 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
    for (let i = 1; i < nums.length; i++) {
        let base = nums[i],
            j = i - 1;
        // 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
        while (j >= 0 && nums[j] > base) {
            nums[j + 1] = nums[j]; // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
            j--;
        }
        nums[j + 1] = base; // 2. 将 base 赋值到正确位置
    }
}
insertion_sort.ts
/* 插入排序 */
function insertionSort(nums: number[]): void {
    // 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
    for (let i = 1; i < nums.length; i++) {
        const base = nums[i];
        let j = i - 1;
        // 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
        while (j >= 0 && nums[j] > base) {
            nums[j + 1] = nums[j]; // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
            j--;
        }
        nums[j + 1] = base; // 2. 将 base 赋值到正确位置
    }
}
insertion_sort.c
/* 插入排序 */
void insertionSort(int nums[], int size) {
    // 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
    for (int i = 1; i < size; i++) {
        int base = nums[i], j = i - 1;
        // 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
        while (j >= 0 && nums[j] > base) {
            // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
            nums[j + 1] = nums[j];
            j--;
        }
        // 2. 将 base 赋值到正确位置
        nums[j + 1] = base;
    }
}
insertion_sort.cs
/* 插入排序 */
void insertionSort(int[] nums) {
    // 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
    for (int i = 1; i < nums.Length; i++) {
        int bas = nums[i], j = i - 1;
        // 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
        while (j >= 0 && nums[j] > bas) {
            nums[j + 1] = nums[j]; // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
            j--;
        }
        nums[j + 1] = bas;         // 2. 将 base 赋值到正确位置
    }
}
insertion_sort.swift
/* 插入排序 */
func insertionSort(nums: inout [Int]) {
    // 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
    for i in stride(from: 1, to: nums.count, by: 1) {
        let base = nums[i]
        var j = i - 1
        // 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
        while j >= 0, nums[j] > base {
            nums[j + 1] = nums[j] // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
            j -= 1
        }
        nums[j + 1] = base // 2. 将 base 赋值到正确位置
    }
}
insertion_sort.zig
// 插入排序
fn insertionSort(nums: []i32) void {
    // 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
    var i: usize = 1;
    while (i < nums.len) : (i += 1) {
        var base = nums[i];
        var j: usize = i;
        // 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
        while (j >= 1 and nums[j - 1] > base) : (j -= 1) {
            nums[j] = nums[j - 1];  // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
        }
        nums[j] = base;             // 2. 将 base 赋值到正确位置
    }
}

11.3.2.   算法特性

时间复杂度 \(O(n^2)\) ：最差情况下，每次插入操作分别需要循环 \(n - 1\) , \(n-2\) , \(\cdots\) , \(2\) , \(1\) 次，求和得到 \(\frac{(n - 1) n}{2}\) ，因此时间复杂度为 \(O(n^2)\) 。当输入数组完全有序时，插入排序达到最佳时间复杂度 \(O(n)\) ，因此是“自适应排序”。

空间复杂度 \(O(1)\) ：指针 \(i\) , \(j\) 使用常数大小的额外空间，所以插入排序是“原地排序”。

在插入操作过程中，我们会将元素插入到相等元素的右侧，不会改变它们的顺序，因此是“稳定排序”。

11.3.3.   插入排序优势

回顾冒泡排序和插入排序的复杂度分析，两者的循环轮数都是 \(\frac{(n - 1) n}{2}\) 。然而，它们之间存在以下差异：

  • 冒泡操作基于元素交换实现，需要借助一个临时变量，共涉及 3 个单元操作；
  • 插入操作基于元素赋值实现，仅需 1 个单元操作；

粗略估计下来，冒泡排序的计算开销约为插入排序的 3 倍，因此插入排序更受欢迎。实际上，许多编程语言（如 Java）的内置排序函数都采用了插入排序，大致思路为：

  • 对于长数组，采用基于分治的排序算法，例如「快速排序」，时间复杂度为 \(O(n \log n)\) ；
  • 对于短数组，直接使用「插入排序」，时间复杂度为 \(O(n^2)\) ；

尽管插入排序的时间复杂度高于快速排序，但在数据量较小的情况下，插入排序实际上更快。这是因为在数据量较小时，复杂度中的常数项（即每轮中的单元操作数量）起主导作用。这个现象与「线性查找」和「二分查找」的情况相似。

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