11.8.   基数排序

上一节我们介绍了计数排序，它适用于数据量 \(n\) 较大但数据范围 \(m\) 较小的情况。假设我们需要对 \(n = 10^6\) 个学号进行排序，而学号是一个 \(8\) 位数字，这意味着数据范围 \(m = 10^8\) 非常大，使用计数排序需要分配大量内存空间，而基数排序可以避免这种情况。

「基数排序 Radix Sort」的核心思想与计数排序一致，也通过统计个数来实现排序。在此基础上，基数排序利用数字各位之间的递进关系，依次对每一位进行排序，从而得到最终的排序结果。

11.8.1.   算法流程

以学号数据为例，假设数字的最低位是第 \(1\) 位，最高位是第 \(8\) 位，基数排序的步骤如下：

1. 初始化位数 \(k = 1\) ；
2. 对学号的第 \(k\) 位执行「计数排序」。完成后，数据会根据第 \(k\) 位从小到大排序；
3. 将 \(k\) 增加 \(1\) ，然后返回步骤 2. 继续迭代，直到所有位都排序完成后结束；

Fig. 基数排序算法流程

下面来剖析代码实现。对于一个 \(d\) 进制的数字 \(x\) ，要获取其第 \(k\) 位 \(x_k\) ，可以使用以下计算公式：

\[ x_k = \lfloor\frac{x}{d^{k-1}}\rfloor \bmod d \]

其中 \(\lfloor a \rfloor\) 表示对浮点数 \(a\) 向下取整，而 \(\bmod \space d\) 表示对 \(d\) 取余。对于学号数据，\(d = 10\) 且 \(k \in [1, 8]\) 。

此外，我们需要小幅改动计数排序代码，使之可以根据数字的第 \(k\) 位进行排序。

JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig

radix_sort.java

/* 获取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
int digit(int num, int exp) {
    // 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
    return (num / exp) % 10;
}

/* 计数排序（根据 nums 第 k 位排序） */
void countingSortDigit(int[] nums, int exp) {
    // 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
    int[] counter = new int[10];
    int n = nums.length;
    // 统计 0~9 各数字的出现次数
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int d = digit(nums[i], exp); // 获取 nums[i] 第 k 位，记为 d
        counter[d]++;                // 统计数字 d 的出现次数
    }
    // 求前缀和，将“出现个数”转换为“数组索引”
    for (int i = 1; i < 10; i++) {
        counter[i] += counter[i - 1];
    }
    // 倒序遍历，根据桶内统计结果，将各元素填入 res
    int[] res = new int[n];
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        int d = digit(nums[i], exp);
        int j = counter[d] - 1; // 获取 d 在数组中的索引 j
        res[j] = nums[i];       // 将当前元素填入索引 j
        counter[d]--;           // 将 d 的数量减 1
    }
    // 使用结果覆盖原数组 nums
    for (int i = 0; i < n; i++)
        nums[i] = res[i];
}

/* 基数排序 */
void radixSort(int[] nums) {
    // 获取数组的最大元素，用于判断最大位数
    int m = Integer.MIN_VALUE;
    for (int num : nums)
        if (num > m)
            m = num;
    // 按照从低位到高位的顺序遍历
    for (int exp = 1; exp <= m; exp *= 10)
        // 对数组元素的第 k 位执行计数排序
        // k = 1 -> exp = 1
        // k = 2 -> exp = 10
        // 即 exp = 10^(k-1)
        countingSortDigit(nums, exp);
}

radix_sort.cpp

/* 获取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
int digit(int num, int exp) {
    // 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
    return (num / exp) % 10;
}

/* 计数排序（根据 nums 第 k 位排序） */
void countingSortDigit(vector<int> &nums, int exp) {
    // 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
    vector<int> counter(10, 0);
    int n = nums.size();
    // 统计 0~9 各数字的出现次数
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int d = digit(nums[i], exp); // 获取 nums[i] 第 k 位，记为 d
        counter[d]++;                // 统计数字 d 的出现次数
    }
    // 求前缀和，将“出现个数”转换为“数组索引”
    for (int i = 1; i < 10; i++) {
        counter[i] += counter[i - 1];
    }
    // 倒序遍历，根据桶内统计结果，将各元素填入 res
    vector<int> res(n, 0);
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        int d = digit(nums[i], exp);
        int j = counter[d] - 1; // 获取 d 在数组中的索引 j
        res[j] = nums[i];       // 将当前元素填入索引 j
        counter[d]--;           // 将 d 的数量减 1
    }
    // 使用结果覆盖原数组 nums
    for (int i = 0; i < n; i++)
        nums[i] = res[i];
}

/* 基数排序 */
void radixSort(vector<int> &nums) {
    // 获取数组的最大元素，用于判断最大位数
    int m = *max_element(nums.begin(), nums.end());
    // 按照从低位到高位的顺序遍历
    for (int exp = 1; exp <= m; exp *= 10)
        // 对数组元素的第 k 位执行计数排序
        // k = 1 -> exp = 1
        // k = 2 -> exp = 10
        // 即 exp = 10^(k-1)
        countingSortDigit(nums, exp);
}

radix_sort.py

def digit(num: int, exp: int) -> int:
    """获取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1)"""
    # 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
    return (num // exp) % 10

def counting_sort_digit(nums: list[int], exp: int) -> None:
    """计数排序（根据 nums 第 k 位排序）"""
    # 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
    counter = [0] * 10
    n = len(nums)
    # 统计 0~9 各数字的出现次数
    for i in range(n):
        d = digit(nums[i], exp)  # 获取 nums[i] 第 k 位，记为 d
        counter[d] += 1  # 统计数字 d 的出现次数
    # 求前缀和，将“出现个数”转换为“数组索引”
    for i in range(1, 10):
        counter[i] += counter[i - 1]
    # 倒序遍历，根据桶内统计结果，将各元素填入 res
    res = [0] * n
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        d = digit(nums[i], exp)
        j = counter[d] - 1  # 获取 d 在数组中的索引 j
        res[j] = nums[i]  # 将当前元素填入索引 j
        counter[d] -= 1  # 将 d 的数量减 1
    # 使用结果覆盖原数组 nums
    for i in range(n):
        nums[i] = res[i]

def radix_sort(nums: list[int]) -> None:
    """基数排序"""
    # 获取数组的最大元素，用于判断最大位数
    m = max(nums)
    # 按照从低位到高位的顺序遍历
    exp = 1
    while exp <= m:
        # 对数组元素的第 k 位执行计数排序
        # k = 1 -> exp = 1
        # k = 2 -> exp = 10
        # 即 exp = 10^(k-1)
        counting_sort_digit(nums, exp)
        exp *= 10

radix_sort.go

/* 获取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
func digit(num, exp int) int {
    // 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
    return (num / exp) % 10
}

/* 计数排序（根据 nums 第 k 位排序） */
func countingSortDigit(nums []int, exp int) {
    // 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
    counter := make([]int, 10)
    n := len(nums)
    // 统计 0~9 各数字的出现次数
    for i := 0; i < n; i++ {
        d := digit(nums[i], exp) // 获取 nums[i] 第 k 位，记为 d
        counter[d]++             // 统计数字 d 的出现次数
    }
    // 求前缀和，将“出现个数”转换为“数组索引”
    for i := 1; i < 10; i++ {
        counter[i] += counter[i-1]
    }
    // 倒序遍历，根据桶内统计结果，将各元素填入 res
    res := make([]int, n)
    for i := n - 1; i >= 0; i-- {
        d := digit(nums[i], exp)
        j := counter[d] - 1 // 获取 d 在数组中的索引 j
        res[j] = nums[i]    // 将当前元素填入索引 j
        counter[d]--        // 将 d 的数量减 1
    }
    // 使用结果覆盖原数组 nums
    for i := 0; i < n; i++ {
        nums[i] = res[i]
    }
}

/* 基数排序 */
func radixSort(nums []int) {
    // 获取数组的最大元素，用于判断最大位数
    max := math.MinInt
    for _, num := range nums {
        if num > max {
            max = num
        }
    }
    // 按照从低位到高位的顺序遍历
    for exp := 1; max >= exp; exp *= 10 {
        // 对数组元素的第 k 位执行计数排序
        // k = 1 -> exp = 1
        // k = 2 -> exp = 10
        // 即 exp = 10^(k-1)
        countingSortDigit(nums, exp)
    }
}

radix_sort.js

/* 获取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
function digit(num, exp) {
    // 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
    return Math.floor(num / exp) % 10;
}

/* 计数排序（根据 nums 第 k 位排序） */
function countingSortDigit(nums, exp) {
    // 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
    const counter = new Array(10).fill(0);
    const n = nums.length;
    // 统计 0~9 各数字的出现次数
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        const d = digit(nums[i], exp); // 获取 nums[i] 第 k 位，记为 d
        counter[d]++; // 统计数字 d 的出现次数
    }
    // 求前缀和，将“出现个数”转换为“数组索引”
    for (let i = 1; i < 10; i++) {
        counter[i] += counter[i - 1];
    }
    // 倒序遍历，根据桶内统计结果，将各元素填入 res
    const res = new Array(n).fill(0);
    for (let i = n - 1; i >= 0; i--) {
        const d = digit(nums[i], exp);
        const j = counter[d] - 1; // 获取 d 在数组中的索引 j
        res[j] = nums[i]; // 将当前元素填入索引 j
        counter[d]--; // 将 d 的数量减 1
    }
    // 使用结果覆盖原数组 nums
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        nums[i] = res[i];
    }
}

/* 基数排序 */
function radixSort(nums) {
    // 获取数组的最大元素，用于判断最大位数
    let m = Number.MIN_VALUE;
    for (const num of nums) {
        if (num > m) {
            m = num;
        }
    }
    // 按照从低位到高位的顺序遍历
    for (let exp = 1; exp <= m; exp *= 10) {
        // 对数组元素的第 k 位执行计数排序
        // k = 1 -> exp = 1
        // k = 2 -> exp = 10
        // 即 exp = 10^(k-1)
        countingSortDigit(nums, exp);
    }
}

radix_sort.ts

/* 获取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
function digit(num: number, exp: number): number {
    // 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
    return Math.floor(num / exp) % 10;
}

/* 计数排序（根据 nums 第 k 位排序） */
function countingSortDigit(nums: number[], exp: number): void {
    // 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
    const counter = new Array(10).fill(0);
    const n = nums.length;
    // 统计 0~9 各数字的出现次数
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        const d = digit(nums[i], exp); // 获取 nums[i] 第 k 位，记为 d
        counter[d]++; // 统计数字 d 的出现次数
    }
    // 求前缀和，将“出现个数”转换为“数组索引”
    for (let i = 1; i < 10; i++) {
        counter[i] += counter[i - 1];
    }
    // 倒序遍历，根据桶内统计结果，将各元素填入 res
    const res = new Array(n).fill(0);
    for (let i = n - 1; i >= 0; i--) {
        const d = digit(nums[i], exp);
        const j = counter[d] - 1; // 获取 d 在数组中的索引 j
        res[j] = nums[i]; // 将当前元素填入索引 j
        counter[d]--; // 将 d 的数量减 1
    }
    // 使用结果覆盖原数组 nums
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        nums[i] = res[i];
    }
}

/* 基数排序 */
function radixSort(nums: number[]): void {
    // 获取数组的最大元素，用于判断最大位数
    let m = Number.MIN_VALUE;
    for (const num of nums) {
        if (num > m) {
            m = num;
        }
    }
    // 按照从低位到高位的顺序遍历
    for (let exp = 1; exp <= m; exp *= 10) {
        // 对数组元素的第 k 位执行计数排序
        // k = 1 -> exp = 1
        // k = 2 -> exp = 10
        // 即 exp = 10^(k-1)
        countingSortDigit(nums, exp);
    }
}

radix_sort.c

/* 获取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
int digit(int num, int exp) {
    // 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
    return (num / exp) % 10;
}

/* 计数排序（根据 nums 第 k 位排序） */
void countingSortDigit(int nums[], int size, int exp) {
    // 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
    int *counter = (int *)malloc((sizeof(int) * 10));
    // 统计 0~9 各数字的出现次数
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        // 获取 nums[i] 第 k 位，记为 d
        int d = digit(nums[i], exp);
        // 统计数字 d 的出现次数
        counter[d]++;
    }
    // 求前缀和，将“出现个数”转换为“数组索引”
    for (int i = 1; i < 10; i++) {
        counter[i] += counter[i - 1];
    }
    // 倒序遍历，根据桶内统计结果，将各元素填入 res
    int *res = (int *)malloc(sizeof(int) * size);
    for (int i = size - 1; i >= 0; i--) {
        int d = digit(nums[i], exp);
        int j = counter[d] - 1; // 获取 d 在数组中的索引 j
        res[j] = nums[i];       // 将当前元素填入索引 j
        counter[d]--;           // 将 d 的数量减 1
    }
    // 使用结果覆盖原数组 nums
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        nums[i] = res[i];
    }
}

/* 基数排序 */
void radixSort(int nums[], int size) {
    // 获取数组的最大元素，用于判断最大位数
    int max = INT32_MIN;
    for (size_t i = 0; i < size - 1; i++) {
        if (nums[i] > max) {
            max = nums[i];
        }
    }
    // 按照从低位到高位的顺序遍历
    for (int exp = 1; max >= exp; exp *= 10)
        // 对数组元素的第 k 位执行计数排序
        // k = 1 -> exp = 1
        // k = 2 -> exp = 10
        // 即 exp = 10^(k-1)
        countingSortDigit(nums, size, exp);
}

radix_sort.cs

/* 获取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
int digit(int num, int exp) {
    // 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
    return (num / exp) % 10;
}

/* 计数排序（根据 nums 第 k 位排序） */
void countingSortDigit(int[] nums, int exp) {
    // 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
    int[] counter = new int[10];
    int n = nums.Length;
    // 统计 0~9 各数字的出现次数
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int d = digit(nums[i], exp); // 获取 nums[i] 第 k 位，记为 d
        counter[d]++;                // 统计数字 d 的出现次数
    }
    // 求前缀和，将“出现个数”转换为“数组索引”
    for (int i = 1; i < 10; i++) {
        counter[i] += counter[i - 1];
    }
    // 倒序遍历，根据桶内统计结果，将各元素填入 res
    int[] res = new int[n];
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        int d = digit(nums[i], exp);
        int j = counter[d] - 1; // 获取 d 在数组中的索引 j
        res[j] = nums[i];       // 将当前元素填入索引 j
        counter[d]--;           // 将 d 的数量减 1
    }
    // 使用结果覆盖原数组 nums
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        nums[i] = res[i];
    }
}

/* 基数排序 */
void radixSort(int[] nums) {
    // 获取数组的最大元素，用于判断最大位数
    int m = int.MinValue;
    foreach (int num in nums) {
        if (num > m) m = num;
    }
    // 按照从低位到高位的顺序遍历
    for (int exp = 1; exp <= m; exp *= 10) {
        // 对数组元素的第 k 位执行计数排序
        // k = 1 -> exp = 1
        // k = 2 -> exp = 10
        // 即 exp = 10^(k-1)
        countingSortDigit(nums, exp);
    }
}

radix_sort.swift

/* 获取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
func digit(num: Int, exp: Int) -> Int {
    // 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
    (num / exp) % 10
}

/* 计数排序（根据 nums 第 k 位排序） */
func countingSortDigit(nums: inout [Int], exp: Int) {
    // 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
    var counter = Array(repeating: 0, count: 10)
    let n = nums.count
    // 统计 0~9 各数字的出现次数
    for i in nums.indices {
        let d = digit(num: nums[i], exp: exp) // 获取 nums[i] 第 k 位，记为 d
        counter[d] += 1 // 统计数字 d 的出现次数
    }
    // 求前缀和，将“出现个数”转换为“数组索引”
    for i in 1 ..< 10 {
        counter[i] += counter[i - 1]
    }
    // 倒序遍历，根据桶内统计结果，将各元素填入 res
    var res = Array(repeating: 0, count: n)
    for i in stride(from: n - 1, through: 0, by: -1) {
        let d = digit(num: nums[i], exp: exp)
        let j = counter[d] - 1 // 获取 d 在数组中的索引 j
        res[j] = nums[i] // 将当前元素填入索引 j
        counter[d] -= 1 // 将 d 的数量减 1
    }
    // 使用结果覆盖原数组 nums
    for i in nums.indices {
        nums[i] = res[i]
    }
}

/* 基数排序 */
func radixSort(nums: inout [Int]) {
    // 获取数组的最大元素，用于判断最大位数
    var m = Int.min
    for num in nums {
        if num > m {
            m = num
        }
    }
    // 按照从低位到高位的顺序遍历
    for exp in sequence(first: 1, next: { m >= ($0 * 10) ? $0 * 10 : nil }) {
        // 对数组元素的第 k 位执行计数排序
        // k = 1 -> exp = 1
        // k = 2 -> exp = 10
        // 即 exp = 10^(k-1)
        countingSortDigit(nums: &nums, exp: exp)
    }
}

radix_sort.zig

// 获取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1)
fn digit(num: i32, exp: i32) i32 {
    // 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
    return @mod(@divFloor(num, exp), 10);
}

// 计数排序（根据 nums 第 k 位排序）
fn countingSortDigit(nums: []i32, exp: i32) !void {
    // 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶
    var mem_arena = std.heap.ArenaAllocator.init(std.heap.page_allocator);
    // defer mem_arena.deinit();
    const mem_allocator = mem_arena.allocator();
    var counter = try mem_allocator.alloc(usize, 10);
    std.mem.set(usize, counter, 0);
    var n = nums.len;
    // 统计 0~9 各数字的出现次数
    for (nums) |num| {
        var d = @bitCast(u32, digit(num, exp)); // 获取 nums[i] 第 k 位，记为 d
        counter[d] += 1; // 统计数字 d 的出现次数
    }
    // 求前缀和，将“出现个数”转换为“数组索引”
    var i: usize = 1;
    while (i < 10) : (i += 1) {
        counter[i] += counter[i - 1];
    }
    // 倒序遍历，根据桶内统计结果，将各元素填入 res
    var res = try mem_allocator.alloc(i32, n);
    i = n - 1;
    while (i >= 0) : (i -= 1) {
        var d = @bitCast(u32, digit(nums[i], exp));
        var j = counter[d] - 1; // 获取 d 在数组中的索引 j
        res[j] = nums[i];       // 将当前元素填入索引 j
        counter[d] -= 1;        // 将 d 的数量减 1
        if (i == 0) break;
    }
    // 使用结果覆盖原数组 nums
    i = 0;
    while (i < n) : (i += 1) {
        nums[i] = res[i];
    }
}

// 基数排序
fn radixSort(nums: []i32) !void {
    // 获取数组的最大元素，用于判断最大位数
    var m: i32 = std.math.minInt(i32);
    for (nums) |num| {
        if (num > m) m = num;
    }
    // 按照从低位到高位的顺序遍历
    var exp: i32 = 1;
    while (exp <= m) : (exp *= 10) {
        // 对数组元素的第 k 位执行计数排序
        // k = 1 -> exp = 1
        // k = 2 -> exp = 10
        // 即 exp = 10^(k-1)
        try countingSortDigit(nums, exp);    
    }
} 

为什么从最低位开始排序？

在连续的排序轮次中，后一轮排序会覆盖前一轮排序的结果。举例来说，如果第一轮排序结果 \(a < b\) ，而第二轮排序结果 \(a > b\) ，那么第二轮的结果将取代第一轮的结果。由于数字的高位优先级高于低位，我们应该先排序低位再排序高位。

11.8.2.   算法特性

时间复杂度 \(O(nk)\) ：设数据量为 \(n\) 、数据为 \(d\) 进制、最大位数为 \(k\) ，则对某一位执行计数排序使用 \(O(n + d)\) 时间，排序所有 \(k\) 位使用 \(O((n + d)k)\) 时间。通常情况下，\(d\) 和 \(k\) 都相对较小，时间复杂度趋向 \(O(n)\) 。

空间复杂度 \(O(n + d)\) ：与计数排序相同，基数排序需要借助长度为 \(n\) 和 \(d\) 的数组 res 和 counter ，因此它是一种“非原地排序”。

基数排序与计数排序一样，都属于稳定排序。相较于计数排序，基数排序适用于数值范围较大的情况，但前提是数据必须可以表示为固定位数的格式，且位数不能过大。例如，浮点数不适合使用基数排序，因为其位数 \(k\) 过大，可能导致时间复杂度 \(O(nk) \gg O(n^2)\) 。

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