--- comments: true --- # 二叉树 「二叉树 Binary Tree」是一种非线性数据结构，代表着祖先与后代之间的派生关系，体现着 “一分为二” 的分治逻辑。类似于链表，二叉树也是以结点为单位存储的，结点包含「值」和两个「指针」。 === "Java" ```java title="" /* 链表结点类 */ class TreeNode { int val; // 结点值 TreeNode left; // 左子结点指针 TreeNode right; // 右子结点指针 TreeNode(int x) { val = x; } } ``` === "C++" ```cpp title="" /* 链表结点结构体 */ struct TreeNode { int val; // 结点值 TreeNode *left; // 左子结点指针 TreeNode *right; // 右子结点指针 TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {} }; ``` === "Python" ```python title="" class TreeNode: """ 链表结点类 """ def __init__(self, val=None, left=None, right=None): self.val = val # 结点值 self.left = left # 左子结点指针 self.right = right # 右子结点指针 ``` === "Go" ```go title="" """ 链表结点类 """ type TreeNode struct { Val int Left *TreeNode Right *TreeNode } """ 结点初始化方法 """ func NewTreeNode(v int) *TreeNode { return &TreeNode{ Left: nil, Right: nil, Val: v, } } ``` === "JavaScript" ```js title="" /* 链表结点类 */ function TreeNode(val, left, right) { this.val = (val === undefined ? 0 : val); // 结点值 this.left = (left === undefined ? null : left); // 左子结点指针 this.right = (right === undefined ? null : right); // 右子结点指针 } ``` === "TypeScript" ```typescript title="" /* 链表结点类 */ class TreeNode { val: number; left: TreeNode | null; right: TreeNode | null; constructor(val?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) { this.val = val === undefined ? 0 : val; // 结点值 this.left = left === undefined ? null : left; // 左子结点指针 this.right = right === undefined ? null : right; // 右子结点指针 } } ``` === "C" ```c title="" ``` === "C#" ```csharp title="" ``` 结点的两个指针分别指向「左子结点 Left Child Node」和「右子结点 Right Child Node」，并且称该结点为两个子结点的「父结点 Parent Node」。给定二叉树某结点，将左子结点以下的树称为该结点的「左子树 Left Subtree」，右子树同理。 ![binary_tree_definition](binary_tree.assets/binary_tree_definition.png)

Fig. 子结点与子树

需要注意，父结点、子结点、子树是可以向下递推的。例如，如果将上图的「结点 2」看作父结点，那么其左子结点和右子结点分别为「结点 4」和「结点 5」，左子树和右子树分别为「结点 4 以下的树」和「结点 5 以下的树」。 ## 二叉树常见术语 二叉树的术语较多，建议尽量理解并记住。后续可能遗忘，可以在需要使用时回来查看确认。 - 「根结点 Root Node」：二叉树最顶层的结点，其没有父结点； - 「叶结点 Leaf Node」：没有子结点的结点，其两个指针都指向 $\text{null}$ ； - 结点所处「层 Level」：从顶置底依次增加，根结点所处层为 1 ； - 结点「度 Degree」：结点的子结点数量，二叉树中度的范围是 0, 1, 2 ； - 「边 Edge」：连接两个结点的边，即结点指针； - 二叉树「高度」：二叉树中根结点到最远叶结点走过边的数量； - 结点「深度 Depth」 ：根结点到该结点走过边的数量； - 结点「高度 Height」：最远叶结点到该结点走过边的数量； ![binary_tree_terminology](binary_tree.assets/binary_tree_terminology.png)

Fig. 二叉树的常见术语

!!! tip "高度与深度的定义" 值得注意，我们通常将「高度」和「深度」定义为“走过边的数量”，而有些题目或教材会将其定义为“走过结点的数量”，此时高度或深度都需要 + 1 。 ## 二叉树最佳和最差结构 当二叉树的每层的结点都被填满时，达到「完美二叉树」；而当所有结点都偏向一边时，二叉树退化为「链表」。 ![binary_tree_corner_cases](binary_tree.assets/binary_tree_corner_cases.png)

Fig. 二叉树的最佳和最差结构

如下表所示，在最佳和最差结构下，二叉树的叶结点数量、结点总数、高度等达到极大或极小值。
| | 完美二叉树 | 链表 | | ----------------------------- | ---------- | ---------- | | 第 $i$ 层的结点数量 | $2^{i-1}$ | $1$ | | 树的高度为 $h$ 时的叶结点数量 | $2^h$ | $1$ | | 树的高度为 $h$ 时的结点总数 | $2^{h+1} - 1$ | $h + 1$ | | 树的结点总数为 $n$ 时的高度 | $\log_2 (n+1) - 1$ | $n - 1$ |
## 二叉树基本操作 **初始化二叉树。** 与链表类似，先初始化结点，再构建引用指向（即指针）。 === "Java" ```java title="binary_tree.java" // 初始化结点 TreeNode n1 = new TreeNode(1); TreeNode n2 = new TreeNode(2); TreeNode n3 = new TreeNode(3); TreeNode n4 = new TreeNode(4); TreeNode n5 = new TreeNode(5); // 构建引用指向（即指针） n1.left = n2; n1.right = n3; n2.left = n4; n2.right = n5; ``` === "C++" ```cpp title="binary_tree.cpp" /* 初始化二叉树 */ // 初始化结点 TreeNode* n1 = new TreeNode(1); TreeNode* n2 = new TreeNode(2); TreeNode* n3 = new TreeNode(3); TreeNode* n4 = new TreeNode(4); TreeNode* n5 = new TreeNode(5); // 构建引用指向（即指针） n1->left = n2; n1->right = n3; n2->left = n4; n2->right = n5; ``` === "Python" ```python title="binary_tree.py" # 初始化二叉树 # 初始化节点 n1 = TreeNode(val=1) n2 = TreeNode(val=2) n3 = TreeNode(val=3) n4 = TreeNode(val=4) n5 = TreeNode(val=5) # 构建引用指向（即指针） n1.left = n2 n1.right = n3 n2.left = n4 n2.right = n5 ``` === "Go" ```go title="binary_tree.go" /* 初始化二叉树 */ // 初始化结点 n1 := NewTreeNode(1) n2 := NewTreeNode(2) n3 := NewTreeNode(3) n4 := NewTreeNode(4) n5 := NewTreeNode(5) // 构建引用指向（即指针） n1.Left = n2 n1.Right = n3 n2.Left = n4 n2.Right = n5 ``` === "JavaScript" ```js title="binary_tree.js" /* 初始化二叉树 */ // 初始化结点 let n1 = new TreeNode(1), n2 = new TreeNode(2), n3 = new TreeNode(3), n4 = new TreeNode(4), n5 = new TreeNode(5); // 构建引用指向（即指针） n1.left = n2; n1.right = n3; n2.left = n4; n2.right = n5; ``` === "TypeScript" ```typescript title="binary_tree.ts" /* 初始化二叉树 */ // 初始化结点 let n1 = new TreeNode(1), n2 = new TreeNode(2), n3 = new TreeNode(3), n4 = new TreeNode(4), n5 = new TreeNode(5); // 构建引用指向（即指针） n1.left = n2; n1.right = n3; n2.left = n4; n2.right = n5; ``` === "C" ```c title="binary_tree.c" ``` === "C#" ```csharp title="binary_tree.cs" ``` **插入与删除结点。** 与链表类似，插入与删除结点都可以通过修改指针实现。 ![binary_tree_add_remove](binary_tree.assets/binary_tree_add_remove.png)

Fig. 在二叉树中插入与删除结点

=== "Java" ```java title="binary_tree.java" TreeNode P = new TreeNode(0); // 在 n1 -> n2 中间插入结点 P n1.left = P; P.left = n2; // 删除结点 P n1.left = n2; ``` === "C++" ```cpp title="binary_tree.cpp" /* 插入与删除结点 */ TreeNode* P = new TreeNode(0); // 在 n1 -> n2 中间插入结点 P n1->left = P; P->left = n2; // 删除结点 P n1->left = n2; ``` === "Python" ```python title="binary_tree.py" # 插入与删除结点 p = TreeNode(0) # 在 n1 -> n2 中间插入结点 P n1.left = p p.left = n2 # 删除节点 P n1.left = n2 ``` === "Go" ```go title="binary_tree.go" /* 插入与删除结点 */ // 在 n1 -> n2 中间插入结点 P p := NewTreeNode(0) n1.Left = p p.Left = n2 // 删除结点 P n1.Left = n2 ``` === "JavaScript" ```js title="binary_tree.js" /* 插入与删除结点 */ let P = new TreeNode(0); // 在 n1 -> n2 中间插入结点 P n1.left = P; P.left = n2; // 删除结点 P n1.left = n2; ``` === "TypeScript" ```typescript title="binary_tree.ts" /* 插入与删除结点 */ const P = new TreeNode(0); // 在 n1 -> n2 中间插入结点 P n1.left = P; P.left = n2; // 删除结点 P n1.left = n2; ``` === "C" ```c title="binary_tree.c" ``` === "C#" ```csharp title="binary_tree.cs" ``` !!! note 插入结点会改变二叉树的原有逻辑结构，删除结点往往意味着删除了该结点的所有子树。因此，二叉树中的插入与删除一般都是由一套操作配合完成的，这样才能实现有意义的操作。 ## 二叉树遍历 非线性数据结构的遍历操作比线性数据结构更加复杂，往往需要使用搜索算法来实现。常见的二叉树遍历方式有层序遍历、前序遍历、中序遍历、后序遍历。 ### 层序遍历 「层序遍历 Hierarchical-Order Traversal」从顶至底、一层一层地遍历二叉树，并在每层中按照从左到右的顺序访问结点。 层序遍历本质上是「广度优先搜索 Breadth-First Traversal」，其体现着一种 “一圈一圈向外” 的层进遍历方式。 ![binary_tree_bfs](binary_tree.assets/binary_tree_bfs.png)

Fig. 二叉树的层序遍历

广度优先遍历一般借助「队列」来实现。队列的规则是 “先进先出” ，广度优先遍历的规则是 ”一层层平推“ ，两者背后的思想是一致的。 === "Java" ```java title="binary_tree_bfs.java" /* 层序遍历 */ List hierOrder(TreeNode root) { // 初始化队列，加入根结点 Queue queue = new LinkedList<>() {{ add(root); }}; // 初始化一个列表，用于保存遍历序列 List list = new ArrayList<>(); while (!queue.isEmpty()) { TreeNode node = queue.poll(); // 队列出队 list.add(node.val); // 保存结点值 if (node.left != null) queue.offer(node.left); // 左子结点入队 if (node.right != null) queue.offer(node.right); // 右子结点入队 } return list; } ``` === "C++" ```cpp title="binary_tree_bfs.cpp" /* 层序遍历 */ vector hierOrder(TreeNode* root) { // 初始化队列，加入根结点 queue queue; queue.push(root); // 初始化一个列表，用于保存遍历序列 vector vec; while (!queue.empty()) { TreeNode* node = queue.front(); queue.pop(); // 队列出队 vec.push_back(node->val); // 保存结点 if (node->left != nullptr) queue.push(node->left); // 左子结点入队 if (node->right != nullptr) queue.push(node->right); // 右子结点入队 } return vec; } ``` === "Python" ```python title="binary_tree_bfs.py" def hierOrder(root): # 初始化队列，加入根结点 queue = collections.deque() queue.append(root) # 初始化一个列表，用于保存遍历序列 result = [] while queue: # 队列出队 node = queue.popleft() # 保存节点值 result.append(node.val) if node.left is not None: # 左子结点入队 queue.append(node.left) if node.right is not None: # 右子结点入队 queue.append(node.right) return result ``` === "Go" ```go title="binary_tree_bfs.go" /* 层序遍历 */ func levelOrder(root *TreeNode) []int { // 初始化队列，加入根结点 queue := list.New() queue.PushBack(root) // 初始化一个切片，用于保存遍历序列 nums := make([]int, 0) for queue.Len() > 0 { // poll node := queue.Remove(queue.Front()).(*TreeNode) // 保存结点 nums = append(nums, node.Val) if node.Left != nil { // 左子结点入队 queue.PushBack(node.Left) } if node.Right != nil { // 右子结点入队 queue.PushBack(node.Right) } } return nums } ``` === "JavaScript" ```js title="binary_tree_bfs.js" /* 层序遍历 */ function hierOrder(root) { // 初始化队列，加入根结点 let queue = [root]; // 初始化一个列表，用于保存遍历序列 let list = []; while (queue.length) { let node = queue.shift(); // 队列出队 list.push(node.val); // 保存结点 if (node.left) queue.push(node.left); // 左子结点入队 if (node.right) queue.push(node.right); // 右子结点入队 } return list; } ``` === "TypeScript" ```typescript title="binary_tree_bfs.ts" /* 层序遍历 */ function hierOrder(root: TreeNode | null): number[] { // 初始化队列，加入根结点 const queue = [root]; // 初始化一个列表，用于保存遍历序列 const list: number[] = []; while (queue.length) { let node = queue.shift() as TreeNode; // 队列出队 list.push(node.val); // 保存结点 if (node.left) { queue.push(node.left); // 左子结点入队 } if (node.right) { queue.push(node.right); // 右子结点入队 } } return list; } ``` === "C" ```c title="binary_tree_bfs.c" ``` === "C#" ```csharp title="binary_tree_bfs.cs" ``` ### 前序、中序、后序遍历 相对地，前、中、后序遍历皆属于「深度优先遍历 Depth-First Traversal」，其体现着一种 “先走到尽头，再回头继续” 的回溯遍历方式。 如下图所示，左侧是深度优先遍历的的示意图，右上方是对应的递归实现代码。深度优先遍历就像是绕着整个二叉树的外围 “走” 一圈，走的过程中，在每个结点都会遇到三个位置，分别对应前序遍历、中序遍历、后序遍历。 ![binary_tree_dfs](binary_tree.assets/binary_tree_dfs.png)

Fig. 二叉树的前 / 中 / 后序遍历

| 位置 | 含义 | 此处访问结点时对应 | | ---------- | ------------------------------------ | ----------------------------- | | 橙色圆圈处 | 刚进入此结点，即将访问该结点的左子树 | 前序遍历 Pre-Order Traversal | | 蓝色圆圈处 | 已访问完左子树，即将访问右子树 | 中序遍历 In-Order Traversal | | 紫色圆圈处 | 已访问完左子树和右子树，即将返回 | 后序遍历 Post-Order Traversal |
=== "Java" ```java title="binary_tree_dfs.java" /* 前序遍历 */ void preOrder(TreeNode root) { if (root == null) return; // 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树 list.add(root.val); preOrder(root.left); preOrder(root.right); } /* 中序遍历 */ void inOrder(TreeNode root) { if (root == null) return; // 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树 inOrder(root.left); list.add(root.val); inOrder(root.right); } /* 后序遍历 */ void postOrder(TreeNode root) { if (root == null) return; // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点 postOrder(root.left); postOrder(root.right); list.add(root.val); } ``` === "C++" ```cpp title="binary_tree_dfs.cpp" /* 前序遍历 */ void preOrder(TreeNode* root) { if (root == nullptr) return; // 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树 vec.push_back(root->val); preOrder(root->left); preOrder(root->right); } /* 中序遍历 */ void inOrder(TreeNode* root) { if (root == nullptr) return; // 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树 inOrder(root->left); vec.push_back(root->val); inOrder(root->right); } /* 后序遍历 */ void postOrder(TreeNode* root) { if (root == nullptr) return; // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点 postOrder(root->left); postOrder(root->right); vec.push_back(root->val); } ``` === "Python" ```python title="binary_tree_dfs.py" def preOrder(root): """ 前序遍历二叉树 """ if root is None: return # 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树 result.append(root.val) preOrder(root=root.left) preOrder(root=root.right) def inOrder(root): """ 中序遍历二叉树 """ if root is None: return # 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树 inOrder(root=root.left) result.append(root.val) inOrder(root=root.right) def postOrder(root): """ 后序遍历二叉树 """ if root is None: return # 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点 postOrder(root=root.left) postOrder(root=root.right) result.append(root.val) ``` === "Go" ```go title="binary_tree_dfs.go" /* 前序遍历 */ func preOrder(node *TreeNode) { if node == nil { return } // 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树 nums = append(nums, node.Val) preOrder(node.Left) preOrder(node.Right) } /* 中序遍历 */ func inOrder(node *TreeNode) { if node == nil { return } // 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树 inOrder(node.Left) nums = append(nums, node.Val) inOrder(node.Right) } /* 后序遍历 */ func postOrder(node *TreeNode) { if node == nil { return } // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点 postOrder(node.Left) postOrder(node.Right) nums = append(nums, node.Val) } ``` === "JavaScript" ```js title="binary_tree_dfs.js" /* 前序遍历 */ function preOrder(root){ if (root === null) return; // 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树 list.push(root.val); preOrder(root.left); preOrder(root.right); } /* 中序遍历 */ function inOrder(root) { if (root === null) return; // 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树 inOrder(root.left); list.push(root.val); inOrder(root.right); } /* 后序遍历 */ function postOrder(root) { if (root === null) return; // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点 postOrder(root.left); postOrder(root.right); list.push(root.val); } ``` === "TypeScript" ```typescript title="binary_tree_dfs.ts" /* 前序遍历 */ function preOrder(root: TreeNode | null): void { if (root === null) { return; } // 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树 list.push(root.val); preOrder(root.left); preOrder(root.right); } /* 中序遍历 */ function inOrder(root: TreeNode | null): void { if (root === null) { return; } // 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树 inOrder(root.left); list.push(root.val); inOrder(root.right); } /* 后序遍历 */ function postOrder(root: TreeNode | null): void { if (root === null) { return; } // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点 postOrder(root.left); postOrder(root.right); list.push(root.val); } ``` === "C" ```c title="binary_tree_dfs.c" ``` === "C#" ```csharp title="binary_tree_dfs.cs" ``` !!! note 使用循环一样可以实现前、中、后序遍历，但代码相对繁琐，有兴趣的同学可以自行实现。