# 算法无处不在

当我们听到“算法”这个词时，很自然地会想到数学。然而实际上，许多算法并不涉及复杂数学，而是更多地依赖于基本逻辑，这些逻辑在我们的日常生活中处处可见。

在正式探讨算法之前，有一个有趣的事实值得分享：**你已经在不知不觉中学会了许多算法，并习惯将它们应用到日常生活中了**。下面，我将举几个具体例子来证实这一点。

**例一：查阅字典**。在字典里，每个汉字都对应一个拼音，而字典是按照拼音的英文字母顺序排列的。假设我们需要查找一个拼音首字母为 $r$ 的字，通常会这样操作：

1. 翻开字典约一半的页数，查看该页首字母是什么，假设首字母为 $m$ 。
2. 由于在英文字母表中 $r$ 位于 $m$ 之后，所以排除字典前半部分，查找范围缩小到后半部分。
3. 不断重复步骤 1-2 ，直至找到拼音首字母为 $r$ 的页码为止。

=== "<1>"
    ![查字典步骤](algorithms_are_everywhere.assets/binary_search_dictionary_step_1.png)

=== "<2>"
    ![binary_search_dictionary_step_2](algorithms_are_everywhere.assets/binary_search_dictionary_step_2.png)

=== "<3>"
    ![binary_search_dictionary_step_3](algorithms_are_everywhere.assets/binary_search_dictionary_step_3.png)

=== "<4>"
    ![binary_search_dictionary_step_4](algorithms_are_everywhere.assets/binary_search_dictionary_step_4.png)

=== "<5>"
    ![binary_search_dictionary_step_5](algorithms_are_everywhere.assets/binary_search_dictionary_step_5.png)

查阅字典这个小学生必备技能，实际上就是著名的「二分查找」。从数据结构的角度，我们可以把字典视为一个已排序的「数组」；从算法的角度，我们可以将上述查字典的一系列操作看作是「二分查找」算法。

**例二：整理扑克**。我们在打牌时，每局都需要整理扑克牌，使其从小到大排列，实现流程如下：

1. 将扑克牌划分为“有序”和“无序”两部分，并假设初始状态下最左 1 张扑克牌已经有序。
2. 在无序区间抽出一张扑克牌，插入至有序区间的正确位置；完成后最左 2 张扑克已经有序。
3. 在无序区间抽出一张扑克牌，插入至有序区间的正确位置；完成后最左 3 张扑克已经有序。
4. 不断循环以上操作，直至所有扑克牌都有序后终止。

以上整理扑克牌的方法本质上就是「插入排序」算法，它在处理小型数据集时非常高效。许多编程语言的排序库函数中都存在插入排序的身影。

![扑克排序步骤](algorithms_are_everywhere.assets/playing_cards_sorting.png)

**例三：货币找零**。假设我们在超市购买了 $69$ 元的商品，给收银员付了 $100$ 元，则收银员需要给我们找 $31$ 元。他会很自然地完成以下思考：

1. 可选项是比 $31$ 元面值更小的货币，包括 $1$ , $5$ , $10$ , $20$ 元。
2. 从可选项中拿出最大的 $20$ 元，剩余 $31 - 20 = 11$ 元。
3. 从剩余可选项中拿出最大的 $10$ 元，剩余 $11 - 10 = 1$ 元。
4. 从剩余可选项中拿出最大的 $1$ 元，剩余 $1 - 1 = 0$ 元。
5. 完成找零，方案为 $20 + 10 + 1 = 31$ 元。

在以上步骤中，我们每一步都采取当前看来最好的选择（尽可能用大面额的货币），最终得到了可行的找零方案。从数据结构与算法的角度看，这种方法本质上是「贪心算法」。

![货币找零过程](algorithms_are_everywhere.assets/greedy_change.png)

小到烹饪一道菜，大到星际航行，几乎所有问题的解决都离不开算法。计算机的出现使我们能够通过编程将数据结构存储在内存中，同时编写代码调用 CPU 和 GPU 执行算法。这样一来，我们就能把生活中的问题转移到计算机上，以更高效的方式解决各种复杂问题。

!!! tip

    阅读至此，如果你对数据结构、算法、数组和二分查找等概念仍感到一知半解，那么太好了！因为这正是本书存在的意义。接下来，这本书将一步步引导你深入数据结构与算法的知识殿堂。