11.6. 计数排序¶
前面介绍的几种排序算法都属于 基于比较的排序算法，即通过比较元素之间的大小来实现排序，此类排序算法的时间复杂度无法超越 \(O(n \log n)\) 。接下来，我们将学习一种 非比较排序算法 ，名为「计数排序 Counting Sort」，其时间复杂度可以达到 \(O(n)\) 。
11.6.1. 简单实现¶
先看一个简单例子。给定一个长度为 \(n\) 的数组 nums ，元素皆为 非负整数。计数排序的整体流程为：
- 统计数组的最大数字，记为 \(m\) ，并建立一个长度为 \(m + 1\) 的辅助数组
counter； - 借助
counter统计nums中各数字的出现次数，其中counter[num]对应数字num的出现次数。统计方法很简单，只需遍历nums（设当前数字为num），每轮将counter[num]自增 \(1\) 即可。 - 由于
counter的各个索引是天然有序的，因此相当于所有数字已经被排序好了。接下来，我们遍历counter，根据各数字的出现次数，将各数字按从小到大的顺序填入nums即可。
以下是实现代码，计数排序名副其实，确实是通过“统计数量”来实现排序的。
/* 计数排序 */
// 该实现无法用于排序对象
void countingSortNaive(int[] nums) {
// 1. 统计数组最大元素 m
int m = 0;
for (int num : nums) {
m = Math.max(m, num);
}
// 2. 统计各数字的出现次数
// counter[num] 代表 num 的出现次数
int[] counter = new int[m + 1];
for (int num : nums) {
counter[num]++;
}
// 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
int i = 0;
for (int num = 0; num < m + 1; num++) {
for (int j = 0; j < counter[num]; j++, i++) {
nums[i] = num;
}
}
}
11.6.2. 完整实现¶
细心的同学可能发现，如果输入数据是对象，上述步骤 3. 就失效了。例如输入数据是商品对象，我们想要按照商品价格（类的成员变量）对商品进行排序，而上述算法只能给出价格的排序结果。
那么如何才能得到原数据的排序结果呢？我们首先计算 counter 的「前缀和」，顾名思义，索引 i 处的前缀和 prefix[i] 等于数组前 i 个元素之和，即
前缀和具有明确意义，prefix[num] - 1 代表元素 num 在结果数组 res 中最后一次出现的索引。这个信息很关键，因为其给出了各个元素应该出现在结果数组的哪个位置。接下来，我们倒序遍历原数组 nums 的每个元素 num ，在每轮迭代中执行：
- 将
num填入数组res的索引prefix[num] - 1处； - 令前缀和
prefix[num]自减 \(1\) ，从而得到下次放置num的索引；
完成遍历后，数组 res 中就是排序好的结果，最后使用 res 覆盖原数组 nums 即可；
计数排序的实现代码如下所示。
/* 计数排序 */
// 该实现可排序对象，并且是稳定排序
void countingSort(int[] nums) {
// 1. 统计数组最大元素 m
int m = 0;
for (int num : nums) {
m = Math.max(m, num);
}
// 2. 统计各数字的出现次数
// counter[num] 代表 num 的出现次数
int[] counter = new int[m + 1];
for (int num : nums) {
counter[num]++;
}
// 3. 求 counter 的前缀和，将“出现次数”转换为“尾索引”
// 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最后一次出现的索引
for (int i = 0; i < m; i++) {
counter[i + 1] += counter[i];
}
// 4. 倒序遍历 nums ，将各元素填入结果数组 res
// 初始化数组 res 用于记录结果
int n = nums.length;
int[] res = new int[n];
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
int num = nums[i];
res[counter[num] - 1] = num; // 将 num 放置到对应索引处
counter[num]--; // 令前缀和自减 1 ，得到下次放置 num 的索引
}
// 使用结果数组 res 覆盖原数组 nums
for (int i = 0; i < n; i++) {
nums[i] = res[i];
}
}
11.6.3. 算法特性¶
时间复杂度 \(O(n + m)\) ：涉及遍历 nums 和遍历 counter ，都使用线性时间。一般情况下 \(n \gg m\) ，此时使用线性 \(O(n)\) 时间。
空间复杂度 \(O(n + m)\) ：数组 res 和 counter 长度分别为 \(n\) , \(m\) 。
非原地排序：借助了辅助数组 counter 和结果数组 res 的额外空间。
稳定排序：倒序遍历 nums 保持了相等元素的相对位置。
非自适应排序：与元素分布无关。
为什么是稳定排序？
由于向 res 中填充元素的顺序是“从右向左”的，因此倒序遍历 nums 可以避免改变相等元素之间的相对位置，从而实现“稳定排序”；其实正序遍历 nums 也可以得到正确的排序结果，但结果“非稳定”。
11.6.4. 局限性¶
看到这里，你也许会觉得计数排序太妙了，咔咔一通操作，时间复杂度就下来了。但实际上与其它算法一样，计数排序也无法摆脱“此消彼长”的宿命，时间复杂度优化的代价是通用型变差。
计数排序只适用于非负整数。若想要用在其他类型数据上，则要求该数据必须可以被转化为非负整数，并且不能改变各个元素之间的相对大小关系。例如，对于包含负数的整数数组，可以先给所有数字加上一个常数，将全部数字转化为正数，排序完成后再转换回去即可。
计数排序只适用于数据范围不大的情况。比如，上述示例中 \(m\) 不能太大，否则占用空间太多；而当 \(n \ll m\) 时，计数排序使用 \(O(m)\) 时间，有可能比 \(O(n \log n)\) 的排序算法还要慢。