# 插入排序 「插入排序 Insertion Sort」是一种简单的排序算法,它的工作原理与手动整理一副牌的过程非常相似。 具体来说,我们在未排序区间选择一个基准元素,将该元素与其左侧已排序区间的元素逐一比较大小,并将该元素插入到正确的位置。 回忆数组的元素插入操作,设基准元素为 `base` ,我们需要将从目标索引到 `base` 之间的所有元素向右移动一位,然后再将 `base` 赋值给目标索引。 ![单次插入操作](insertion_sort.assets/insertion_operation.png) ## 算法流程 插入排序的整体流程如下: 1. 初始状态下,数组的第 1 个元素已完成排序。 2. 选取数组的第 2 个元素作为 `base` ,将其插入到正确位置后,**数组的前 2 个元素已排序**。 3. 选取第 3 个元素作为 `base` ,将其插入到正确位置后,**数组的前 3 个元素已排序**。 4. 以此类推,在最后一轮中,选取最后一个元素作为 `base` ,将其插入到正确位置后,**所有元素均已排序**。 ![插入排序流程](insertion_sort.assets/insertion_sort_overview.png) === "Java" ```java title="insertion_sort.java" [class]{insertion_sort}-[func]{insertionSort} ``` === "C++" ```cpp title="insertion_sort.cpp" [class]{}-[func]{insertionSort} ``` === "Python" ```python title="insertion_sort.py" [class]{}-[func]{insertion_sort} ``` === "Go" ```go title="insertion_sort.go" [class]{}-[func]{insertionSort} ``` === "JavaScript" ```javascript title="insertion_sort.js" [class]{}-[func]{insertionSort} ``` === "TypeScript" ```typescript title="insertion_sort.ts" [class]{}-[func]{insertionSort} ``` === "C" ```c title="insertion_sort.c" [class]{}-[func]{insertionSort} ``` === "C#" ```csharp title="insertion_sort.cs" [class]{insertion_sort}-[func]{insertionSort} ``` === "Swift" ```swift title="insertion_sort.swift" [class]{}-[func]{insertionSort} ``` === "Zig" ```zig title="insertion_sort.zig" [class]{}-[func]{insertionSort} ``` ## 算法特性 **时间复杂度 $O(n^2)$** :最差情况下,每次插入操作分别需要循环 $n - 1$ , $n-2$ , $\cdots$ , $2$ , $1$ 次,求和得到 $\frac{(n - 1) n}{2}$ ,因此时间复杂度为 $O(n^2)$ 。当输入数组完全有序时,插入排序达到最佳时间复杂度 $O(n)$ ,因此是“自适应排序”。 **空间复杂度 $O(1)$** :指针 $i$ , $j$ 使用常数大小的额外空间,所以插入排序是“原地排序”。 在插入操作过程中,我们会将元素插入到相等元素的右侧,不会改变它们的顺序,因此是“稳定排序”。 ## 插入排序优势 插入排序的时间复杂度为 $O(n^2)$ ,而我们即将学习的快速排序的时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。尽管插入排序的时间复杂度相比快速排序更高,**但在数据量较小的情况下,插入排序通常更快**。这是因为快速排序属于基于分治的排序算法,包含更多单元计算操作。而在数据量较小时,复杂度中的常数项起主导作用。这个现象与线性查找和二分查找的适用情况相似。 实际上,许多编程语言(例如 Java)的内置排序函数都采用了插入排序,大致思路为: - 对于长数组,采用基于分治的排序算法,例如快速排序,时间复杂度为 $O(n \log n)$ ; - 对于短数组,直接使用插入排序,时间复杂度为 $O(n^2)$ ; 虽然冒泡排序、选择排序和插入排序的时间复杂度都为 $O(n^2)$ ,但在实际情况中,插入排序出现的频率远远高于冒泡排序和选择排序。这是因为: - 冒泡排序基于元素交换实现,需要借助一个临时变量,共涉及 3 个单元操作;插入排序基于元素赋值实现,仅需 1 个单元操作。因此,**冒泡排序的计算开销通常比插入排序更高**。 - 选择排序在任何情况下的时间复杂度都为 $O(n^2)$ 。**如果给定一组部分有序的数据,插入排序通常比选择排序效率更高**。 - 选择排序不稳定,无法应用于多级排序。