4.1. 数组

「数组 Array」是一种将 相同类型元素 存储在 连续内存空间 的数据结构，将元素在数组中的位置称为元素的「索引 Index」。

Fig. 数组定义与存储方式

Note

观察上图，我们发现 数组首元素的索引为 \(0\) 。你可能会想，这并不符合日常习惯，首个元素的索引为什么不是 \(1\) 呢，这不是更加自然吗？我认同你的想法，但请先记住这个设定，后面讲内存地址计算时，我会尝试解答这个问题。

数组有多种初始化写法。根据实际需要，选代码最短的那一种就好。

JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig

array.java

/* 初始化数组 */
int[] arr = new int[5]; // { 0, 0, 0, 0, 0 }
int[] nums = { 1, 3, 2, 5, 4 };

array.cpp

/* 初始化数组 */
int* arr = new int[5];
int* nums = new int[5] { 1, 3, 2, 5, 4 };

array.py

""" 初始化数组 """
arr = [0] * 5  # [ 0, 0, 0, 0, 0 ]
nums = [1, 3, 2, 5, 4]  

array.go

/* 初始化数组 */
var arr [5]int
// 在 Go 中，指定长度时（[5]int）为数组，不指定长度时（[]int）为切片
// 由于 Go 的数组被设计为在编译期确定长度，因此只能使用常量来指定长度
// 为了方便实现扩容 extend() 方法，以下将切片（Slice）看作数组（Array）
nums := []int{1, 3, 2, 5, 4}

array.js

/* 初始化数组 */
var arr = new Array(5).fill(0);
var nums = [1, 3, 2, 5, 4];

array.ts

/* 初始化数组 */
let arr: number[] = new Array(5).fill(0);
let nums: number[] = [1, 3, 2, 5, 4];

array.c

array.cs

/* 初始化数组 */
int[] arr = new int[5]; // { 0, 0, 0, 0, 0 }
int[] nums = { 1, 3, 2, 5, 4 };

array.swift

/* 初始化数组 */
let arr = Array(repeating: 0, count: 5) // [0, 0, 0, 0, 0]
let nums = [1, 3, 2, 5, 4]

array.zig

// 初始化数组
var arr = [_]i32{0} ** 5; // { 0, 0, 0, 0, 0 }
var nums = [_]i32{ 1, 3, 2, 5, 4 };

4.1.1. 数组优点

在数组中访问元素非常高效。这是因为在数组中，计算元素的内存地址非常容易。给定数组首个元素的地址、和一个元素的索引，利用以下公式可以直接计算得到该元素的内存地址，从而直接访问此元素。

Fig. 数组元素的内存地址计算

// 元素内存地址 = 数组内存地址 + 元素长度 * 元素索引
elementAddr = firtstElementAddr + elementLength * elementIndex

为什么数组元素索引从 0 开始编号？ 根据地址计算公式，索引本质上表示的是内存地址偏移量，首个元素的地址偏移量是 \(0\) ，那么索引是 \(0\) 也就很自然了。

访问元素的高效性带来了许多便利。例如，我们可以在 \(O(1)\) 时间内随机获取一个数组中的元素。

JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig

array.java

/* 随机返回一个数组元素 */
int randomAccess(int[] nums) {
    // 在区间 [0, nums.length) 中随机抽取一个数字
    int randomIndex = ThreadLocalRandom.current().
                      nextInt(0, nums.length);
    // 获取并返回随机元素
    int randomNum = nums[randomIndex];
    return randomNum;
}

array.cpp

/* 随机返回一个数组元素 */
int randomAccess(int* nums, int size) {
    // 在区间 [0, size) 中随机抽取一个数字
    int randomIndex = rand() % size;
    // 获取并返回随机元素
    int randomNum = nums[randomIndex];
    return randomNum;
}

array.py

""" 随机访问元素 """
def random_access(nums):
    # 在区间 [0, len(nums)-1] 中随机抽取一个数字
    random_index = random.randint(0, len(nums) - 1)
    # 获取并返回随机元素
    random_num = nums[random_index]
    return random_num

array.go

/* 随机返回一个数组元素 */
func randomAccess(nums []int) (randomNum int) {
    // 在区间 [0, nums.length) 中随机抽取一个数字
    randomIndex := rand.Intn(len(nums))
    // 获取并返回随机元素
    randomNum = nums[randomIndex]
    return
}

array.js

/* 随机返回一个数组元素 */
function randomAccess(nums) {
    // 在区间 [0, nums.length) 中随机抽取一个数字
    const random_index = Math.floor(Math.random() * nums.length);
    // 获取并返回随机元素
    const random_num = nums[random_index];
    return random_num;
}

array.ts

/* 随机返回一个数组元素 */
function randomAccess(nums: number[]): number {
    // 在区间 [0, nums.length) 中随机抽取一个数字
    const random_index = Math.floor(Math.random() * nums.length);
    // 获取并返回随机元素
    const random_num = nums[random_index];
    return random_num;
}

array.c

array.cs

/* 随机返回一个数组元素 */
int RandomAccess(int[] nums)
{
    Random random=new();
    // 在区间 [0, nums.Length) 中随机抽取一个数字
    int randomIndex = random.Next(nums.Length);
    // 获取并返回随机元素
    int randomNum = nums[randomIndex];
    return randomNum;
}

array.swift

/* 随机返回一个数组元素 */
func randomAccess(nums: [Int]) -> Int {
    // 在区间 [0, nums.count) 中随机抽取一个数字
    let randomIndex = nums.indices.randomElement()!
    // 获取并返回随机元素
    let randomNum = nums[randomIndex]
    return randomNum
}

array.zig

// 随机返回一个数组元素
pub fn randomAccess(nums: []i32) i32 {
    // 在区间 [0, nums.len) 中随机抽取一个整数
    var randomIndex = std.crypto.random.intRangeLessThan(usize, 0, nums.len);
    // 获取并返回随机元素
    var randomNum = nums[randomIndex];
    return randomNum;
}

4.1.2. 数组缺点

数组在初始化后长度不可变。由于系统无法保证数组之后的内存空间是可用的，因此数组长度无法扩展。而若希望扩容数组，则需新建一个数组，然后把原数组元素依次拷贝到新数组，在数组很大的情况下，这是非常耗时的。

JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig

array.java

/* 扩展数组长度 */
int[] extend(int[] nums, int enlarge) {
    // 初始化一个扩展长度后的数组
    int[] res = new int[nums.length + enlarge];
    // 将原数组中的所有元素复制到新数组
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        res[i] = nums[i];
    }
    // 返回扩展后的新数组
    return res;
}

array.cpp

/* 扩展数组长度 */
int* extend(int* nums, int size, int enlarge) {
    // 初始化一个扩展长度后的数组
    int* res = new int[size + enlarge];
    // 将原数组中的所有元素复制到新数组
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        res[i] = nums[i];
    }
    // 释放内存
    delete[] nums;
    // 返回扩展后的新数组
    return res;
}

array.py

""" 扩展数组长度 """
# 请注意，Python 的 list 是动态数组，可以直接扩展
# 为了方便学习，本函数将 list 看作是长度不可变的数组
def extend(nums, enlarge):
    # 初始化一个扩展长度后的数组
    res = [0] * (len(nums) + enlarge)
    # 将原数组中的所有元素复制到新数组
    for i in range(len(nums)):
        res[i] = nums[i]
    # 返回扩展后的新数组
    return res

array.go

/* 扩展数组长度 */
func extend(nums []int, enlarge int) []int {
    // 初始化一个扩展长度后的数组
    res := make([]int, len(nums)+enlarge)
    // 将原数组中的所有元素复制到新数组
    for i, num := range nums {
        res[i] = num
    }
    // 返回扩展后的新数组
    return res
}

array.js

/* 扩展数组长度 */
// 请注意，JavaScript 的 Array 是动态数组，可以直接扩展
// 为了方便学习，本函数将 Array 看作是长度不可变的数组
function extend(nums, enlarge) {
    // 初始化一个扩展长度后的数组
    const res = new Array(nums.length + enlarge).fill(0);
    // 将原数组中的所有元素复制到新数组
    for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
        res[i] = nums[i];
    }
    // 返回扩展后的新数组
    return res;
}

array.ts

/* 扩展数组长度 */
// 请注意，TypeScript 的 Array 是动态数组，可以直接扩展
// 为了方便学习，本函数将 Array 看作是长度不可变的数组
function extend(nums: number[], enlarge: number): number[] {
    // 初始化一个扩展长度后的数组
    const res = new Array(nums.length + enlarge).fill(0);
    // 将原数组中的所有元素复制到新数组
    for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
        res[i] = nums[i];
    }
    // 返回扩展后的新数组
    return res;
}

array.c

array.cs

/* 扩展数组长度 */
int[] Extend(int[] nums, int enlarge)
{
    // 初始化一个扩展长度后的数组
    int[] res = new int[nums.Length + enlarge];
    // 将原数组中的所有元素复制到新数组
    for (int i = 0; i < nums.Length; i++)
    {
        res[i] = nums[i];
    }
    // 返回扩展后的新数组
    return res;
}

array.swift

/* 扩展数组长度 */
func extend(nums: [Int], enlarge: Int) -> [Int] {
    // 初始化一个扩展长度后的数组
    var res = Array(repeating: 0, count: nums.count + enlarge)
    // 将原数组中的所有元素复制到新数组
    for i in nums.indices {
        res[i] = nums[i]
    }
    // 返回扩展后的新数组
    return res
}

array.zig

// 扩展数组长度
pub fn extend(mem_allocator: std.mem.Allocator, nums: []i32, enlarge: usize) ![]i32 {
    // 初始化一个扩展长度后的数组
    var res = try mem_allocator.alloc(i32, nums.len + enlarge);
    std.mem.set(i32, res, 0);
    // 将原数组中的所有元素复制到新数组
    std.mem.copy(i32, res, nums);
    // 返回扩展后的新数组
    return res;
}

数组中插入或删除元素效率低下。假设我们想要在数组中间某位置插入一个元素，由于数组元素在内存中是“紧挨着的”，它们之间没有空间再放任何数据。因此，我们不得不将此索引之后的所有元素都向后移动一位，然后再把元素赋值给该索引。删除元素也是类似，需要把此索引之后的元素都向前移动一位。总体看有以下缺点：

• 时间复杂度高：数组的插入和删除的平均时间复杂度均为 \(O(N)\) ，其中 \(N\) 为数组长度。
• 丢失元素：由于数组的长度不可变，因此在插入元素后，超出数组长度范围的元素会被丢失。
• 内存浪费：我们一般会初始化一个比较长的数组，只用前面一部分，这样在插入数据时，丢失的末尾元素都是我们不关心的，但这样做同时也会造成内存空间的浪费。

Fig. 在数组中插入与删除元素

JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig

array.java

/* 在数组的索引 index 处插入元素 num */
void insert(int[] nums, int num, int index) {
    // 把索引 index 以及之后的所有元素向后移动一位
    for (int i = nums.length - 1; i > index; i--) {
        nums[i] = nums[i - 1];
    }
    // 将 num 赋给 index 处元素
    nums[index] = num;
}

/* 删除索引 index 处元素 */
void remove(int[] nums, int index) {
    // 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位
    for (int i = index; i < nums.length - 1; i++) {
        nums[i] = nums[i + 1];
    }
}

array.cpp

/* 在数组的索引 index 处插入元素 num */
void insert(int* nums, int size, int num, int index) {
    // 把索引 index 以及之后的所有元素向后移动一位
    for (int i = size - 1; i > index; i--) {
        nums[i] = nums[i - 1];
    }
    // 将 num 赋给 index 处元素
    nums[index] = num;
}

/* 删除索引 index 处元素 */
void remove(int* nums, int size, int index) {
    // 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位
    for (int i = index; i < size - 1; i++) {
        nums[i] = nums[i + 1];
    }
}

array.py

""" 在数组的索引 index 处插入元素 num """
def insert(nums, num, index):
    # 把索引 index 以及之后的所有元素向后移动一位
    for i in range(len(nums) - 1, index, -1):
        nums[i] = nums[i - 1]
    # 将 num 赋给 index 处元素
    nums[index] = num

""" 删除索引 index 处元素 """
def remove(nums, index):
    # 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位
    for i in range(index, len(nums) - 1):
        nums[i] = nums[i + 1]

array.go

/* 在数组的索引 index 处插入元素 num */
func insert(nums []int, num int, index int) {
    // 把索引 index 以及之后的所有元素向后移动一位
    for i := len(nums) - 1; i > index; i-- {
        nums[i] = nums[i-1]
    }
    // 将 num 赋给 index 处元素
    nums[index] = num
}

/* 删除索引 index 处元素 */
func remove(nums []int, index int) {
    // 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位
    for i := index; i < len(nums)-1; i++ {
        nums[i] = nums[i+1]
    }
}

array.js

/* 在数组的索引 index 处插入元素 num */
function insert(nums, num, index) {
    // 把索引 index 以及之后的所有元素向后移动一位
    for (let i = nums.length - 1; i > index; i--) {
        nums[i] = nums[i - 1];
    }
    // 将 num 赋给 index 处元素
    nums[index] = num;
}

/* 删除索引 index 处元素 */
function remove(nums, index) {
    // 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位
    for (let i = index; i < nums.length - 1; i++) {
        nums[i] = nums[i + 1];
    }
}

array.ts

/* 在数组的索引 index 处插入元素 num */
function insert(nums: number[], num: number, index: number): void {
    // 把索引 index 以及之后的所有元素向后移动一位
    for (let i = nums.length - 1; i > index; i--) {
        nums[i] = nums[i - 1];
    }
    // 将 num 赋给 index 处元素
    nums[index] = num;
}

/* 删除索引 index 处元素 */
function remove(nums: number[], index: number): void {
    // 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位
    for (let i = index; i < nums.length - 1; i++) {
        nums[i] = nums[i + 1];
    }
}

array.c

array.cs

/* 在数组的索引 index 处插入元素 num */
void Insert(int[] nums, int num, int index)
{
    // 把索引 index 以及之后的所有元素向后移动一位
    for (int i = nums.Length - 1; i > index; i--)
    {
        nums[i] = nums[i - 1];
    }
    // 将 num 赋给 index 处元素
    nums[index] = num;
}
/* 删除索引 index 处元素 */
void Remove(int[] nums, int index)
{
    // 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位
    for (int i = index; i < nums.Length - 1; i++)
    {
        nums[i] = nums[i + 1];
    }
}

array.swift

/* 在数组的索引 index 处插入元素 num */
func insert(nums: inout [Int], num: Int, index: Int) {
    // 把索引 index 以及之后的所有元素向后移动一位
    for i in sequence(first: nums.count - 1, next: { $0 > index + 1 ? $0 - 1 : nil }) {
        nums[i] = nums[i - 1]
    }
    // 将 num 赋给 index 处元素
    nums[index] = num
}

/* 删除索引 index 处元素 */
func remove(nums: inout [Int], index: Int) {
    let count = nums.count
    // 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位
    for i in sequence(first: index, next: { $0 < count - 1 - 1 ? $0 + 1 : nil }) {
        nums[i] = nums[i + 1]
    }
}

array.zig

// 在数组的索引 index 处插入元素 num
pub fn insert(nums: []i32, num: i32, index: usize) void {
    // 把索引 index 以及之后的所有元素向后移动一位
    var i = nums.len - 1;
    while (i > index) : (i -= 1) {
        nums[i] = nums[i - 1];
    }
    // 将 num 赋给 index 处元素
    nums[index] = num;
}

// 删除索引 index 处元素
pub fn remove(nums: []i32, index: usize) void {
    // 把索引 index 之后的所有元素向前移动一位
    var i = index;
    while (i < nums.len - 1) : (i += 1) {
        nums[i] = nums[i + 1];
    }
}

4.1.3. 数组常用操作

数组遍历。以下介绍两种常用的遍历方法。

JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig

array.java

/* 遍历数组 */
void traverse(int[] nums) {
    int count = 0;
    // 通过索引遍历数组
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        count++;
    }
    // 直接遍历数组
    for (int num : nums) {
        count++;
    }
}

array.cpp

/* 遍历数组 */
void traverse(int* nums, int size) {
    int count = 0;
    // 通过索引遍历数组
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        count++;
    }
}

array.py

""" 遍历数组 """
def traverse(nums):
    count = 0
    # 通过索引遍历数组
    for i in range(len(nums)):
        count += 1
    # 直接遍历数组
    for num in nums:
        count += 1

array.go

/* 遍历数组 */
func traverse(nums []int) {
    count := 0
    // 通过索引遍历数组
    for i := 0; i < len(nums); i++ {
        count++
    }
    // 直接遍历数组
    for range nums {
        count++
    }
}

array.js

/* 遍历数组 */
function traverse(nums) {
    let count = 0;
    // 通过索引遍历数组
    for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
        count++;
    }
    // 直接遍历数组
    for (let num of nums) {
        count += 1;
    }
}

array.ts

/* 遍历数组 */
function traverse(nums: number[]): void {
    let count = 0;
    // 通过索引遍历数组
    for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
        count++;
    }
    // 直接遍历数组
    for (let num of nums) {
        count += 1;
    }
}

array.c

array.cs

/* 遍历数组 */
void Traverse(int[] nums)
{
    int count = 0;
    // 通过索引遍历数组
    for (int i = 0; i < nums.Length; i++)
    {
        count++;
    }
    // 直接遍历数组
    foreach (int num in nums)
    {
        count++;
    }
}

array.swift

/* 遍历数组 */
func traverse(nums: [Int]) {
    var count = 0
    // 通过索引遍历数组
    for _ in nums.indices {
        count += 1
    }
    // 直接遍历数组
    for _ in nums {
        count += 1
    }
}

array.zig

// 遍历数组
pub fn traverse(nums: []i32) void {
    var count: i32 = 0;
    // 通过索引遍历数组
    var i: i32 = 0;
    while (i < nums.len) : (i += 1) {
        count += 1;
    }
    count = 0;
    // 直接遍历数组
    for (nums) |_| {
        count += 1;
    }
}

数组查找。通过遍历数组，查找数组内的指定元素，并输出对应索引。

JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig

array.java

/* 在数组中查找指定元素 */
int find(int[] nums, int target) {
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        if (nums[i] == target)
            return i;
    }
    return -1;
}

array.cpp

/* 在数组中查找指定元素 */
int find(int* nums, int size, int target) {
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        if (nums[i] == target)
            return i;
    }
    return -1;
}

array.py

""" 在数组中查找指定元素 """
def find(nums, target):
    for i in range(len(nums)):
        if nums[i] == target:
            return i
    return -1

array.go

/* 在数组中查找指定元素 */
func find(nums []int, target int) (index int) {
    index = -1
    for i := 0; i < len(nums); i++ {
        if nums[i] == target {
            index = i
            break
        }
    }
    return
}

array.js

/* 在数组中查找指定元素 */
function find(nums, target) {
    for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
        if (nums[i] == target) return i;
    }
    return -1;
}

array.ts

/* 在数组中查找指定元素 */
function find(nums: number[], target: number): number {
    for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
        if (nums[i] === target) {
            return i;
        }
    }
    return -1;
}

array.c

array.cs

/* 在数组中查找指定元素 */
int Find(int[] nums, int target)
{
    for (int i = 0; i < nums.Length; i++)
    {
        if (nums[i] == target)
            return i;
    }
    return -1;
}

array.swift

/* 在数组中查找指定元素 */
func find(nums: [Int], target: Int) -> Int {
    for i in nums.indices {
        if nums[i] == target {
            return i
        }
    }
    return -1
}

array.zig

// 在数组中查找指定元素
pub fn find(nums: []i32, target: i32) i32 {
    for (nums) |num, i| {
        if (num == target) return @intCast(i32, i);
    }
    return -1;
}

4.1.4. 数组典型应用

随机访问。如果我们想要随机抽取一些样本，那么可以用数组存储，并生成一个随机序列，根据索引实现样本的随机抽取。

二分查找。例如前文查字典的例子，我们可以将字典中的所有字按照拼音顺序存储在数组中，然后使用与日常查纸质字典相同的“翻开中间，排除一半”的方式，来实现一个查电子字典的算法。

深度学习。神经网络中大量使用了向量、矩阵、张量之间的线性代数运算，这些数据都是以数组的形式构建的。数组是神经网络编程中最常使用的数据结构。

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