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3.3   數字編碼 *

Note

在本書中，標題帶有 * 符號的是選讀章節。如果你時間有限或感到理解困難，可以先跳過，等學完必讀章節後再單獨攻克。

3.3.1   原碼、一補數和二補數

在上一節的表格中我們發現，所有整數型別能夠表示的負數都比正數多一個，例如 byte 的取值範圍是 \([-128, 127]\) 。這個現象比較反直覺，它的內在原因涉及原碼、一補數、二補數的相關知識。

首先需要指出，數字是以“二補數”的形式儲存在計算機中的。在分析這樣做的原因之前，首先給出三者的定義。

  • 原碼：我們將數字的二進位制表示的最高位視為符號位，其中 \(0\) 表示正數，\(1\) 表示負數，其餘位表示數字的值。
  • 一補數：正數的一補數與其原碼相同，負數的一補數是對其原碼除符號位外的所有位取反。
  • 二補數：正數的二補數與其原碼相同，負數的二補數是在其一補數的基礎上加 \(1\) 。

圖 3-4 展示了原碼、一補數和二補數之間的轉換方法。

原碼、一補數與二補數之間的相互轉換

圖 3-4   原碼、一補數與二補數之間的相互轉換

原碼（sign-magnitude）雖然最直觀，但存在一些侷限性。一方面，負數的原碼不能直接用於運算。例如在原碼下計算 \(1 + (-2)\) ，得到的結果是 \(-3\) ，這顯然是不對的。

\[ \begin{aligned} & 1 + (-2) \newline & \rightarrow 0000 \; 0001 + 1000 \; 0010 \newline & = 1000 \; 0011 \newline & \rightarrow -3 \end{aligned} \]

為了解決此問題，計算機引入了一補數（1's complement）。如果我們先將原碼轉換為一補數，並在一補數下計算 \(1 + (-2)\) ，最後將結果從一補數轉換回原碼，則可得到正確結果 \(-1\) 。

\[ \begin{aligned} & 1 + (-2) \newline & \rightarrow 0000 \; 0001 \; \text{(原碼)} + 1000 \; 0010 \; \text{(原碼)} \newline & = 0000 \; 0001 \; \text{(一補數)} + 1111 \; 1101 \; \text{(一補數)} \newline & = 1111 \; 1110 \; \text{(一補數)} \newline & = 1000 \; 0001 \; \text{(原碼)} \newline & \rightarrow -1 \end{aligned} \]

另一方面，數字零的原碼有 \(+0\) 和 \(-0\) 兩種表示方式。這意味著數字零對應兩個不同的二進位制編碼，這可能會帶來歧義。比如在條件判斷中，如果沒有區分正零和負零，則可能會導致判斷結果出錯。而如果我們想處理正零和負零歧義，則需要引入額外的判斷操作，這可能會降低計算機的運算效率。

\[ \begin{aligned} +0 & \rightarrow 0000 \; 0000 \newline -0 & \rightarrow 1000 \; 0000 \end{aligned} \]

與原碼一樣，一補數也存在正負零歧義問題，因此計算機進一步引入了二補數（2's complement）。我們先來觀察一下負零的原碼、一補數、二補數的轉換過程：

\[ \begin{aligned} -0 \rightarrow \; & 1000 \; 0000 \; \text{(原碼)} \newline = \; & 1111 \; 1111 \; \text{(一補數)} \newline = 1 \; & 0000 \; 0000 \; \text{(二補數)} \newline \end{aligned} \]

在負零的一補數基礎上加 \(1\) 會產生進位，但 byte 型別的長度只有 8 位，因此溢位到第 9 位的 \(1\) 會被捨棄。也就是說，負零的二補數為 \(0000 \; 0000\) ，與正零的二補數相同。這意味著在二補數表示中只存在一個零，正負零歧義從而得到解決。

還剩最後一個疑惑：byte 型別的取值範圍是 \([-128, 127]\) ，多出來的一個負數 \(-128\) 是如何得到的呢？我們注意到，區間 \([-127, +127]\) 內的所有整數都有對應的原碼、一補數和二補數，並且原碼和二補數之間可以互相轉換。

然而，二補數 \(1000 \; 0000\) 是一個例外，它並沒有對應的原碼。根據轉換方法，我們得到該二補數的原碼為 \(0000 \; 0000\) 。這顯然是矛盾的，因為該原碼表示數字 \(0\) ，它的二補數應該是自身。計算機規定這個特殊的二補數 \(1000 \; 0000\) 代表 \(-128\) 。實際上，\((-1) + (-127)\) 在二補數下的計算結果就是 \(-128\) 。

\[ \begin{aligned} & (-127) + (-1) \newline & \rightarrow 1111 \; 1111 \; \text{(原碼)} + 1000 \; 0001 \; \text{(原碼)} \newline & = 1000 \; 0000 \; \text{(一補數)} + 1111 \; 1110 \; \text{(一補數)} \newline & = 1000 \; 0001 \; \text{(二補數)} + 1111 \; 1111 \; \text{(二補數)} \newline & = 1000 \; 0000 \; \text{(二補數)} \newline & \rightarrow -128 \end{aligned} \]

你可能已經發現了，上述所有計算都是加法運算。這暗示著一個重要事實：計算機內部的硬體電路主要是基於加法運算設計的。這是因為加法運算相對於其他運算（比如乘法、除法和減法）來說，硬體實現起來更簡單，更容易進行並行化處理，運算速度更快。

請注意，這並不意味著計算機只能做加法。透過將加法與一些基本邏輯運算結合，計算機能夠實現各種其他的數學運算。例如，計算減法 \(a - b\) 可以轉換為計算加法 \(a + (-b)\) ；計算乘法和除法可以轉換為計算多次加法或減法。

現在我們可以總結出計算機使用二補數的原因：基於二補數表示，計算機可以用同樣的電路和操作來處理正數和負數的加法，不需要設計特殊的硬體電路來處理減法，並且無須特別處理正負零的歧義問題。這大大簡化了硬體設計，提高了運算效率。

二補數的設計非常精妙，因篇幅關係我們就先介紹到這裡，建議有興趣的讀者進一步深入瞭解。

3.3.2   浮點數編碼

細心的你可能會發現：int 和 float 長度相同，都是 4 位元組 ，但為什麼 float 的取值範圍遠大於 int ？這非常反直覺，因為按理說 float 需要表示小數，取值範圍應該變小才對。

實際上，這是因為浮點數 float 採用了不同的表示方式。記一個 32 位元長度的二進位制數為：

\[ b_{31} b_{30} b_{29} \ldots b_2 b_1 b_0 \]

根據 IEEE 754 標準，32-bit 長度的 float 由以下三個部分構成。

  • 符號位 \(\mathrm{S}\) ：佔 1 位 ，對應 \(b_{31}\) 。
  • 指數位 \(\mathrm{E}\) ：佔 8 位 ，對應 \(b_{30} b_{29} \ldots b_{23}\) 。
  • 分數位 \(\mathrm{N}\) ：佔 23 位 ，對應 \(b_{22} b_{21} \ldots b_0\) 。

二進位制數 float 對應值的計算方法為：

\[ \text {val} = (-1)^{b_{31}} \times 2^{\left(b_{30} b_{29} \ldots b_{23}\right)_2-127} \times\left(1 . b_{22} b_{21} \ldots b_0\right)_2 \]

轉化到十進位制下的計算公式為：

\[ \text {val}=(-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{\mathrm{E} -127} \times (1 + \mathrm{N}) \]

其中各項的取值範圍為：

\[ \begin{aligned} \mathrm{S} \in & \{ 0, 1\}, \quad \mathrm{E} \in \{ 1, 2, \dots, 254 \} \newline (1 + \mathrm{N}) = & (1 + \sum_{i=1}^{23} b_{23-i} 2^{-i}) \subset [1, 2 - 2^{-23}] \end{aligned} \]

IEEE 754 標準下的 float 的計算示例

圖 3-5   IEEE 754 標準下的 float 的計算示例

觀察圖 3-5 ，給定一個示例資料 \(\mathrm{S} = 0\) ， \(\mathrm{E} = 124\) ，\(\mathrm{N} = 2^{-2} + 2^{-3} = 0.375\) ，則有：

\[ \text { val } = (-1)^0 \times 2^{124 - 127} \times (1 + 0.375) = 0.171875 \]

現在我們可以回答最初的問題：float 的表示方式包含指數位，導致其取值範圍遠大於 int 。根據以上計算，float 可表示的最大正數為 \(2^{254 - 127} \times (2 - 2^{-23}) \approx 3.4 \times 10^{38}\) ，切換符號位便可得到最小負數。

儘管浮點數 float 擴展了取值範圍，但其副作用是犧牲了精度。整數型別 int 將全部 32 位元用於表示數字，數字是均勻分佈的；而由於指數位的存在，浮點數 float 的數值越大，相鄰兩個數字之間的差值就會趨向越大。

如表 3-2 所示，指數位 \(E = 0\) 和 \(E = 255\) 具有特殊含義，用於表示零、無窮大、\(\mathrm{NaN}\) 等。

表 3-2   指數位含義

指數位 E 分數位 \(\mathrm{N} = 0\) 分數位 \(\mathrm{N} \ne 0\) 計算公式
\(0\) \(\pm 0\) 次正規數 \((-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{-126} \times (0.\mathrm{N})\)
\(1, 2, \dots, 254\) 正規數 正規數 \((-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{(\mathrm{E} -127)} \times (1.\mathrm{N})\)
\(255\) \(\pm \infty\) \(\mathrm{NaN}\)

值得說明的是，次正規數顯著提升了浮點數的精度。最小正正規數為 \(2^{-126}\) ，最小正次正規數為 \(2^{-126} \times 2^{-23}\) 。

雙精度 double 也採用類似於 float 的表示方法，在此不做贅述。