---
comments: true
---

# 12.4   河內塔問題

在合併排序和構建二元樹中，我們都是將原問題分解為兩個規模為原問題一半的子問題。然而對於河內塔問題，我們採用不同的分解策略。

!!! question

    給定三根柱子，記為 `A`、`B` 和 `C` 。起始狀態下，柱子 `A` 上套著 $n$ 個圓盤，它們從上到下按照從小到大的順序排列。我們的任務是要把這 $n$ 個圓盤移到柱子 `C` 上，並保持它們的原有順序不變（如圖 12-10 所示）。在移動圓盤的過程中，需要遵守以下規則。
    
    1. 圓盤只能從一根柱子頂部拿出，從另一根柱子頂部放入。
    2. 每次只能移動一個圓盤。
    3. 小圓盤必須時刻位於大圓盤之上。

![河內塔問題示例](hanota_problem.assets/hanota_example.png){ class="animation-figure" }

<p align="center"> 圖 12-10 &nbsp; 河內塔問題示例 </p>

**我們將規模為 $i$ 的河內塔問題記作 $f(i)$** 。例如 $f(3)$ 代表將 $3$ 個圓盤從 `A` 移動至 `C` 的河內塔問題。

### 1. &nbsp; 考慮基本情況

如圖 12-11 所示，對於問題 $f(1)$ ，即當只有一個圓盤時，我們將它直接從 `A` 移動至 `C` 即可。

=== "<1>"
    ![規模為 1 的問題的解](hanota_problem.assets/hanota_f1_step1.png){ class="animation-figure" }

=== "<2>"
    ![hanota_f1_step2](hanota_problem.assets/hanota_f1_step2.png){ class="animation-figure" }

<p align="center"> 圖 12-11 &nbsp; 規模為 1 的問題的解 </p>

如圖 12-12 所示，對於問題 $f(2)$ ，即當有兩個圓盤時，**由於要時刻滿足小圓盤在大圓盤之上，因此需要藉助 `B` 來完成移動**。

1. 先將上面的小圓盤從 `A` 移至 `B` 。
2. 再將大圓盤從 `A` 移至 `C` 。
3. 最後將小圓盤從 `B` 移至 `C` 。

=== "<1>"
    ![規模為 2 的問題的解](hanota_problem.assets/hanota_f2_step1.png){ class="animation-figure" }

=== "<2>"
    ![hanota_f2_step2](hanota_problem.assets/hanota_f2_step2.png){ class="animation-figure" }

=== "<3>"
    ![hanota_f2_step3](hanota_problem.assets/hanota_f2_step3.png){ class="animation-figure" }

=== "<4>"
    ![hanota_f2_step4](hanota_problem.assets/hanota_f2_step4.png){ class="animation-figure" }

<p align="center"> 圖 12-12 &nbsp; 規模為 2 的問題的解 </p>

解決問題 $f(2)$ 的過程可總結為：**將兩個圓盤藉助 `B` 從 `A` 移至 `C`** 。其中，`C` 稱為目標柱、`B` 稱為緩衝柱。

### 2. &nbsp; 子問題分解

對於問題 $f(3)$ ，即當有三個圓盤時，情況變得稍微複雜了一些。

因為已知 $f(1)$ 和 $f(2)$ 的解，所以我們可從分治角度思考，**將 `A` 頂部的兩個圓盤看作一個整體**，執行圖 12-13 所示的步驟。這樣三個圓盤就被順利地從 `A` 移至 `C` 了。

1. 令 `B` 為目標柱、`C` 為緩衝柱，將兩個圓盤從 `A` 移至 `B` 。
2. 將 `A` 中剩餘的一個圓盤從 `A` 直接移動至 `C` 。
3. 令 `C` 為目標柱、`A` 為緩衝柱，將兩個圓盤從 `B` 移至 `C` 。

=== "<1>"
    ![規模為 3 的問題的解](hanota_problem.assets/hanota_f3_step1.png){ class="animation-figure" }

=== "<2>"
    ![hanota_f3_step2](hanota_problem.assets/hanota_f3_step2.png){ class="animation-figure" }

=== "<3>"
    ![hanota_f3_step3](hanota_problem.assets/hanota_f3_step3.png){ class="animation-figure" }

=== "<4>"
    ![hanota_f3_step4](hanota_problem.assets/hanota_f3_step4.png){ class="animation-figure" }

<p align="center"> 圖 12-13 &nbsp; 規模為 3 的問題的解 </p>

從本質上看，**我們將問題 $f(3)$ 劃分為兩個子問題 $f(2)$ 和一個子問題 $f(1)$** 。按順序解決這三個子問題之後，原問題隨之得到解決。這說明子問題是獨立的，而且解可以合併。

至此，我們可總結出圖 12-14 所示的解決河內塔問題的分治策略：將原問題 $f(n)$ 劃分為兩個子問題 $f(n-1)$ 和一個子問題 $f(1)$ ，並按照以下順序解決這三個子問題。

1. 將 $n-1$ 個圓盤藉助 `C` 從 `A` 移至 `B` 。
2. 將剩餘 $1$ 個圓盤從 `A` 直接移至 `C` 。
3. 將 $n-1$ 個圓盤藉助 `A` 從 `B` 移至 `C` 。

對於這兩個子問題 $f(n-1)$ ，**可以透過相同的方式進行遞迴劃分**，直至達到最小子問題 $f(1)$ 。而 $f(1)$ 的解是已知的，只需一次移動操作即可。

![解決河內塔問題的分治策略](hanota_problem.assets/hanota_divide_and_conquer.png){ class="animation-figure" }

<p align="center"> 圖 12-14 &nbsp; 解決河內塔問題的分治策略 </p>

### 3. &nbsp; 程式碼實現

在程式碼中，我們宣告一個遞迴函式 `dfs(i, src, buf, tar)` ，它的作用是將柱 `src` 頂部的 $i$ 個圓盤藉助緩衝柱 `buf` 移動至目標柱 `tar` ：

=== "Python"

    ```python title="hanota.py"
    def move(src: list[int], tar: list[int]):
        """移動一個圓盤"""
        # 從 src 頂部拿出一個圓盤
        pan = src.pop()
        # 將圓盤放入 tar 頂部
        tar.append(pan)

    def dfs(i: int, src: list[int], buf: list[int], tar: list[int]):
        """求解河內塔問題 f(i)"""
        # 若 src 只剩下一個圓盤，則直接將其移到 tar
        if i == 1:
            move(src, tar)
            return
        # 子問題 f(i-1) ：將 src 頂部 i-1 個圓盤藉助 tar 移到 buf
        dfs(i - 1, src, tar, buf)
        # 子問題 f(1) ：將 src 剩餘一個圓盤移到 tar
        move(src, tar)
        # 子問題 f(i-1) ：將 buf 頂部 i-1 個圓盤藉助 src 移到 tar
        dfs(i - 1, buf, src, tar)

    def solve_hanota(A: list[int], B: list[int], C: list[int]):
        """求解河內塔問題"""
        n = len(A)
        # 將 A 頂部 n 個圓盤藉助 B 移到 C
        dfs(n, A, B, C)
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="hanota.cpp"
    /* 移動一個圓盤 */
    void move(vector<int> &src, vector<int> &tar) {
        // 從 src 頂部拿出一個圓盤
        int pan = src.back();
        src.pop_back();
        // 將圓盤放入 tar 頂部
        tar.push_back(pan);
    }

    /* 求解河內塔問題 f(i) */
    void dfs(int i, vector<int> &src, vector<int> &buf, vector<int> &tar) {
        // 若 src 只剩下一個圓盤，則直接將其移到 tar
        if (i == 1) {
            move(src, tar);
            return;
        }
        // 子問題 f(i-1) ：將 src 頂部 i-1 個圓盤藉助 tar 移到 buf
        dfs(i - 1, src, tar, buf);
        // 子問題 f(1) ：將 src 剩餘一個圓盤移到 tar
        move(src, tar);
        // 子問題 f(i-1) ：將 buf 頂部 i-1 個圓盤藉助 src 移到 tar
        dfs(i - 1, buf, src, tar);
    }

    /* 求解河內塔問題 */
    void solveHanota(vector<int> &A, vector<int> &B, vector<int> &C) {
        int n = A.size();
        // 將 A 頂部 n 個圓盤藉助 B 移到 C
        dfs(n, A, B, C);
    }
    ```

=== "Java"

    ```java title="hanota.java"
    /* 移動一個圓盤 */
    void move(List<Integer> src, List<Integer> tar) {
        // 從 src 頂部拿出一個圓盤
        Integer pan = src.remove(src.size() - 1);
        // 將圓盤放入 tar 頂部
        tar.add(pan);
    }

    /* 求解河內塔問題 f(i) */
    void dfs(int i, List<Integer> src, List<Integer> buf, List<Integer> tar) {
        // 若 src 只剩下一個圓盤，則直接將其移到 tar
        if (i == 1) {
            move(src, tar);
            return;
        }
        // 子問題 f(i-1) ：將 src 頂部 i-1 個圓盤藉助 tar 移到 buf
        dfs(i - 1, src, tar, buf);
        // 子問題 f(1) ：將 src 剩餘一個圓盤移到 tar
        move(src, tar);
        // 子問題 f(i-1) ：將 buf 頂部 i-1 個圓盤藉助 src 移到 tar
        dfs(i - 1, buf, src, tar);
    }

    /* 求解河內塔問題 */
    void solveHanota(List<Integer> A, List<Integer> B, List<Integer> C) {
        int n = A.size();
        // 將 A 頂部 n 個圓盤藉助 B 移到 C
        dfs(n, A, B, C);
    }
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="hanota.cs"
    /* 移動一個圓盤 */
    void Move(List<int> src, List<int> tar) {
        // 從 src 頂部拿出一個圓盤
        int pan = src[^1];
        src.RemoveAt(src.Count - 1);
        // 將圓盤放入 tar 頂部
        tar.Add(pan);
    }

    /* 求解河內塔問題 f(i) */
    void DFS(int i, List<int> src, List<int> buf, List<int> tar) {
        // 若 src 只剩下一個圓盤，則直接將其移到 tar
        if (i == 1) {
            Move(src, tar);
            return;
        }
        // 子問題 f(i-1) ：將 src 頂部 i-1 個圓盤藉助 tar 移到 buf
        DFS(i - 1, src, tar, buf);
        // 子問題 f(1) ：將 src 剩餘一個圓盤移到 tar
        Move(src, tar);
        // 子問題 f(i-1) ：將 buf 頂部 i-1 個圓盤藉助 src 移到 tar
        DFS(i - 1, buf, src, tar);
    }

    /* 求解河內塔問題 */
    void SolveHanota(List<int> A, List<int> B, List<int> C) {
        int n = A.Count;
        // 將 A 頂部 n 個圓盤藉助 B 移到 C
        DFS(n, A, B, C);
    }
    ```

=== "Go"

    ```go title="hanota.go"
    /* 移動一個圓盤 */
    func move(src, tar *list.List) {
        // 從 src 頂部拿出一個圓盤
        pan := src.Back()
        // 將圓盤放入 tar 頂部
        tar.PushBack(pan.Value)
        // 移除 src 頂部圓盤
        src.Remove(pan)
    }

    /* 求解河內塔問題 f(i) */
    func dfsHanota(i int, src, buf, tar *list.List) {
        // 若 src 只剩下一個圓盤，則直接將其移到 tar
        if i == 1 {
            move(src, tar)
            return
        }
        // 子問題 f(i-1) ：將 src 頂部 i-1 個圓盤藉助 tar 移到 buf
        dfsHanota(i-1, src, tar, buf)
        // 子問題 f(1) ：將 src 剩餘一個圓盤移到 tar
        move(src, tar)
        // 子問題 f(i-1) ：將 buf 頂部 i-1 個圓盤藉助 src 移到 tar
        dfsHanota(i-1, buf, src, tar)
    }

    /* 求解河內塔問題 */
    func solveHanota(A, B, C *list.List) {
        n := A.Len()
        // 將 A 頂部 n 個圓盤藉助 B 移到 C
        dfsHanota(n, A, B, C)
    }
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="hanota.swift"
    /* 移動一個圓盤 */
    func move(src: inout [Int], tar: inout [Int]) {
        // 從 src 頂部拿出一個圓盤
        let pan = src.popLast()!
        // 將圓盤放入 tar 頂部
        tar.append(pan)
    }

    /* 求解河內塔問題 f(i) */
    func dfs(i: Int, src: inout [Int], buf: inout [Int], tar: inout [Int]) {
        // 若 src 只剩下一個圓盤，則直接將其移到 tar
        if i == 1 {
            move(src: &src, tar: &tar)
            return
        }
        // 子問題 f(i-1) ：將 src 頂部 i-1 個圓盤藉助 tar 移到 buf
        dfs(i: i - 1, src: &src, buf: &tar, tar: &buf)
        // 子問題 f(1) ：將 src 剩餘一個圓盤移到 tar
        move(src: &src, tar: &tar)
        // 子問題 f(i-1) ：將 buf 頂部 i-1 個圓盤藉助 src 移到 tar
        dfs(i: i - 1, src: &buf, buf: &src, tar: &tar)
    }

    /* 求解河內塔問題 */
    func solveHanota(A: inout [Int], B: inout [Int], C: inout [Int]) {
        let n = A.count
        // 串列尾部是柱子頂部
        // 將 src 頂部 n 個圓盤藉助 B 移到 C
        dfs(i: n, src: &A, buf: &B, tar: &C)
    }
    ```

=== "JS"

    ```javascript title="hanota.js"
    /* 移動一個圓盤 */
    function move(src, tar) {
        // 從 src 頂部拿出一個圓盤
        const pan = src.pop();
        // 將圓盤放入 tar 頂部
        tar.push(pan);
    }

    /* 求解河內塔問題 f(i) */
    function dfs(i, src, buf, tar) {
        // 若 src 只剩下一個圓盤，則直接將其移到 tar
        if (i === 1) {
            move(src, tar);
            return;
        }
        // 子問題 f(i-1) ：將 src 頂部 i-1 個圓盤藉助 tar 移到 buf
        dfs(i - 1, src, tar, buf);
        // 子問題 f(1) ：將 src 剩餘一個圓盤移到 tar
        move(src, tar);
        // 子問題 f(i-1) ：將 buf 頂部 i-1 個圓盤藉助 src 移到 tar
        dfs(i - 1, buf, src, tar);
    }

    /* 求解河內塔問題 */
    function solveHanota(A, B, C) {
        const n = A.length;
        // 將 A 頂部 n 個圓盤藉助 B 移到 C
        dfs(n, A, B, C);
    }
    ```

=== "TS"

    ```typescript title="hanota.ts"
    /* 移動一個圓盤 */
    function move(src: number[], tar: number[]): void {
        // 從 src 頂部拿出一個圓盤
        const pan = src.pop();
        // 將圓盤放入 tar 頂部
        tar.push(pan);
    }

    /* 求解河內塔問題 f(i) */
    function dfs(i: number, src: number[], buf: number[], tar: number[]): void {
        // 若 src 只剩下一個圓盤，則直接將其移到 tar
        if (i === 1) {
            move(src, tar);
            return;
        }
        // 子問題 f(i-1) ：將 src 頂部 i-1 個圓盤藉助 tar 移到 buf
        dfs(i - 1, src, tar, buf);
        // 子問題 f(1) ：將 src 剩餘一個圓盤移到 tar
        move(src, tar);
        // 子問題 f(i-1) ：將 buf 頂部 i-1 個圓盤藉助 src 移到 tar
        dfs(i - 1, buf, src, tar);
    }

    /* 求解河內塔問題 */
    function solveHanota(A: number[], B: number[], C: number[]): void {
        const n = A.length;
        // 將 A 頂部 n 個圓盤藉助 B 移到 C
        dfs(n, A, B, C);
    }
    ```

=== "Dart"

    ```dart title="hanota.dart"
    /* 移動一個圓盤 */
    void move(List<int> src, List<int> tar) {
      // 從 src 頂部拿出一個圓盤
      int pan = src.removeLast();
      // 將圓盤放入 tar 頂部
      tar.add(pan);
    }

    /* 求解河內塔問題 f(i) */
    void dfs(int i, List<int> src, List<int> buf, List<int> tar) {
      // 若 src 只剩下一個圓盤，則直接將其移到 tar
      if (i == 1) {
        move(src, tar);
        return;
      }
      // 子問題 f(i-1) ：將 src 頂部 i-1 個圓盤藉助 tar 移到 buf
      dfs(i - 1, src, tar, buf);
      // 子問題 f(1) ：將 src 剩餘一個圓盤移到 tar
      move(src, tar);
      // 子問題 f(i-1) ：將 buf 頂部 i-1 個圓盤藉助 src 移到 tar
      dfs(i - 1, buf, src, tar);
    }

    /* 求解河內塔問題 */
    void solveHanota(List<int> A, List<int> B, List<int> C) {
      int n = A.length;
      // 將 A 頂部 n 個圓盤藉助 B 移到 C
      dfs(n, A, B, C);
    }
    ```

=== "Rust"

    ```rust title="hanota.rs"
    /* 移動一個圓盤 */
    fn move_pan(src: &mut Vec<i32>, tar: &mut Vec<i32>) {
        // 從 src 頂部拿出一個圓盤
        let pan = src.remove(src.len() - 1);
        // 將圓盤放入 tar 頂部
        tar.push(pan);
    }

    /* 求解河內塔問題 f(i) */
    fn dfs(i: i32, src: &mut Vec<i32>, buf: &mut Vec<i32>, tar: &mut Vec<i32>) {
        // 若 src 只剩下一個圓盤，則直接將其移到 tar
        if i == 1 {
            move_pan(src, tar);
            return;
        }
        // 子問題 f(i-1) ：將 src 頂部 i-1 個圓盤藉助 tar 移到 buf
        dfs(i - 1, src, tar, buf);
        // 子問題 f(1) ：將 src 剩餘一個圓盤移到 tar
        move_pan(src, tar);
        // 子問題 f(i-1) ：將 buf 頂部 i-1 個圓盤藉助 src 移到 tar
        dfs(i - 1, buf, src, tar);
    }

    /* 求解河內塔問題 */
    fn solve_hanota(A: &mut Vec<i32>, B: &mut Vec<i32>, C: &mut Vec<i32>) {
        let n = A.len() as i32;
        // 將 A 頂部 n 個圓盤藉助 B 移到 C
        dfs(n, A, B, C);
    }
    ```

=== "C"

    ```c title="hanota.c"
    /* 移動一個圓盤 */
    void move(int *src, int *srcSize, int *tar, int *tarSize) {
        // 從 src 頂部拿出一個圓盤
        int pan = src[*srcSize - 1];
        src[*srcSize - 1] = 0;
        (*srcSize)--;
        // 將圓盤放入 tar 頂部
        tar[*tarSize] = pan;
        (*tarSize)++;
    }

    /* 求解河內塔問題 f(i) */
    void dfs(int i, int *src, int *srcSize, int *buf, int *bufSize, int *tar, int *tarSize) {
        // 若 src 只剩下一個圓盤，則直接將其移到 tar
        if (i == 1) {
            move(src, srcSize, tar, tarSize);
            return;
        }
        // 子問題 f(i-1) ：將 src 頂部 i-1 個圓盤藉助 tar 移到 buf
        dfs(i - 1, src, srcSize, tar, tarSize, buf, bufSize);
        // 子問題 f(1) ：將 src 剩餘一個圓盤移到 tar
        move(src, srcSize, tar, tarSize);
        // 子問題 f(i-1) ：將 buf 頂部 i-1 個圓盤藉助 src 移到 tar
        dfs(i - 1, buf, bufSize, src, srcSize, tar, tarSize);
    }

    /* 求解河內塔問題 */
    void solveHanota(int *A, int *ASize, int *B, int *BSize, int *C, int *CSize) {
        // 將 A 頂部 n 個圓盤藉助 B 移到 C
        dfs(*ASize, A, ASize, B, BSize, C, CSize);
    }
    ```

=== "Kotlin"

    ```kotlin title="hanota.kt"
    /* 移動一個圓盤 */
    fun move(src: MutableList<Int>, tar: MutableList<Int>) {
        // 從 src 頂部拿出一個圓盤
        val pan: Int = src.removeAt(src.size - 1)
        // 將圓盤放入 tar 頂部
        tar.add(pan)
    }

    /* 求解河內塔問題 f(i) */
    fun dfs(i: Int, src: MutableList<Int>, buf: MutableList<Int>, tar: MutableList<Int>) {
        // 若 src 只剩下一個圓盤，則直接將其移到 tar
        if (i == 1) {
            move(src, tar)
            return
        }
        // 子問題 f(i-1) ：將 src 頂部 i-1 個圓盤藉助 tar 移到 buf
        dfs(i - 1, src, tar, buf)
        // 子問題 f(1) ：將 src 剩餘一個圓盤移到 tar
        move(src, tar)
        // 子問題 f(i-1) ：將 buf 頂部 i-1 個圓盤藉助 src 移到 tar
        dfs(i - 1, buf, src, tar)
    }

    /* 求解河內塔問題 */
    fun solveHanota(A: MutableList<Int>, B: MutableList<Int>, C: MutableList<Int>) {
        val n = A.size
        // 將 A 頂部 n 個圓盤藉助 B 移到 C
        dfs(n, A, B, C)
    }
    ```

=== "Ruby"

    ```ruby title="hanota.rb"
    [class]{}-[func]{move}

    [class]{}-[func]{dfs}

    [class]{}-[func]{solve_hanota}
    ```

=== "Zig"

    ```zig title="hanota.zig"
    [class]{}-[func]{move}

    [class]{}-[func]{dfs}

    [class]{}-[func]{solveHanota}
    ```

??? pythontutor "視覺化執行"

    <div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20move%28src%3A%20list%5Bint%5D,%20tar%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%A7%BB%E5%8A%A8%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%9C%86%E7%9B%98%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E4%BB%8E%20src%20%E9%A1%B6%E9%83%A8%E6%8B%BF%E5%87%BA%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%9C%86%E7%9B%98%0A%20%20%20%20pan%20%3D%20src.pop%28%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%B0%86%E5%9C%86%E7%9B%98%E6%94%BE%E5%85%A5%20tar%20%E9%A1%B6%E9%83%A8%0A%20%20%20%20tar.append%28pan%29%0A%0A%0Adef%20dfs%28i%3A%20int,%20src%3A%20list%5Bint%5D,%20buf%3A%20list%5Bint%5D,%20tar%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%B1%82%E8%A7%A3%E6%B1%89%E8%AF%BA%E5%A1%94%E9%97%AE%E9%A2%98%20f%28i%29%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%20src%20%E5%8F%AA%E5%89%A9%E4%B8%8B%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%9C%86%E7%9B%98%EF%BC%8C%E5%88%99%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E5%B0%86%E5%85%B6%E7%A7%BB%E5%88%B0%20tar%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20move%28src,%20tar%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%23%20%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%20f%28i-1%29%20%EF%BC%9A%E5%B0%86%20src%20%E9%A1%B6%E9%83%A8%20i-1%20%E4%B8%AA%E5%9C%86%E7%9B%98%E5%80%9F%E5%8A%A9%20tar%20%E7%A7%BB%E5%88%B0%20buf%0A%20%20%20%20dfs%28i%20-%201,%20src,%20tar,%20buf%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%20f%281%29%20%EF%BC%9A%E5%B0%86%20src%20%E5%89%A9%E4%BD%99%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%9C%86%E7%9B%98%E7%A7%BB%E5%88%B0%20tar%0A%20%20%20%20move%28src,%20tar%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%20f%28i-1%29%20%EF%BC%9A%E5%B0%86%20buf%20%E9%A1%B6%E9%83%A8%20i-1%20%E4%B8%AA%E5%9C%86%E7%9B%98%E5%80%9F%E5%8A%A9%20src%20%E7%A7%BB%E5%88%B0%20tar%0A%20%20%20%20dfs%28i%20-%201,%20buf,%20src,%20tar%29%0A%0A%0Adef%20solve_hanota%28A%3A%20list%5Bint%5D,%20B%3A%20list%5Bint%5D,%20C%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%B1%82%E8%A7%A3%E6%B1%89%E8%AF%BA%E5%A1%94%E9%97%AE%E9%A2%98%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28A%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%B0%86%20A%20%E9%A1%B6%E9%83%A8%20n%20%E4%B8%AA%E5%9C%86%E7%9B%98%E5%80%9F%E5%8A%A9%20B%20%E7%A7%BB%E5%88%B0%20C%0A%20%20%20%20dfs%28n,%20A,%20B,%20C%29%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%97%E8%A1%A8%E5%B0%BE%E9%83%A8%E6%98%AF%E6%9F%B1%E5%AD%90%E9%A1%B6%E9%83%A8%0A%20%20%20%20A%20%3D%20%5B5,%204,%203,%202,%201%5D%0A%20%20%20%20B%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20C%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%88%9D%E5%A7%8B%E7%8A%B6%E6%80%81%E4%B8%8B%EF%BC%9A%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22A%20%3D%20%7BA%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22B%20%3D%20%7BB%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22C%20%3D%20%7BC%7D%22%29%0A%0A%20%20%20%20solve_hanota%28A,%20B,%20C%29%0A%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%9C%86%E7%9B%98%E7%A7%BB%E5%8A%A8%E5%AE%8C%E6%88%90%E5%90%8E%EF%BC%9A%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22A%20%3D%20%7BA%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22B%20%3D%20%7BB%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22C%20%3D%20%7BC%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=12&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
    <div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20move%28src%3A%20list%5Bint%5D,%20tar%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E7%A7%BB%E5%8A%A8%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%9C%86%E7%9B%98%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E4%BB%8E%20src%20%E9%A1%B6%E9%83%A8%E6%8B%BF%E5%87%BA%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%9C%86%E7%9B%98%0A%20%20%20%20pan%20%3D%20src.pop%28%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%B0%86%E5%9C%86%E7%9B%98%E6%94%BE%E5%85%A5%20tar%20%E9%A1%B6%E9%83%A8%0A%20%20%20%20tar.append%28pan%29%0A%0A%0Adef%20dfs%28i%3A%20int,%20src%3A%20list%5Bint%5D,%20buf%3A%20list%5Bint%5D,%20tar%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%B1%82%E8%A7%A3%E6%B1%89%E8%AF%BA%E5%A1%94%E9%97%AE%E9%A2%98%20f%28i%29%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%20src%20%E5%8F%AA%E5%89%A9%E4%B8%8B%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%9C%86%E7%9B%98%EF%BC%8C%E5%88%99%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E5%B0%86%E5%85%B6%E7%A7%BB%E5%88%B0%20tar%0A%20%20%20%20if%20i%20%3D%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20move%28src,%20tar%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%23%20%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%20f%28i-1%29%20%EF%BC%9A%E5%B0%86%20src%20%E9%A1%B6%E9%83%A8%20i-1%20%E4%B8%AA%E5%9C%86%E7%9B%98%E5%80%9F%E5%8A%A9%20tar%20%E7%A7%BB%E5%88%B0%20buf%0A%20%20%20%20dfs%28i%20-%201,%20src,%20tar,%20buf%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%20f%281%29%20%EF%BC%9A%E5%B0%86%20src%20%E5%89%A9%E4%BD%99%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%9C%86%E7%9B%98%E7%A7%BB%E5%88%B0%20tar%0A%20%20%20%20move%28src,%20tar%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%AD%90%E9%97%AE%E9%A2%98%20f%28i-1%29%20%EF%BC%9A%E5%B0%86%20buf%20%E9%A1%B6%E9%83%A8%20i-1%20%E4%B8%AA%E5%9C%86%E7%9B%98%E5%80%9F%E5%8A%A9%20src%20%E7%A7%BB%E5%88%B0%20tar%0A%20%20%20%20dfs%28i%20-%201,%20buf,%20src,%20tar%29%0A%0A%0Adef%20solve_hanota%28A%3A%20list%5Bint%5D,%20B%3A%20list%5Bint%5D,%20C%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%B1%82%E8%A7%A3%E6%B1%89%E8%AF%BA%E5%A1%94%E9%97%AE%E9%A2%98%22%22%22%0A%20%20%20%20n%20%3D%20len%28A%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%B0%86%20A%20%E9%A1%B6%E9%83%A8%20n%20%E4%B8%AA%E5%9C%86%E7%9B%98%E5%80%9F%E5%8A%A9%20B%20%E7%A7%BB%E5%88%B0%20C%0A%20%20%20%20dfs%28n,%20A,%20B,%20C%29%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%97%E8%A1%A8%E5%B0%BE%E9%83%A8%E6%98%AF%E6%9F%B1%E5%AD%90%E9%A1%B6%E9%83%A8%0A%20%20%20%20A%20%3D%20%5B5,%204,%203,%202,%201%5D%0A%20%20%20%20B%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20C%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%88%9D%E5%A7%8B%E7%8A%B6%E6%80%81%E4%B8%8B%EF%BC%9A%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22A%20%3D%20%7BA%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22B%20%3D%20%7BB%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22C%20%3D%20%7BC%7D%22%29%0A%0A%20%20%20%20solve_hanota%28A,%20B,%20C%29%0A%0A%20%20%20%20print%28%22%E5%9C%86%E7%9B%98%E7%A7%BB%E5%8A%A8%E5%AE%8C%E6%88%90%E5%90%8E%EF%BC%9A%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22A%20%3D%20%7BA%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22B%20%3D%20%7BB%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22C%20%3D%20%7BC%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=12&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 ></a></div>

如圖 12-15 所示，河內塔問題形成一棵高度為 $n$ 的遞迴樹，每個節點代表一個子問題，對應一個開啟的 `dfs()` 函式，**因此時間複雜度為 $O(2^n)$ ，空間複雜度為 $O(n)$** 。

![河內塔問題的遞迴樹](hanota_problem.assets/hanota_recursive_tree.png){ class="animation-figure" }

<p align="center"> 圖 12-15 &nbsp; 河內塔問題的遞迴樹 </p>

!!! quote

    河內塔問題源自一個古老的傳說。在古印度的一個寺廟裡，僧侶們有三根高大的鑽石柱子，以及 $64$ 個大小不一的金圓盤。僧侶們不斷地移動圓盤，他們相信在最後一個圓盤被正確放置的那一刻，這個世界就會結束。

    然而，即使僧侶們每秒鐘移動一次，總共需要大約 $2^{64} \approx 1.84×10^{19}$ 秒，合約 $5850$ 億年，遠遠超過了現在對宇宙年齡的估計。所以，倘若這個傳說是真的，我們應該不需要擔心世界末日的到來。