--- comments: true --- # 8.2 建堆積操作在某些情況下，我們希望使用一個串列的所有元素來構建一個堆積，這個過程被稱為“建堆積操作”。 ## 8.2.1 藉助入堆積操作實現我們首先建立一個空堆積，然後走訪串列，依次對每個元素執行“入堆積操作”，即先將元素新增至堆積的尾部，再對該元素執行“從底至頂”堆積化。每當一個元素入堆積，堆積的長度就加一。由於節點是從頂到底依次被新增進二元樹的，因此堆積是“自上而下”構建的。設元素數量為 $n$ ，每個元素的入堆積操作使用 $O(\log{n})$ 時間，因此該建堆積方法的時間複雜度為 $O(n \log n)$ 。 ## 8.2.2 透過走訪堆積化實現實際上，我們可以實現一種更為高效的建堆積方法，共分為兩步。 1. 將串列所有元素原封不動地新增到堆積中，此時堆積的性質尚未得到滿足。 2. 倒序走訪堆積（層序走訪的倒序），依次對每個非葉節點執行“從頂至底堆積化”。 **每當堆積化一個節點後，以該節點為根節點的子樹就形成一個合法的子堆積**。而由於是倒序走訪，因此堆積是“自下而上”構建的。之所以選擇倒序走訪，是因為這樣能夠保證當前節點之下的子樹已經是合法的子堆積，這樣堆積化當前節點才是有效的。值得說明的是，**由於葉節點沒有子節點，因此它們天然就是合法的子堆積，無須堆積化**。如以下程式碼所示，最後一個非葉節點是最後一個節點的父節點，我們從它開始倒序走訪並執行堆積化： === "Python" ```python title="my_heap.py" def __init__(self, nums: list[int]): """建構子，根據輸入串列建堆積""" # 將串列元素原封不動新增進堆積 self.max_heap = nums # 堆積化除葉節點以外的其他所有節點 for i in range(self.parent(self.size() - 1), -1, -1): self.sift_down(i) ``` === "C++" ```cpp title="my_heap.cpp" /* 建構子，根據輸入串列建堆積 */ MaxHeap(vector nums) { // 將串列元素原封不動新增進堆積 maxHeap = nums; // 堆積化除葉節點以外的其他所有節點 for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) { siftDown(i); } } ``` === "Java" ```java title="my_heap.java" /* 建構子，根據輸入串列建堆積 */ MaxHeap(List nums) { // 將串列元素原封不動新增進堆積 maxHeap = new ArrayList<>(nums); // 堆積化除葉節點以外的其他所有節點 for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) { siftDown(i); } } ``` === "C#" ```csharp title="my_heap.cs" /* 建構子，根據輸入串列建堆積 */ MaxHeap(IEnumerable nums) { // 將串列元素原封不動新增進堆積 maxHeap = new List(nums); // 堆積化除葉節點以外的其他所有節點 var size = Parent(this.Size() - 1); for (int i = size; i >= 0; i--) { SiftDown(i); } } ``` === "Go" ```go title="my_heap.go" /* 建構子，根據切片建堆積 */ func newMaxHeap(nums []any) *maxHeap { // 將串列元素原封不動新增進堆積 h := &maxHeap{data: nums} for i := h.parent(len(h.data) - 1); i >= 0; i-- { // 堆積化除葉節點以外的其他所有節點 h.siftDown(i) } return h } ``` === "Swift" ```swift title="my_heap.swift" /* 建構子，根據輸入串列建堆積 */ init(nums: [Int]) { // 將串列元素原封不動新增進堆積 maxHeap = nums // 堆積化除葉節點以外的其他所有節點 for i in (0 ... parent(i: size() - 1)).reversed() { siftDown(i: i) } } ``` === "JS" ```javascript title="my_heap.js" /* 建構子，建立空堆積或根據輸入串列建堆積 */ constructor(nums) { // 將串列元素原封不動新增進堆積 this.#maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums]; // 堆積化除葉節點以外的其他所有節點 for (let i = this.#parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) { this.#siftDown(i); } } ``` === "TS" ```typescript title="my_heap.ts" /* 建構子，建立空堆積或根據輸入串列建堆積 */ constructor(nums?: number[]) { // 將串列元素原封不動新增進堆積 this.maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums]; // 堆積化除葉節點以外的其他所有節點 for (let i = this.parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) { this.siftDown(i); } } ``` === "Dart" ```dart title="my_heap.dart" /* 建構子，根據輸入串列建堆積 */ MaxHeap(List nums) { // 將串列元素原封不動新增進堆積 _maxHeap = nums; // 堆積化除葉節點以外的其他所有節點 for (int i = _parent(size() - 1); i >= 0; i--) { siftDown(i); } } ``` === "Rust" ```rust title="my_heap.rs" /* 建構子，根據輸入串列建堆積 */ fn new(nums: Vec) -> Self { // 將串列元素原封不動新增進堆積 let mut heap = MaxHeap { max_heap: nums }; // 堆積化除葉節點以外的其他所有節點 for i in (0..=Self::parent(heap.size() - 1)).rev() { heap.sift_down(i); } heap } ``` === "C" ```c title="my_heap.c" /* 建構子，根據切片建堆積 */ MaxHeap *newMaxHeap(int nums[], int size) { // 所有元素入堆積 MaxHeap *maxHeap = (MaxHeap *)malloc(sizeof(MaxHeap)); maxHeap->size = size; memcpy(maxHeap->data, nums, size * sizeof(int)); for (int i = parent(maxHeap, size - 1); i >= 0; i--) { // 堆積化除葉節點以外的其他所有節點 siftDown(maxHeap, i); } return maxHeap; } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="my_heap.kt" /* 大頂堆積 */ class MaxHeap(nums: List?) { // 使用串列而非陣列，這樣無須考慮擴容問題 // 將串列元素原封不動新增進堆積 private val maxHeap = ArrayList(nums!!) /* 建構子，根據輸入串列建堆積 */ init { // 堆積化除葉節點以外的其他所有節點 for (i in parent(size() - 1) downTo 0) { siftDown(i) } } /* 獲取左子節點的索引 */ private fun left(i: Int): Int { return 2 * i + 1 } /* 獲取右子節點的索引 */ private fun right(i: Int): Int { return 2 * i + 2 } /* 獲取父節點的索引 */ private fun parent(i: Int): Int { return (i - 1) / 2 // 向下整除 } /* 交換元素 */ private fun swap(i: Int, j: Int) { maxHeap[i] = maxHeap[j].also { maxHeap[j] = maxHeap[i] } } /* 獲取堆積大小 */ fun size(): Int { return maxHeap.size } /* 判斷堆積是否為空 */ fun isEmpty(): Boolean { /* 判斷堆積是否為空 */ return size() == 0 } /* 訪問堆積頂元素 */ fun peek(): Int { return maxHeap[0] } /* 元素入堆積 */ fun push(value: Int) { // 新增節點 maxHeap.add(value) // 從底至頂堆積化 siftUp(size() - 1) } /* 從節點 i 開始，從底至頂堆積化 */ private fun siftUp(it: Int) { // Kotlin的函式參數不可變，因此建立臨時變數 var i = it while (true) { // 獲取節點 i 的父節點 val p = parent(i) // 當“越過根節點”或“節點無須修復”時，結束堆積化 if (p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p]) break // 交換兩節點 swap(i, p) // 迴圈向上堆積化 i = p } } /* 元素出堆積 */ fun pop(): Int { // 判空處理 if (isEmpty()) throw IndexOutOfBoundsException() // 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素） swap(0, size() - 1) // 刪除節點 val value = maxHeap.removeAt(size() - 1) // 從頂至底堆積化 siftDown(0) // 返回堆積頂元素 return value } /* 從節點 i 開始，從頂至底堆積化 */ private fun siftDown(it: Int) { // Kotlin的函式參數不可變，因此建立臨時變數 var i = it while (true) { // 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 ma val l = left(i) val r = right(i) var ma = i if (l < size() && maxHeap[l] > maxHeap[ma]) ma = l if (r < size() && maxHeap[r] > maxHeap[ma]) ma = r // 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出 if (ma == i) break // 交換兩節點 swap(i, ma) // 迴圈向下堆積化 i = ma } } /* 列印堆積（二元樹） */ fun print() { val queue = PriorityQueue { a: Int, b: Int -> b - a } queue.addAll(maxHeap) printHeap(queue) } } ``` === "Ruby" ```ruby title="my_heap.rb" [class]{MaxHeap}-[func]{__init__} ``` === "Zig" ```zig title="my_heap.zig" // 建構子，根據輸入串列建堆積 fn init(self: *Self, allocator: std.mem.Allocator, nums: []const T) !void { if (self.max_heap != null) return; self.max_heap = std.ArrayList(T).init(allocator); // 將串列元素原封不動新增進堆積 try self.max_heap.?.appendSlice(nums); // 堆積化除葉節點以外的其他所有節點 var i: usize = parent(self.size() - 1) + 1; while (i > 0) : (i -= 1) { try self.siftDown(i - 1); } } ``` ??? pythontutor "視覺化執行"

## 8.2.3 複雜度分析下面，我們來嘗試推算第二種建堆積方法的時間複雜度。 - 假設完全二元樹的節點數量為 $n$ ，則葉節點數量為 $(n + 1) / 2$ ，其中 $/$ 為向下整除。因此需要堆積化的節點數量為 $(n - 1) / 2$ 。 - 在從頂至底堆積化的過程中，每個節點最多堆積化到葉節點，因此最大迭代次數為二元樹高度 $\log n$ 。將上述兩者相乘，可得到建堆積過程的時間複雜度為 $O(n \log n)$ 。**但這個估算結果並不準確，因為我們沒有考慮到二元樹底層節點數量遠多於頂層節點的性質**。接下來我們來進行更為準確的計算。為了降低計算難度，假設給定一個節點數量為 $n$ 、高度為 $h$ 的“完美二元樹”，該假設不會影響計算結果的正確性。 ![完美二元樹的各層節點數量](build_heap.assets/heapify_operations_count.png){ class="animation-figure" }

圖 8-5 完美二元樹的各層節點數量

如圖 8-5 所示，節點“從頂至底堆積化”的最大迭代次數等於該節點到葉節點的距離，而該距離正是“節點高度”。因此，我們可以對各層的“節點數量 $\times$ 節點高度”求和，**得到所有節點的堆積化迭代次數的總和**。 $$ T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{(h-1)}\times1 $$ 化簡上式需要藉助中學的數列知識，先將 $T(h)$ 乘以 $2$ ，得到： $$ \begin{aligned} T(h) & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{h-1}\times1 \newline 2 T(h) & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \dots + 2^{h}\times1 \newline \end{aligned} $$ 使用錯位相減法，用下式 $2 T(h)$ 減去上式 $T(h)$ ，可得： $$ 2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{h-1} + 2^h $$ 觀察上式，發現 $T(h)$ 是一個等比數列，可直接使用求和公式，得到時間複雜度為： $$ \begin{aligned} T(h) & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline & = 2^{h+1} - h - 2 \newline & = O(2^h) \end{aligned} $$ 進一步，高度為 $h$ 的完美二元樹的節點數量為 $n = 2^{h+1} - 1$ ，易得複雜度為 $O(2^h) = O(n)$ 。以上推算表明，**輸入串列並建堆積的時間複雜度為 $O(n)$ ，非常高效**。