8.1. 堆¶
「堆 Heap」是一棵限定条件下的「完全二叉树」。根据成立条件，堆主要分为两种类型：
- 「大顶堆 Max Heap」，任意结点的值 \(\geq\) 其子结点的值；
- 「小顶堆 Min Heap」，任意结点的值 \(\leq\) 其子结点的值；
8.1.1. 堆术语与性质¶
- 由于堆是完全二叉树，因此最底层结点靠左填充，其它层结点皆被填满。
- 二叉树中的根结点对应「堆顶」，底层最靠右结点对应「堆底」。
- 对于大顶堆 / 小顶堆，其堆顶元素（即根结点）的值最大 / 最小。
8.1.2. 堆常用操作¶
值得说明的是，多数编程语言提供的是「优先队列 Priority Queue」，其是一种抽象数据结构，定义为具有出队优先级的队列。
而恰好，堆的定义与优先队列的操作逻辑完全吻合，大顶堆就是一个元素从大到小出队的优先队列。从使用角度看，我们可以将「优先队列」和「堆」理解为等价的数据结构。因此，本文与代码对两者不做特别区分，统一使用「堆」来命名。
堆的常用操作见下表（方法命名以 Java 为例）。
Table. 堆的常用操作
| 方法 | 描述 | 时间复杂度 |
|---|---|---|
| add() | 元素入堆 | \(O(\log n)\) |
| poll() | 堆顶元素出堆 | \(O(\log n)\) |
| peek() | 访问堆顶元素（大 / 小顶堆分别为最大 / 小值） | \(O(1)\) |
| size() | 获取堆的元素数量 | \(O(1)\) |
| isEmpty() | 判断堆是否为空 | \(O(1)\) |
我们可以直接使用编程语言提供的堆类（或优先队列类）。
Tip
类似于排序中“从小到大排列”和“从大到小排列”，“大顶堆”和“小顶堆”可仅通过修改 Comparator 来互相转换。
heap.java
/* 初始化堆 */
// 初始化小顶堆
Queue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>();
// 初始化大顶堆（使用 lambda 表达式修改 Comparator 即可）
Queue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<>((a, b) -> { return b - a; });
/* 元素入堆 */
maxHeap.add(1);
maxHeap.add(3);
maxHeap.add(2);
maxHeap.add(5);
maxHeap.add(4);
/* 获取堆顶元素 */
int peek = maxHeap.peek(); // 5
/* 堆顶元素出堆 */
// 出堆元素会形成一个从大到小的序列
peek = heap.poll(); // 5
peek = heap.poll(); // 4
peek = heap.poll(); // 3
peek = heap.poll(); // 2
peek = heap.poll(); // 1
/* 获取堆大小 */
int size = maxHeap.size();
/* 判断堆是否为空 */
boolean isEmpty = maxHeap.isEmpty();
/* 输入列表并建堆 */
minHeap = new PriorityQueue<>(Arrays.asList(1, 3, 2, 5, 4));
heap.cpp
/* 初始化堆 */
// 初始化小顶堆
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap;
// 初始化大顶堆
priority_queue<int, vector<int>, less<int>> maxHeap;
/* 元素入堆 */
maxHeap.push(1);
maxHeap.push(3);
maxHeap.push(2);
maxHeap.push(5);
maxHeap.push(4);
/* 获取堆顶元素 */
int peek = maxHeap.top(); // 5
/* 堆顶元素出堆 */
// 出堆元素会形成一个从大到小的序列
maxHeap.pop(); // 5
maxHeap.pop(); // 4
maxHeap.pop(); // 3
maxHeap.pop(); // 2
maxHeap.pop(); // 1
/* 获取堆大小 */
int size = maxHeap.size();
/* 判断堆是否为空 */
bool isEmpty = maxHeap.empty();
/* 输入列表并建堆 */
vector<int> input{1, 3, 2, 5, 4};
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap(input.begin(), input.end());
heap.go
// Go 语言中可以通过实现 heap.Interface 来构建整数大顶堆
// 实现 heap.Interface 需要同时实现 sort.Interface
type intHeap []any
// Push heap.Interface 的方法，实现推入元素到堆
func (h *intHeap) Push(x any) {
// Push 和 Pop 使用 pointer receiver 作为参数
// 因为它们不仅会对切片的内容进行调整，还会修改切片的长度。
*h = append(*h, x.(int))
}
// Pop heap.Interface 的方法，实现弹出堆顶元素
func (h *intHeap) Pop() any {
// 待出堆元素存放在最后
last := (*h)[len(*h)-1]
*h = (*h)[:len(*h)-1]
return last
}
// Len sort.Interface 的方法
func (h *intHeap) Len() int {
return len(*h)
}
// Less sort.Interface 的方法
func (h *intHeap) Less(i, j int) bool {
// 如果实现小顶堆，则需要调整为小于号
return (*h)[i].(int) > (*h)[j].(int)
}
// Swap sort.Interface 的方法
func (h *intHeap) Swap(i, j int) {
(*h)[i], (*h)[j] = (*h)[j], (*h)[i]
}
// Top 获取堆顶元素
func (h *intHeap) Top() any {
return (*h)[0]
}
/* Driver Code */
func TestHeap(t *testing.T) {
/* 初始化堆 */
// 初始化大顶堆
maxHeap := &intHeap{}
heap.Init(maxHeap)
/* 元素入堆 */
// 调用 heap.Interface 的方法，来添加元素
heap.Push(maxHeap, 1)
heap.Push(maxHeap, 3)
heap.Push(maxHeap, 2)
heap.Push(maxHeap, 4)
heap.Push(maxHeap, 5)
/* 获取堆顶元素 */
top := maxHeap.Top()
fmt.Printf("堆顶元素为 %d\n", top)
/* 堆顶元素出堆 */
// 调用 heap.Interface 的方法，来移除元素
heap.Pop(maxHeap)
heap.Pop(maxHeap)
heap.Pop(maxHeap)
heap.Pop(maxHeap)
heap.Pop(maxHeap)
/* 获取堆大小 */
size := len(*maxHeap)
fmt.Printf("堆元素数量为 %d\n", size)
/* 判断堆是否为空 */
isEmpty := len(*maxHeap) == 0
fmt.Printf("堆是否为空 %t\n", isEmpty)
}
8.1.3. 堆的实现¶
下文实现的是「大顶堆」，若想转换为「小顶堆」，将所有大小逻辑判断取逆（例如将 \(\geq\) 替换为 \(\leq\) ）即可，有兴趣的同学可自行实现。
堆的存储与表示¶
在二叉树章节我们学过，「完全二叉树」非常适合使用「数组」来表示，而堆恰好是一棵完全二叉树，因而我们采用「数组」来存储「堆」。
二叉树指针。使用数组表示二叉树时，元素代表结点值，索引代表结点在二叉树中的位置，而结点指针通过索引映射公式来实现。
具体地，给定索引 \(i\) ，那么其左子结点索引为 \(2i + 1\) 、右子结点索引为 \(2i + 2\) 、父结点索引为 \((i - 1) / 2\) （向下整除）。当索引越界时，代表空结点或结点不存在。
我们将索引映射公式封装成函数，以便后续使用。
my_heap.go
type maxHeap struct {
// 使用切片而非数组，这样无需考虑扩容问题
data []any
}
/* 构造函数，建立空堆 */
func newHeap() *maxHeap {
return &maxHeap{
data: make([]any, 0),
}
}
/* 获取左子结点索引 */
func (h *maxHeap) left(i int) int {
return 2*i + 1
}
/* 获取右子结点索引 */
func (h *maxHeap) right(i int) int {
return 2*i + 2
}
/* 获取父结点索引 */
func (h *maxHeap) parent(i int) int {
// 向下整除
return (i - 1) / 2
}
访问堆顶元素¶
堆顶元素是二叉树的根结点，即列表首元素。
元素入堆¶
给定元素 val ，我们先将其添加到堆底。添加后，由于 val 可能大于堆中其它元素，此时堆的成立条件可能已经被破坏，因此需要修复从插入结点到根结点这条路径上的各个结点，该操作被称为「堆化 Heapify」。
考虑从入堆结点开始，从底至顶执行堆化。具体地，比较插入结点与其父结点的值，若插入结点更大则将它们交换；并循环以上操作，从底至顶地修复堆中的各个结点；直至越过根结点时结束，或当遇到无需交换的结点时提前结束。
设结点总数为 \(n\) ，则树的高度为 \(O(\log n)\) ，易得堆化操作的循环轮数最多为 \(O(\log n)\) ，因而元素入堆操作的时间复杂度为 \(O(\log n)\) 。
my_heap.java
/* 元素入堆 */
void push(int val) {
// 添加结点
maxHeap.add(val);
// 从底至顶堆化
siftUp(size() - 1);
}
/* 从结点 i 开始，从底至顶堆化 */
void siftUp(int i) {
while (true) {
// 获取结点 i 的父结点
int p = parent(i);
// 若“越过根结点”或“结点无需修复”，则结束堆化
if (p < 0 || maxHeap.get(i) <= maxHeap.get(p))
break;
// 交换两结点
swap(i, p);
// 循环向上堆化
i = p;
}
}
my_heap.cpp
/* 元素入堆 */
void push(int val) {
// 添加结点
maxHeap.push_back(val);
// 从底至顶堆化
shifUp(size() - 1);
}
/* 从结点 i 开始，从底至顶堆化 */
void shifUp(int i) {
while (true) {
// 获取结点 i 的父结点
int p = parent(i);
// 当“越过根结点”或“结点无需修复”时，结束堆化
if (p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p])
break;
// 交换两结点
swap(maxHeap[i], maxHeap[p]);
// 循环向上堆化
i = p;
}
}
my_heap.go
/* 元素入堆 */
func (h *maxHeap) push(val any) {
// 添加结点
h.data = append(h.data, val)
// 从底至顶堆化
h.siftUp(len(h.data) - 1)
}
/* 从结点 i 开始，从底至顶堆化 */
func (h *maxHeap) siftUp(i int) {
for true {
// 获取结点 i 的父结点
p := h.parent(i)
// 当“越过根结点”或“结点无需修复”时，结束堆化
if p < 0 || h.data[i].(int) <= h.data[p].(int) {
break
}
// 交换两结点
h.swap(i, p)
// 循环向上堆化
i = p
}
}
my_heap.swift
/* 元素入堆 */
func push(val: Int) {
// 添加结点
maxHeap.append(val)
// 从底至顶堆化
siftUp(i: size() - 1)
}
/* 从结点 i 开始，从底至顶堆化 */
func siftUp(i: Int) {
var i = i
while true {
// 获取结点 i 的父结点
let p = parent(i: i)
// 当“越过根结点”或“结点无需修复”时，结束堆化
if p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p] {
break
}
// 交换两结点
swap(i: i, j: p)
// 循环向上堆化
i = p
}
}
堆顶元素出堆¶
堆顶元素是二叉树根结点，即列表首元素，如果我们直接将首元素从列表中删除，则二叉树中所有结点都会随之发生移位（索引发生变化），这样后续使用堆化修复就很麻烦了。为了尽量减少元素索引变动，采取以下操作步骤：
- 交换堆顶元素与堆底元素（即交换根结点与最右叶结点）；
- 交换完成后，将堆底从列表中删除（注意，因为已经交换，实际上删除的是原来的堆顶元素）；
- 从根结点开始，从顶至底执行堆化；
顾名思义，从顶至底堆化的操作方向与从底至顶堆化相反，我们比较根结点的值与其两个子结点的值，将最大的子结点与根结点执行交换，并循环以上操作，直到越过叶结点时结束，或当遇到无需交换的结点时提前结束。
与元素入堆操作类似，堆顶元素出堆操作的时间复杂度为 \(O(\log n)\) 。
my_heap.java
/* 元素出堆 */
int poll() {
// 判空处理
if (isEmpty())
throw new EmptyStackException();
// 交换根结点与最右叶结点（即交换首元素与尾元素）
swap(0, size() - 1);
// 删除结点
int val = maxHeap.remove(size() - 1);
// 从顶至底堆化
siftDown(0);
// 返回堆顶元素
return val;
}
/* 从结点 i 开始，从顶至底堆化 */
void siftDown(int i) {
while (true) {
// 判断结点 i, l, r 中值最大的结点，记为 ma
int l = left(i), r = right(i), ma = i;
if (l < size() && maxHeap.get(l) > maxHeap.get(ma))
ma = l;
if (r < size() && maxHeap.get(r) > maxHeap.get(ma))
ma = r;
// 若“结点 i 最大”或“越过叶结点”，则结束堆化
if (ma == i) break;
// 交换两结点
swap(i, ma);
// 循环向下堆化
i = ma;
}
}
my_heap.cpp
/* 从结点 i 开始，从顶至底堆化 */
void shifDown(int i) {
while (true) {
// 判断结点 i, l, r 中值最大的结点，记为 ma
int l = left(i), r = right(i), ma = i;
// 若结点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
if (l < size() && maxHeap[l] > maxHeap[ma])
ma = l;
if (r < size() && maxHeap[r] > maxHeap[ma])
ma = r;
// 若结点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
if (ma == i)
break;
swap(maxHeap[i], maxHeap[ma]);
// 循环向下堆化
i = ma;
}
}
/* 元素出堆 */
void poll() {
// 判空处理
if (empty()) {
cout << "Error:堆为空" << endl;
return;
}
// 交换根结点与最右叶结点（即交换首元素与尾元素）
swap(maxHeap[0], maxHeap[size() - 1]);
// 删除结点
maxHeap.pop_back();
// 从顶至底堆化
shifDown(0);
}
my_heap.go
/* 元素出堆 */
func (h *maxHeap) poll() any {
// 判空处理
if h.isEmpty() {
fmt.Println("error")
return nil
}
// 交换根结点与最右叶结点（即交换首元素与尾元素）
h.swap(0, h.size()-1)
// 删除结点
val := h.data[len(h.data)-1]
h.data = h.data[:len(h.data)-1]
// 从顶至底堆化
h.siftDown(0)
// 返回堆顶元素
return val
}
/* 从结点 i 开始，从顶至底堆化 */
func (h *maxHeap) siftDown(i int) {
for true {
// 判断结点 i, l, r 中值最大的结点，记为 max
l, r, max := h.left(i), h.right(i), i
if l < h.size() && h.data[l].(int) > h.data[max].(int) {
max = l
}
if r < h.size() && h.data[r].(int) > h.data[max].(int) {
max = r
}
// 若结点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
if max == i {
break
}
// 交换两结点
h.swap(i, max)
// 循环向下堆化
i = max
}
}
my_heap.swift
/* 元素出堆 */
func poll() -> Int {
// 判空处理
if isEmpty() {
fatalError("堆为空")
}
// 交换根结点与最右叶结点（即交换首元素与尾元素）
swap(i: 0, j: size() - 1)
// 删除结点
let val = maxHeap.remove(at: size() - 1)
// 从顶至底堆化
siftDown(i: 0)
// 返回堆顶元素
return val
}
/* 从结点 i 开始，从顶至底堆化 */
func siftDown(i: Int) {
var i = i
while true {
// 判断结点 i, l, r 中值最大的结点，记为 ma
let l = left(i: i)
let r = right(i: i)
var ma = i
if l < size(), maxHeap[l] > maxHeap[ma] {
ma = l
}
if r < size(), maxHeap[r] > maxHeap[ma] {
ma = r
}
// 若结点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
if ma == i {
break
}
// 交换两结点
swap(i: i, j: ma)
// 循环向下堆化
i = ma
}
}
输入数据并建堆 *¶
如果我们想要直接输入一个列表并将其建堆，那么该怎么做呢？最直接地，考虑使用「元素入堆」方法，将列表元素依次入堆。元素入堆的时间复杂度为 \(O(n)\) ，而平均长度为 \(\frac{n}{2}\) ，因此该方法的总体时间复杂度为 \(O(n \log n)\) 。
然而，存在一种更加优雅的建堆方法。设结点数量为 \(n\) ，我们先将列表所有元素原封不动添加进堆，然后迭代地对各个结点执行「从顶至底堆化」。当然，无需对叶结点执行堆化，因为其没有子结点。
那么，第二种建堆方法的时间复杂度时多少呢？我们来做一下简单推算。
- 完全二叉树中，设结点总数为 \(n\) ，则叶结点数量为 \((n + 1) / 2\) ，其中 \(/\) 为向下整除。因此在排除叶结点后，需要堆化结点数量为 \((n - 1)/2\) ，即为 \(O(n)\) ；
- 从顶至底堆化中，每个结点最多堆化至叶结点，因此最大迭代次数为二叉树高度 \(O(\log n)\) ；
将上述两者相乘，可得时间复杂度为 \(O(n \log n)\) 。然而，该估算结果仍不够准确，因为我们没有考虑到 二叉树底层结点远多于顶层结点 的性质。
下面我们来尝试展开计算。为了减小计算难度，我们假设树是一个「完美二叉树」，该假设不会影响计算结果的正确性。设二叉树（即堆）结点数量为 \(n\) ，树高度为 \(h\) 。上文提到，结点堆化最大迭代次数等于该结点到叶结点的距离，而这正是“结点高度”。因此，我们将各层的“结点数量 \(\times\) 结点高度”求和，即可得到所有结点的堆化的迭代次数总和。
\[
T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{(h-1)}\times1
\]
化简上式需要借助中学的数列知识，先对 \(T(h)\) 乘以 \(2\) ，易得
\[
\begin{aligned}
T(h) & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{h-1}\times1 \newline
2 T(h) & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \cdots + 2^{h}\times1 \newline
\end{aligned}
\]
使用错位相减法，令下式 \(2 T(h)\) 减去上式 \(T(h)\) ，可得
\[
2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \cdots + 2^{h-1} + 2^h
\]
观察上式，\(T(h)\) 是一个等比数列，可直接使用求和公式，得到时间复杂度为
\[
\begin{aligned}
T(h) & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline
& = 2^{h+1} - h \newline
& = O(2^h)
\end{aligned}
\]
进一步地，高度为 \(h\) 的完美二叉树的结点数量为 \(n = 2^{h+1} - 1\) ，易得复杂度为 \(O(2^h) = O(n)\)。以上推算表明，输入列表并建堆的时间复杂度为 \(O(n)\) ，非常高效。
8.1.4. 堆常见应用¶
- 优先队列。堆常作为实现优先队列的首选数据结构，入队和出队操作时间复杂度为 \(O(\log n)\) ，建队操作为 \(O(n)\) ，皆非常高效。
- 堆排序。给定一组数据，我们使用其建堆，并依次全部弹出，则可以得到有序的序列。当然，堆排序一般无需弹出元素，仅需每轮将堆顶元素交换至数组尾部并减小堆的长度即可。
- 获取最大的 \(k\) 个元素。这既是一道经典算法题目，也是一种常见应用，例如选取热度前 10 的新闻作为微博热搜，选取前 10 销量的商品等。