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11.3. 插入排序

「插入排序 Insertion Sort」是一种基于 数组插入操作 的排序算法。

「插入操作」原理：选定某个待排序元素为基准数 base，将 base 与其左侧已排序区间元素依次对比大小，并插入到正确位置。

回忆数组插入操作，我们需要将从目标索引到 base 之间的所有元素向右移动一位，然后再将 base 赋值给目标索引。

insertion_operation

Fig. 插入操作

11.3.1. 算法流程

  1. 第 1 轮先选取数组的 第 2 个元素 为 base ，执行「插入操作」后，数组前 2 个元素已完成排序。
  2. 第 2 轮选取 第 3 个元素 为 base ，执行「插入操作」后，数组前 3 个元素已完成排序。
  3. 以此类推……最后一轮选取 数组尾元素 为 base ，执行「插入操作」后，所有元素已完成排序。

insertion_sort

Fig. 插入排序流程

insertion_sort.java
/* 插入排序 */
void insertionSort(int[] nums) {
    // 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
    for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
        int base = nums[i], j = i - 1;
        // 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
        while (j >= 0 && nums[j] > base) {
            nums[j + 1] = nums[j];  // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
            j--;
        }
        nums[j + 1] = base;         // 2. 将 base 赋值到正确位置
    }
}
insertion_sort.cpp
/* 插入排序 */
void insertionSort(vector<int>& nums) {
    // 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
    for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
        int base = nums[i], j = i - 1;
        // 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
        while (j >= 0 && nums[j] > base) {
            nums[j + 1] = nums[j];  // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
            j--;
        }
        nums[j + 1] = base;         // 2. 将 base 赋值到正确位置
    }
}
insertion_sort.py
""" 插入排序 """
def insertion_sort(nums):
    # 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
    for i in range(1, len(nums)):
        base = nums[i]
        j = i - 1
        # 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
        while j >= 0 and nums[j] > base:
            nums[j + 1] = nums[j]  # 1. 将 nums[j] 向右移动一位
            j -= 1
        nums[j + 1] = base         # 2. 将 base 赋值到正确位置
insertion_sort.go
/* 插入排序 */
func insertionSort(nums []int) {
    // 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
    for i := 1; i < len(nums); i++ {
        base := nums[i]
        j := i - 1
        // 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
        for j >= 0 && nums[j] > base {
            nums[j+1] = nums[j] // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
            j--
        }
        nums[j+1] = base // 2. 将 base 赋值到正确位置
    }
}
insertion_sort.js
/* 插入排序 */
function insertionSort(nums) {
    // 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
    for (let i = 1; i < nums.length; i++) {
        let base = nums[i], j = i - 1;
        // 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
        while (j >= 0 && nums[j] > base) {
            nums[j + 1] = nums[j];  // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
            j--;
        }
        nums[j + 1] = base;         // 2. 将 base 赋值到正确位置
    }
}
insertion_sort.ts
/* 插入排序 */
function insertionSort(nums: number[]): void {
    // 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
    for (let i = 1; i < nums.length; i++) {
        const base = nums[i];
        let j = i - 1;
        // 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
        while (j >= 0 && nums[j] > base) {
            nums[j + 1] = nums[j]; // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
            j--;
        }
        nums[j + 1] = base; // 2. 将 base 赋值到正确位置
    }
}
insertion_sort.c
/* 插入排序 */
void insertionSort(int nums[], int size) {
    // 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
    for (int i = 1; i < size; i++)
    {
        int base = nums[i], j = i - 1;
        // 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
        while (j >= 0 && nums[j] > base)
        {
            // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
            nums[j + 1] = nums[j]; 
            j--;
        }
        // 2. 将 base 赋值到正确位置
        nums[j + 1] = base; 
    }
}
insertion_sort.cs
/* 插入排序 */
void insertionSort(int[] nums)
{
    // 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
    for (int i = 1; i < nums.Length; i++)
    {
        int bas = nums[i], j = i - 1;
        // 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
        while (j >= 0 && nums[j] > bas)
        {
            nums[j + 1] = nums[j]; // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
            j--;
        }
        nums[j + 1] = bas;         // 2. 将 base 赋值到正确位置
    }
}
insertion_sort.swift
/* 插入排序 */
func insertionSort(nums: inout [Int]) {
    // 外循环：base = nums[1], nums[2], ..., nums[n-1]
    for i in stride(from: 1, to: nums.count, by: 1) {
        let base = nums[i]
        var j = i - 1
        // 内循环：将 base 插入到左边的正确位置
        while j >= 0, nums[j] > base {
            nums[j + 1] = nums[j] // 1. 将 nums[j] 向右移动一位
            j -= 1
        }
        nums[j + 1] = base // 2. 将 base 赋值到正确位置
    }
}
insertion_sort.zig

11.3.2. 算法特性

时间复杂度 \(O(n^2)\) ：最差情况下，各轮插入操作循环 \(n - 1\) , \(n-2\) , \(\cdots\) , \(2\) , \(1\) 次，求和为 \(\frac{(n - 1) n}{2}\) ，使用 \(O(n^2)\) 时间。

空间复杂度 \(O(1)\) ：指针 \(i\) , \(j\) 使用常数大小的额外空间。

原地排序：指针变量仅使用常数大小额外空间。

稳定排序：不交换相等元素。

自适应排序：最佳情况下，时间复杂度为 \(O(n)\) 。

11.3.3. 插入排序 vs 冒泡排序

Question

虽然「插入排序」和「冒泡排序」的时间复杂度皆为 \(O(n^2)\) ，但实际运行速度却有很大差别，这是为什么呢？

回顾复杂度分析，两个方法的循环次数都是 \(\frac{(n - 1) n}{2}\) 。但不同的是，「冒泡操作」是在做 元素交换，需要借助一个临时变量实现，共 3 个单元操作；而「插入操作」是在做 赋值，只需 1 个单元操作；因此，可以粗略估计出冒泡排序的计算开销约为插入排序的 3 倍。

插入排序运行速度快，并且具有原地、稳定、自适应的优点，因此很受欢迎。实际上，包括 Java 在内的许多编程语言的排序库函数的实现都用到了插入排序。库函数的大致思路：

  • 对于 长数组，采用基于分治的排序算法，例如「快速排序」，时间复杂度为 \(O(n \log n)\) ；
  • 对于 短数组，直接使用「插入排序」，时间复杂度为 \(O(n^2)\) ；

在数组较短时，复杂度中的常数项（即每轮中的单元操作数量）占主导作用，此时插入排序运行地更快。这个现象与「线性查找」和「二分查找」的情况类似。

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