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12.2   分治搜索策略

我们已经学过，搜索算法分为两大类。

  • 暴力搜索：它通过遍历数据结构实现，时间复杂度为 \(O(n)\) 。
  • 自适应搜索：它利用特有的数据组织形式或先验信息，时间复杂度可达到 \(O(\log n)\) 甚至 \(O(1)\) 。

实际上，时间复杂度为 \(O(\log n)\) 的搜索算法通常是基于分治策略实现的，例如二分查找和树。

  • 二分查找的每一步都将问题（在数组中搜索目标元素）分解为一个小问题（在数组的一半中搜索目标元素），这个过程一直持续到数组为空或找到目标元素为止。
  • 树是分治思想的代表，在二叉搜索树、AVL 树、堆等数据结构中，各种操作的时间复杂度皆为 \(O(\log n)\) 。

二分查找的分治策略如下所示。

  • 问题可以分解：二分查找递归地将原问题（在数组中进行查找）分解为子问题（在数组的一半中进行查找），这是通过比较中间元素和目标元素来实现的。
  • 子问题是独立的：在二分查找中，每轮只处理一个子问题，它不受其他子问题的影响。
  • 子问题的解无须合并：二分查找旨在查找一个特定元素，因此不需要将子问题的解进行合并。当子问题得到解决时，原问题也会同时得到解决。

分治能够提升搜索效率，本质上是因为暴力搜索每轮只能排除一个选项，而分治搜索每轮可以排除一半选项。

1.   基于分治实现二分查找

在之前的章节中，二分查找是基于递推（迭代）实现的。现在我们基于分治（递归）来实现它。

Question

给定一个长度为 \(n\) 的有序数组 nums ，其中所有元素都是唯一的，请查找元素 target 。

从分治角度，我们将搜索区间 \([i, j]\) 对应的子问题记为 \(f(i, j)\) 。

以原问题 \(f(0, n-1)\) 为起始点，通过以下步骤进行二分查找。

  1. 计算搜索区间 \([i, j]\) 的中点 \(m\) ，根据它排除一半搜索区间。
  2. 递归求解规模减小一半的子问题，可能为 \(f(i, m-1)\) 或 \(f(m+1, j)\) 。
  3. 循环第 1. 步和第 2. 步，直至找到 target 或区间为空时返回。

图 12-4 展示了在数组中二分查找元素 \(6\) 的分治过程。

二分查找的分治过程

图 12-4   二分查找的分治过程

在实现代码中，我们声明一个递归函数 dfs() 来求解问题 \(f(i, j)\) ：

binary_search_recur.py
def dfs(nums: list[int], target: int, i: int, j: int) -> int:
    """二分查找：问题 f(i, j)"""
    # 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
    if i > j:
        return -1
    # 计算中点索引 m
    m = (i + j) // 2
    if nums[m] < target:
        # 递归子问题 f(m+1, j)
        return dfs(nums, target, m + 1, j)
    elif nums[m] > target:
        # 递归子问题 f(i, m-1)
        return dfs(nums, target, i, m - 1)
    else:
        # 找到目标元素，返回其索引
        return m

def binary_search(nums: list[int], target: int) -> int:
    """二分查找"""
    n = len(nums)
    # 求解问题 f(0, n-1)
    return dfs(nums, target, 0, n - 1)
binary_search_recur.cpp
/* 二分查找：问题 f(i, j) */
int dfs(vector<int> &nums, int target, int i, int j) {
    // 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
    if (i > j) {
        return -1;
    }
    // 计算中点索引 m
    int m = (i + j) / 2;
    if (nums[m] < target) {
        // 递归子问题 f(m+1, j)
        return dfs(nums, target, m + 1, j);
    } else if (nums[m] > target) {
        // 递归子问题 f(i, m-1)
        return dfs(nums, target, i, m - 1);
    } else {
        // 找到目标元素，返回其索引
        return m;
    }
}

/* 二分查找 */
int binarySearch(vector<int> &nums, int target) {
    int n = nums.size();
    // 求解问题 f(0, n-1)
    return dfs(nums, target, 0, n - 1);
}
binary_search_recur.java
/* 二分查找：问题 f(i, j) */
int dfs(int[] nums, int target, int i, int j) {
    // 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
    if (i > j) {
        return -1;
    }
    // 计算中点索引 m
    int m = (i + j) / 2;
    if (nums[m] < target) {
        // 递归子问题 f(m+1, j)
        return dfs(nums, target, m + 1, j);
    } else if (nums[m] > target) {
        // 递归子问题 f(i, m-1)
        return dfs(nums, target, i, m - 1);
    } else {
        // 找到目标元素，返回其索引
        return m;
    }
}

/* 二分查找 */
int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int n = nums.length;
    // 求解问题 f(0, n-1)
    return dfs(nums, target, 0, n - 1);
}
binary_search_recur.cs
/* 二分查找：问题 f(i, j) */
int DFS(int[] nums, int target, int i, int j) {
    // 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
    if (i > j) {
        return -1;
    }
    // 计算中点索引 m
    int m = (i + j) / 2;
    if (nums[m] < target) {
        // 递归子问题 f(m+1, j)
        return DFS(nums, target, m + 1, j);
    } else if (nums[m] > target) {
        // 递归子问题 f(i, m-1)
        return DFS(nums, target, i, m - 1);
    } else {
        // 找到目标元素，返回其索引
        return m;
    }
}

/* 二分查找 */
int BinarySearch(int[] nums, int target) {
    int n = nums.Length;
    // 求解问题 f(0, n-1)
    return DFS(nums, target, 0, n - 1);
}
binary_search_recur.go
/* 二分查找：问题 f(i, j) */
func dfs(nums []int, target, i, j int) int {
    // 如果区间为空，代表没有目标元素，则返回 -1
    if i > j {
        return -1
    }
    //    计算索引中点
    m := i + ((j - i) >> 1)
    //判断中点与目标元素大小
    if nums[m] < target {
        // 小于则递归右半数组
        // 递归子问题 f(m+1, j)
        return dfs(nums, target, m+1, j)
    } else if nums[m] > target {
        // 小于则递归左半数组
        // 递归子问题 f(i, m-1)
        return dfs(nums, target, i, m-1)
    } else {
        // 找到目标元素，返回其索引
        return m
    }
}

/* 二分查找 */
func binarySearch(nums []int, target int) int {
    n := len(nums)
    return dfs(nums, target, 0, n-1)
}
binary_search_recur.swift
/* 二分查找：问题 f(i, j) */
func dfs(nums: [Int], target: Int, i: Int, j: Int) -> Int {
    // 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
    if i > j {
        return -1
    }
    // 计算中点索引 m
    let m = (i + j) / 2
    if nums[m] < target {
        // 递归子问题 f(m+1, j)
        return dfs(nums: nums, target: target, i: m + 1, j: j)
    } else if nums[m] > target {
        // 递归子问题 f(i, m-1)
        return dfs(nums: nums, target: target, i: i, j: m - 1)
    } else {
        // 找到目标元素，返回其索引
        return m
    }
}

/* 二分查找 */
func binarySearch(nums: [Int], target: Int) -> Int {
    let n = nums.count
    // 求解问题 f(0, n-1)
    return dfs(nums: nums, target: target, i: 0, j: n - 1)
}
binary_search_recur.js
/* 二分查找：问题 f(i, j) */
function dfs(nums, target, i, j) {
    // 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
    if (i > j) {
        return -1;
    }
    // 计算中点索引 m
    const m = i + ((j - i) >> 1);
    if (nums[m] < target) {
        // 递归子问题 f(m+1, j)
        return dfs(nums, target, m + 1, j);
    } else if (nums[m] > target) {
        // 递归子问题 f(i, m-1)
        return dfs(nums, target, i, m - 1);
    } else {
        // 找到目标元素，返回其索引
        return m;
    }
}

/* 二分查找 */
function binarySearch(nums, target) {
    const n = nums.length;
    // 求解问题 f(0, n-1)
    return dfs(nums, target, 0, n - 1);
}
binary_search_recur.ts
/* 二分查找：问题 f(i, j) */
function dfs(nums: number[], target: number, i: number, j: number): number {
    // 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
    if (i > j) {
        return -1;
    }
    // 计算中点索引 m
    const m = i + ((j - i) >> 1);
    if (nums[m] < target) {
        // 递归子问题 f(m+1, j)
        return dfs(nums, target, m + 1, j);
    } else if (nums[m] > target) {
        // 递归子问题 f(i, m-1)
        return dfs(nums, target, i, m - 1);
    } else {
        // 找到目标元素，返回其索引
        return m;
    }
}

/* 二分查找 */
function binarySearch(nums: number[], target: number): number {
    const n = nums.length;
    // 求解问题 f(0, n-1)
    return dfs(nums, target, 0, n - 1);
}
binary_search_recur.dart
/* 二分查找：问题 f(i, j) */
int dfs(List<int> nums, int target, int i, int j) {
  // 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
  if (i > j) {
    return -1;
  }
  // 计算中点索引 m
  int m = (i + j) ~/ 2;
  if (nums[m] < target) {
    // 递归子问题 f(m+1, j)
    return dfs(nums, target, m + 1, j);
  } else if (nums[m] > target) {
    // 递归子问题 f(i, m-1)
    return dfs(nums, target, i, m - 1);
  } else {
    // 找到目标元素，返回其索引
    return m;
  }
}

/* 二分查找 */
int binarySearch(List<int> nums, int target) {
  int n = nums.length;
  // 求解问题 f(0, n-1)
  return dfs(nums, target, 0, n - 1);
}
binary_search_recur.rs
/* 二分查找：问题 f(i, j) */
fn dfs(nums: &[i32], target: i32, i: i32, j: i32) -> i32 {
    // 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
    if i > j { return -1; }
    let m: i32 = (i + j) / 2;
    if nums[m as usize] < target {
        // 递归子问题 f(m+1, j)
        return dfs(nums, target, m + 1, j);
    } else if nums[m as usize] > target {
        // 递归子问题 f(i, m-1)
        return dfs(nums, target, i, m - 1);
    } else {
        // 找到目标元素，返回其索引
        return m;
    }
}

/* 二分查找 */
fn binary_search(nums: &[i32], target: i32) -> i32 {
    let n = nums.len() as i32;
    // 求解问题 f(0, n-1)
    dfs(nums, target, 0, n - 1)
}
binary_search_recur.c
/* 二分查找：问题 f(i, j) */
int dfs(int nums[], int target, int i, int j) {
    // 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
    if (i > j) {
        return -1;
    }
    // 计算中点索引 m
    int m = (i + j) / 2;
    if (nums[m] < target) {
        // 递归子问题 f(m+1, j)
        return dfs(nums, target, m + 1, j);
    } else if (nums[m] > target) {
        // 递归子问题 f(i, m-1)
        return dfs(nums, target, i, m - 1);
    } else {
        // 找到目标元素，返回其索引
        return m;
    }
}

/* 二分查找 */
int binarySearch(int nums[], int target, int numsSize) {
    int n = numsSize;
    // 求解问题 f(0, n-1)
    return dfs(nums, target, 0, n - 1);
}
binary_search_recur.zig
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{binarySearch}
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