15.3 最大容量问题¶
Question
输入一个数组 \(ht\) ，其中的每个元素代表一个垂直隔板的高度。数组中的任意两个隔板，以及它们之间的空间可以组成一个容器。
容器的容量等于高度和宽度的乘积（面积），其中高度由较短的隔板决定，宽度是两个隔板的数组索引之差。
请在数组中选择两个隔板，使得组成的容器的容量最大，返回最大容量。示例如图 15-7 所示。
图 15-7 最大容量问题的示例数据
容器由任意两个隔板围成，因此本题的状态为两个隔板的索引，记为 \([i, j]\) 。
根据题意，容量等于高度乘以宽度，其中高度由短板决定，宽度是两隔板的数组索引之差。设容量为 \(cap[i, j]\) ，则可得计算公式：
设数组长度为 \(n\) ，两个隔板的组合数量（状态总数）为 \(C_n^2 = \frac{n(n - 1)}{2}\) 个。最直接地，我们可以穷举所有状态，从而求得最大容量，时间复杂度为 \(O(n^2)\) 。
1. 贪心策略确定¶
这道题还有更高效率的解法。如图 15-8 所示，现选取一个状态 \([i, j]\) ，其满足索引 \(i < j\) 且高度 \(ht[i] < ht[j]\) ，即 \(i\) 为短板、\(j\) 为长板。
图 15-8 初始状态
如图 15-9 所示，若此时将长板 \(j\) 向短板 \(i\) 靠近，则容量一定变小。
这是因为在移动长板 \(j\) 后，宽度 \(j-i\) 肯定变小；而高度由短板决定，因此高度只可能不变（ \(i\) 仍为短板）或变小（移动后的 \(j\) 成为短板）。
图 15-9 向内移动长板后的状态
反向思考，我们只有向内收缩短板 \(i\) ，才有可能使容量变大。因为虽然宽度一定变小，但高度可能会变大（移动后的短板 \(i\) 可能会变长）。例如在图 15-10 中，移动短板后面积变大。
图 15-10 向内移动短板后的状态
由此便可推出本题的贪心策略：初始化两指针分列容器两端，每轮向内收缩短板对应的指针，直至两指针相遇。
图 15-11 展示了贪心策略的执行过程。
- 初始状态下，指针 \(i\) 和 \(j\) 分列与数组两端。
- 计算当前状态的容量 \(cap[i, j]\) ，并更新最大容量。
- 比较板 \(i\) 和 板 \(j\) 的高度，并将短板向内移动一格。
- 循环执行第
2.步和第3.步，直至 \(i\) 和 \(j\) 相遇时结束。
图 15-11 最大容量问题的贪心过程
2. 代码实现¶
代码循环最多 \(n\) 轮，因此时间复杂度为 \(O(n)\) 。
变量 \(i\)、\(j\)、\(res\) 使用常数大小的额外空间，因此空间复杂度为 \(O(1)\) 。
/* 最大容量：贪心 */
int maxCapacity(vector<int> &ht) {
// 初始化 i, j 分列数组两端
int i = 0, j = ht.size() - 1;
// 初始最大容量为 0
int res = 0;
// 循环贪心选择，直至两板相遇
while (i < j) {
// 更新最大容量
int cap = min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
res = max(res, cap);
// 向内移动短板
if (ht[i] < ht[j]) {
i++;
} else {
j--;
}
}
return res;
}
/* 最大容量：贪心 */
int maxCapacity(int[] ht) {
// 初始化 i, j 分列数组两端
int i = 0, j = ht.length - 1;
// 初始最大容量为 0
int res = 0;
// 循环贪心选择，直至两板相遇
while (i < j) {
// 更新最大容量
int cap = Math.min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
res = Math.max(res, cap);
// 向内移动短板
if (ht[i] < ht[j]) {
i++;
} else {
j--;
}
}
return res;
}
/* 最大容量：贪心 */
int MaxCapacity(int[] ht) {
// 初始化 i, j 分列数组两端
int i = 0, j = ht.Length - 1;
// 初始最大容量为 0
int res = 0;
// 循环贪心选择，直至两板相遇
while (i < j) {
// 更新最大容量
int cap = Math.Min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
res = Math.Max(res, cap);
// 向内移动短板
if (ht[i] < ht[j]) {
i++;
} else {
j--;
}
}
return res;
}
/* 最大容量：贪心 */
func maxCapacity(ht []int) int {
// 初始化 i, j 分列数组两端
i, j := 0, len(ht)-1
// 初始最大容量为 0
res := 0
// 循环贪心选择，直至两板相遇
for i < j {
// 更新最大容量
capacity := int(math.Min(float64(ht[i]), float64(ht[j]))) * (j - i)
res = int(math.Max(float64(res), float64(capacity)))
// 向内移动短板
if ht[i] < ht[j] {
i++
} else {
j--
}
}
return res
}
/* 最大容量：贪心 */
func maxCapacity(ht: [Int]) -> Int {
// 初始化 i, j 分列数组两端
var i = 0, j = ht.count - 1
// 初始最大容量为 0
var res = 0
// 循环贪心选择，直至两板相遇
while i < j {
// 更新最大容量
let cap = min(ht[i], ht[j]) * (j - i)
res = max(res, cap)
// 向内移动短板
if ht[i] < ht[j] {
i += 1
} else {
j -= 1
}
}
return res
}
/* 最大容量：贪心 */
function maxCapacity(ht) {
// 初始化 i, j 分列数组两端
let i = 0,
j = ht.length - 1;
// 初始最大容量为 0
let res = 0;
// 循环贪心选择，直至两板相遇
while (i < j) {
// 更新最大容量
const cap = Math.min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
res = Math.max(res, cap);
// 向内移动短板
if (ht[i] < ht[j]) {
i += 1;
} else {
j -= 1;
}
}
return res;
}
/* 最大容量：贪心 */
function maxCapacity(ht: number[]): number {
// 初始化 i, j 分列数组两端
let i = 0,
j = ht.length - 1;
// 初始最大容量为 0
let res = 0;
// 循环贪心选择，直至两板相遇
while (i < j) {
// 更新最大容量
const cap: number = Math.min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
res = Math.max(res, cap);
// 向内移动短板
if (ht[i] < ht[j]) {
i += 1;
} else {
j -= 1;
}
}
return res;
}
/* 最大容量：贪心 */
int maxCapacity(List<int> ht) {
// 初始化 i, j 分列数组两端
int i = 0, j = ht.length - 1;
// 初始最大容量为 0
int res = 0;
// 循环贪心选择，直至两板相遇
while (i < j) {
// 更新最大容量
int cap = min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
res = max(res, cap);
// 向内移动短板
if (ht[i] < ht[j]) {
i++;
} else {
j--;
}
}
return res;
}
/* 最大容量：贪心 */
fn max_capacity(ht: &[i32]) -> i32 {
// 初始化 i, j 分列数组两端
let mut i = 0;
let mut j = ht.len() - 1;
// 初始最大容量为 0
let mut res = 0;
// 循环贪心选择，直至两板相遇
while i < j {
// 更新最大容量
let cap = std::cmp::min(ht[i], ht[j]) * (j - i) as i32;
res = std::cmp::max(res, cap);
// 向内移动短板
if ht[i] < ht[j] {
i += 1;
} else {
j -= 1;
}
}
res
}
/* 最大容量：贪心 */
int maxCapacity(int ht[], int htLength) {
// 初始化 i, j 分列数组两端
int i = 0;
int j = htLength - 1;
// 初始最大容量为 0
int res = 0;
// 循环贪心选择，直至两板相遇
while (i < j) {
// 更新最大容量
int capacity = myMin(ht[i], ht[j]) * (j - i);
res = myMax(res, capacity);
// 向内移动短板
if (ht[i] < ht[j]) {
i++;
} else {
j--;
}
}
return res;
}
3. 正确性证明¶
之所以贪心比穷举更快，是因为每轮的贪心选择都会“跳过”一些状态。
比如在状态 \(cap[i, j]\) 下，\(i\) 为短板、\(j\) 为长板。若贪心地将短板 \(i\) 向内移动一格，会导致图 15-12 所示的状态被“跳过”。这意味着之后无法验证这些状态的容量大小。
图 15-12 移动短板导致被跳过的状态
观察发现，这些被跳过的状态实际上就是将长板 \(j\) 向内移动的所有状态。前面我们已经证明内移长板一定会导致容量变小。也就是说，被跳过的状态都不可能是最优解，跳过它们不会导致错过最优解。
以上分析说明，移动短板的操作是“安全”的，贪心策略是有效的。